2019九年级数学上册 专题突破讲练 相似三角形的性质试题 （新版）青岛版 8页

相似三角形的性质 相似三角形的性质 ‎1. 相似三角形的对应角相等；‎ ‎2. 相似三角形的对应边成比例；‎ ‎3. 相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长的比等于相似比。‎ 方法归纳：（或技巧归纳）‎ 当你发现问题中出现以下情况时，很可能是借助相似来解决：‎ ① 比或比例；‎ 示例：平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：EF=_________．‎ 解析：此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质．由题可知△ABF∽△CEF，然后根据相似比求解．‎ 答案：3：2 解：∵DE：EC=1：2；∴EC：CD=2：3即EC：AB=2：3，∵AB∥CD， ∴△ABF∽△CEF，∴BF：EF=AB：EC=3：2．‎ ② 线段的积；‎ 示例：四边形中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，求证：‎ 解析：由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD；‎ 证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°， ∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；‎ ‎③边或角所在三角形与已知的边或角所在三角形不全等。‎ 示例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为_________．‎ 8‎ 解析：本题主要考查直角三角形性质、线段垂直平分线的性质及相似三角形性质的应用及方程的数学思想．解决此题需要我们利用线段的垂直平分线的性质和三角形相似进行计算．‎ 答案： 解：∵∠ACB=90°，AB=5，AC=4，根据勾股定理得：BC=3， 而AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，∴BD=，∠BDE=90°，又∵∠B=∠B，∴△ACB∽△EDB，∴BC：BD=AB：BE，又BC=3，AB=5，∴BE=， 从而得到CE=BE—BC=．‎ 总结：‎ ‎1. 掌握相似三角形的性质；‎ ‎2. 能利用相似三角形的性质求角的度数或线段的长度、线段之间的关系等。‎ 例题1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）。若△CEF与△ABC相似。‎ ‎（1）当AC＝BC＝2时，求AD的长；‎ ‎（2）当AC＝3，BC＝4时，求AD的长。‎ 解析：若△CEF与△ABC相似。（1）当AC＝BC＝2时，△ABC为等腰直角三角形；（2）当AC＝3，BC＝4时，分两种情况：（I）若CE：CF＝3：4，如答图2所示，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；（II）若CF：CE＝3：4，如答图3所示。由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A＝∠ECD与∠B＝∠FCD，从而得到CD＝AD＝BD，即D点为AB的中点。‎ 答案：若△CEF与△ABC相似。（1）当AC＝BC＝2时，△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示。‎ 此时D为AB边中点，2AD2＝AC2，∴AD＝AC＝。‎ ‎（2）当AC＝3，BC＝4时，有两种情况：（I）若CE：CF＝3：4，如答图2所示。‎ 8‎ ‎∵CE：CF＝AC：BC，∴EF∥BC。由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高。在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5。∵∠ADC＝∠ACB＝90°且∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝，即＝，∴AD＝；（II）若CF：CE＝3：4，如答图3所示。∵△CFE∽△CAB，∴∠CEF＝∠B。由折叠性质可知，∠CEF＋∠ECD＝90°，又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠A＝∠ECD，∴AD＝CD。同理可得：∠B＝∠FCD，CD＝BD，∴此时AD＝AB＝。综上所述，当AC＝3，BC＝4时，AD的长为或。‎ 点拨：本题是几何综合题，考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质。第（2）问需要分两种情况分别计算，此处容易漏解，需要引起注意。‎ 利用相似三角形的性质求线段的长度是一类常见问题，常常综合考查勾股定理、等腰三角形、四边形等知识，特别是在中考试题中经常以压轴题的形式出现，有时难度较大。解答这类问题时通常利用相似三角形对应边成比例或勾股定理等列方程，用代数方法求线段的长度。‎ 满分训练 如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F。现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为A1；AD的中点E的对应点记为E1。若△E1FA1∽△E1BF，则AD＝__________。‎ 解析：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝＝8，设AD＝2x，∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为A1，点E的对应点为E1，∴AE＝DE＝DE1＝A1E1＝x，∵DF⊥AB，∠ACB＝90°，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AFD，∴AD：AC＝DF：BC，即2x：8＝DF：6，解得DF＝1.5x，在Rt△DE‎1F中，E‎1F2＝DF2＋DE12＝3.25x2，又∵BE1＝AB－AE1＝10－3x，△E1FA1∽△E1BF，∴E‎1F∶A1E1＝BE1∶E‎1F，∴E‎1F2＝A1E1•BE1，即3.25x2＝x（10－3x），解得x＝1.6，∴AD的长为2×1.6＝3.2。‎ 答案：3.2‎ 点拨：本题是一道综合性难题，主要考查轴对称变换、折叠、勾股定理、相似三角形的对应边成比例。利用勾股定理列式求出AC，设AD＝2x，得到AE＝DE＝DE1＝A1E1＝x，然后求出BE1，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E‎1F，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值，从而得出AD的值。‎ 8‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 如图，△ABC中，DE∥BC，DE＝1，AD＝2，DB＝3，则BC的长是（ ）‎ A. B. C. D. ‎*2. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC＝（ ）‎ A. 1：4 B. 1：‎3 ‎C. 2：3 D. 1：2‎ ‎**3. 如图所示，AD∥BC，∠D＝90°，DC＝7，AD＝2，BC＝3。若在边DC上有点P使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎**4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝b（a＞b）。