2020年秋九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3 10页

第3章　圆的基本性质 ‎3.2　图形的旋转 知识点1　图形旋转的定义 图3－2－1‎ ‎1．如图3－2－1，△ABO经过旋转得到△A′B′O，且∠AOB＝25°，∠AOB′＝20°，则线段OB的对应线段是________；∠OAB的对应角是________；旋转中心是________；旋转的角度是________．‎ ‎2．下列现象中，不属于图形的旋转的是(　　)‎ A．钟摆的运动 B．行驶中的汽车车轮 C．方向盘的转动 D．电梯的升降运动 ‎3．如图3－2－2，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为(　　)‎ 图3－2－2‎ 图3－2－3‎ 知识点2　图形旋转的性质 ‎4．如图3－2－4所示，将一个含30°角的三角板ABC绕点A顺时针旋转，使得点B，‎ 10‎ A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是(　　)‎ A．60° B．90°‎ C．120° D．150°‎ 图3－2－4‎ ‎　　图3－2－5‎ ‎5．如图3－2－5，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是________．‎ 图3－2－6‎ ‎6．如图3－2－6，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED.若线段AB＝3，则BE＝________．‎ ‎7．如图3－2－7，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是(－1，0)，现将△ABC绕点A顺时针旋转90°.‎ ‎(1)旋转后点C的坐标是________；‎ ‎(2)画出旋转后的三角形．‎ 图3－2－7‎ 知识点3　中心对称 ‎8．如图3－2－8，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列判断不正确的是(　　)‎ 10‎ A．∠ABC＝∠A′B′C′ B．∠BOC＝∠B′A′C′‎ C．AB＝A′B′ D．OA＝OA′‎ 图3－2－8‎ ‎　　图3－2－9‎ ‎9．如图3－2－9，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B‎1C1关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是________．‎ ‎10．2017·金华改编如图3－2－10，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(－2，－2)，B(－4，－1)，C(－4，－4)．作出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B‎1C1.‎ 图3－2－10‎ ‎11．如图3－2－11，如果齿轮A以逆时针方向旋转，那么齿轮E旋转的方向是(　　)‎ 图3－2－11‎ A．顺时针 B．逆时针 10‎ C．顺时针或逆时针 D．不能确定 ‎12．如图3－2－12，E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BE＝CF，连结CE，DF，将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置，则旋转角的度数为(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ 图3－2－12‎ ‎　　图3－2－13‎ ‎13．如图3－2－13，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么点A(－2，5)的对应点A′的坐标是________．‎ ‎14．如图3－2－14所示，正方形ABCD的边BC上有一点E，∠DAE的平分线交CD于点F.‎ 求证：AE＝DF＋BE.‎ 图3－2－14‎ 10‎ ‎15．创新学习问题：如图3－2－15①，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，试判断BE，EF，FD之间的数量关系．‎ ‎[发现证明] ‎ 小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图①证明上述结论．‎ ‎[类比引申]‎ 如图②，在四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E，F分别在边BC，CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______关系时，仍有EF＝BE＋FD.