在△ABC内依次作∠CBD＝∠A，∠DCE＝∠CBD，∠EDF＝∠DCE。则EF等于（ ）‎ A. B. C. D. 二、填空题 8‎ ‎5. 在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC＝1：2，则BF：BE＝__________。‎ ‎6. 如图，在平行四边形ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE＝4：3，且BF＝2，则DF＝__________。 ‎ ‎*7. 如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为__________。‎ ‎*8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为__________。‎ 三、解答题 ‎*9. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F。‎ ‎（1）求证：AB＝AF；‎ ‎（2）当AB＝3、BC＝5时，求的值。‎ ‎**10. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE 8‎ 上一点，且∠AFE＝∠B。‎ ‎（1）求证：△ADF∽△DEC；‎ ‎（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长。‎ ‎**11. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，‎ ‎（1）求证：AC2＝AB•AD；‎ ‎（2）求证：CE∥AD；‎ ‎（3）若AD＝4，AB＝6，求的值。‎ ‎**12. 【提出问题】‎ ‎（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN。求证：∠ABC＝∠ACN。‎ ‎【类比探究】‎ ‎（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由。‎ ‎【拓展延伸】‎ ‎（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC。连结CN。试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由。‎ 8‎ ‎1. C 解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，则＝，∵DE＝1，AD＝2，DB＝3，∴AB＝AD＋DB＝5，∴BC＝＝。故选C。‎ ‎2. D 解析：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴＝，∵O为对角线的交点，∴DO＝BO，又∵E为OD的中点，∴DE＝DB，则DE：EB＝1：3，∴DF：AB＝1：3，∵DC＝AB，∴DF：DC＝1：3，∴DF：FC＝1：2。故选D。‎ ‎3. C 解析：设PD＝x，则（1）若△APD∽△PBC，则＝，即＝，解之得x＝；（2）若△PAD∽△BPC，则＝，即＝，解之得x1＝1，x2＝6。综上所述，存在三个点P，使△PAD与△PBC相似。‎ ‎4. C 解析：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠CBD＝∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴＝，＝，＝，且BD＝BC，CE＝CD，解得：CD＝，DE＝，EF＝。故选C。‎ ‎5. 3：5 解析：∵DE：EC＝1：2，∴EC：CD＝2：3即EC：AB＝2：3，∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴BF：EF＝AB：EC＝3：2。∴BF：BE＝3：5。‎ ‎6. 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AE：BE＝4：3，∴BE：AB＝3：7，∴BE：CD＝3：7。∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF＝BE：CD＝3：7，即2：DF＝3：7，∴DF＝。‎ ‎7. 7 解析：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC；∴CD＝BC－BD＝9－3＝6；∴∠BAD＋∠ADB＝120°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＋∠EDC＝120°，∴∠DAB＝∠EDC，又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE，则＝，即＝，解得：CE＝2，故AE＝AC－CE＝9－2＝7。‎ ‎8. 解析：在Rt△ABC中，∵BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，BD＝。易知△ABC∽△EBD，∴＝，即＝，∴BE＝，∴CE＝BE－BC＝－3＝。‎ ‎9. 解：（1）证明：如图，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠2＝∠3。∵BF是∠ABC的平分线，∴∠1＝∠2。∴∠1＝∠3。∴AB＝AF。（2）∵∠AEF＝∠CEB，∠2＝∠3，∴△AEF∽△CEB，∴＝＝，∴＝。‎ ‎10. 解：（1）证明：在平行四边形ABCD中AB∥CD，AD∥BC，∴∠C＋∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC。∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C。在△ADF与△DEC中，，∴△ADF∽△DEC。（2）解：∵平行四边形ABCD，∴CD＝AB＝8。由（1）知△ADF∽△DEC，∴＝，∴DE＝＝＝12。在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝＝6。‎ ‎11. 解：（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB 8‎ ‎＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC＝AC：AB，∴AC2＝AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE＝AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE＝AF：CF，∵CE＝AB，∴CE＝×6＝3，∵AD＝4，∴＝，∴＝。‎ ‎12. 解：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN。（2）解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立。理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN。（3）解：∠ABC＝∠ACN。理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN，∴底角∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴＝，又∵∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN。‎ 8‎