‎ ‎[探究应用]‎ 如图③，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC，CD上分别有景点E，F，且AE⊥AD，DF＝40(－1)米，现要在E，F之间修一条笔直的道路，求道路EF的长(结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)．‎ 图3－2－15‎ 10‎ 详解详析 ‎1．OB′　∠OA′B′　点O　45°‎ ‎2．D　3.A ‎4．D　[解析] 旋转角是∠CAC′＝180°－30°＝150°.‎ ‎5．60°　[解析] 由旋转可知∠BOD＝45°，∠AOB＝15°，∴∠AOD＝60°.‎ ‎6．3　[解析] ∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，‎ ‎∴∠BAE＝60°，AB＝AE，‎ ‎∴△BAE是等边三角形，‎ ‎∴BE＝AB＝3.故答案为3.‎ ‎7．(1)(2，1)　(2)略 ‎8．B　[解析] 因为△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，所以可得∠ABC＝∠A′B′C′，AB＝A′B′，OA＝OA′.‎ 故选B.‎ ‎9．(3，－1)‎ ‎10．解：如图，△A1B‎1C1就是所求作的图形．‎ ‎11．B　[解析] 齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮B以顺时针方向旋转，齿轮C以逆时针方向旋转，齿轮D以顺时针方向旋转，齿轮E以逆时针方向旋转．故选B.‎ ‎12．D　[解析] 如图，连结OC，OD.‎ 10‎ ‎∵O为正方形ABCD的中心，‎ ‎∴OD＝OC，OD⊥OC，‎ ‎∴∠DOC＝90°.‎ 由题意得点D的对应点为C，∠DOC即为旋转角，‎ 则将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转90°到△CBE的位置．故选D.‎ ‎13．5，2)‎ ‎[解析] 如图，分别过点A，A′作AC⊥x轴于点C，A′C′⊥x轴于点C′.‎ 由旋转的性质可得AO＝A′O，∠AOA′＝90°，‎ ‎∴∠AOC＋∠A′OC′＝90°.‎ ‎∵∠C＝∠C′＝90°，‎ ‎∴∠A′OC′＋∠OA′C′＝90°，‎ ‎∴∠AOC＝∠OA′C′，‎ ‎∴△ACO≌△OC′A′，‎ ‎∴AC＝OC′，OC＝A′C′.‎ ‎∵A(－2，5)，‎ ‎∴OC′＝AC＝5，A′C′＝OC＝2，‎ ‎∴A′(5，2)．‎ ‎14证明：如图所示，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得△ABF′，‎ 10‎ 则∠3＝∠1，∠AFD＝∠F′，∠ABF′＝∠D，BF′＝DF.‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴AB∥CD，∠ABC＝∠D＝90°，‎ ‎∴∠AFD＝∠FAB，∠ABF′＝∠D＝90°，‎ ‎∴∠ABF′＋∠ABC＝180°，‎ ‎∴F′，B，C三点共线．‎ ‎∵∠FAB＝∠2＋∠BAE，‎ ‎∴∠AFD＝∠2＋∠BAE.‎ 又∵∠DAE的平分线交CD于点F，‎ ‎∴∠1＝∠2，‎ ‎∴∠3＝∠2，∴∠AFD＝∠3＋∠BAE，‎ ‎∴∠F′＝∠3＋∠BAE.‎ ‎∵∠F′AE＝∠3＋∠BAE，‎ ‎∴∠F′AE＝∠F′，‎ ‎∴AE＝EF′＝BF′＋BE＝DF＋BE.‎ ‎15．解：[发现证明]证明：∵将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，‎ ‎∴△ABE≌△ADG，‎ ‎∴∠BAE＝∠DAG，∠B＝∠ADG，AE＝AG，BE＝DG.‎ ‎∵∠BAE＋∠DAF＝90°－∠EAF＝45°，‎ ‎∴∠DAG＋∠DAF＝45°，即∠GAF＝45°.‎ ‎∵在正方形ABCD中，∠B＝∠ADF＝90°，‎ 10‎ ‎∴∠ADG＋∠ADF＝180°，‎ 即点G，D，F在一条直线上．‎ 在△EAF和△GAF中，‎ ‎∴△EAF≌△GAF，‎ ‎∴EF＝GF.‎ 又GF＝DG＋FD＝BE＋FD，‎ ‎∴EF＝BE＋FD.‎ ‎[类比引申]∠EAF＝∠BAD ‎[探究应用]如图，连结AF，延长BA，CD交于点O.‎ 在△AOD中，∠ODA＝180°－∠ADC＝60°，‎ ‎∠OAD＝180°－∠BAD＝30°，AD＝80米，‎ ‎∴∠AOD＝90°，AO＝40 米，OD＝40米．‎ ‎∵OF＝OD＋DF＝40＋40(－1)＝40 (米)，‎ ‎∴AO＝OF，∴∠OAF＝45°，‎ ‎∴∠DAF＝45°－30°＝15°，‎ ‎∴∠EAF＝90°－15°＝75°，‎ ‎∴∠EAF＝∠BAD.‎ 由已知条件得∠B＝60°，∠BAE＝60°，‎ ‎∴△ABE是等边三角形，‎ 10‎ ‎∴BE＝AB＝80米．‎ 再由[类比引申]的结论可得EF＝BE＋DF＝40(＋1)≈109(米)．‎ 即道路EF的长约为109米．‎ 10‎