初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第二章方程与不等式 第6讲一次方程与方程组 33页

人教 数 学 第二章　方程与不等式 第 6 讲　一次方程与方程组 要点梳理 1 ． 定义 (1) 含有未知数的 叫做方程； (2) 只含有 未知数 ， 且含未知数的项的次数是 ， 这样的整式方程叫做一元一次方程； (3) 含有两个未知数 ， 且含未知数的项的次数为 1 ， 这样的整式方程叫做二元一次方程． (4) 将两个或两个以上的方程联立在一起 ， 就构成了一个方程组．如果方程组中含有 ， 且含未知数的项的次数都是 ， 这样的方程组叫做二元一次方程组． 等式 一个 一次 两个未知数 一次 要点梳理 2 ． 方程的解 (1) 能够使方程左右两边 未知数的值 ， 叫做方程的解．求方程解的过程叫做解方程． (2) 二元一次方程的解：适合二元一次方程的一组未知数的值． (3) 二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解． 相等的 要点梳理 3 ． 解法 (1) 解一元一次方程主要有以下步骤： ； ； ； _ ；未知数的系数化为 1. (2) 解二元一次方程组的基本思想是 ， 有 与 ．即把多元方程通过 、 、 换元等方法转化为一元方程来解． 去分母 去括号 移项 合并同类项 消元 代入消元法 加减消元法 加减 代入 一个防范 在解一元一次方程时 ， 经常用到两个相乘：一是去分母时 ， 方程两边同乘以分母的最小公倍数；二是将分母化为整数时 ， 把分母、分子同乘以 10 n . 这两个 “ 同乘以 ” 有着本质的区别 ， 一个用的是等式的性质 ， 一个用的是分数的基本性质 ， 两者不可混淆． 一个思想 化归思想 ， 解二元一次方程组的基本思想是 “ 消元 ” ， 即化 “ 二元 ” 为 “ 一元 ” ， 这种方法体现了数学研究中的化归思想 ， 具体地说，就是把 “ 新知识 ” 转化为 “ 旧知识 ” ，把 “ 未知 ” 转化为 “ 已知 ” ，把 “ 复杂问题 ” 转化为 “ 简单问题 ” ，本部分的二元一次 方程组问题一般通过 “ 消元 ” 转化为一元一次方程问题解决． 两个方法 (1) 代入消元法； (2) 加减消元法． 1 ． ( 2014 · 咸宁 ) 若代数式 x ＋ 4 的值是 2 ， 则 x 等于 ( ) A ． 2 　　　 B ．－ 2 　　　 C ． 6 　　　 D ．－ 6 B 2 ． ( 2014 · 无锡 ) 某文具店一支铅笔的售价为 1.2 元 ， 一支圆珠笔的售价为 2 元．该店在六一儿童节举行文具优惠售卖活动 ， 铅笔按原价打 8 折出售 ， 圆珠笔按原价打 9 折出售 ， 结果两种笔共卖出 60 支 ， 卖得金额 87 元．若设铅笔卖出 x 支 ， 则依题意可列得的一元一次方程为 ( ) A ． 1.2 × 0.8 x ＋ 2 × 0.9(60 ＋ x ) ＝ 87 B ． 1.2 × 0.8 x ＋ 2 × 0.9(60 － x ) ＝ 87 C ． 2 × 0.9 x ＋ 1.2 × 0.8(60 ＋ x ) ＝ 87 D ． 2 × 0.9 x ＋ 1.2 × 0.8(60 － x ) ＝ 87 B 3 ． ( 2014· 抚州 ) 已知 a ， b 满足方程组 î í ì 2a － b ＝ 2 ， a ＋ 2b ＝ 6 ， 则 3a ＋ b 的值为 ( ) A ． 8 B ． 4 C ． － 4 D ． － 8 4 ． ( 2014· 襄阳 ) 若方程 mx ＋ ny ＝ 6 的两个解是 î í ì x ＝ 1 ， y ＝ 1 ， î í ì x ＝ 2 ， y ＝－ 1 ， 则 m ， n 的值为 ( ) A ． 4 ， 2 B ． 2 ， 4 C ． － 4 ， － 2 D ． － 2 ， － 4 A A 5 ． ( 2014 · 绍兴 ) 如图 ① ， 天平呈平衡状态 ， 其中左侧秤盘中有一袋玻璃球 ， 右侧秤盘中也有一袋玻璃球 ， 还有 2 个各 20 克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘 ， 并拿走右侧秤盘的 1 个砝码后 ， 天平仍呈平衡状态 ， 如图 ② ， 则被移动的玻璃球的质量为 ( ) A ． 10 克 B ． 15 克 C ． 20 克 D ． 25 克 A 一元一次方程的解法 【 例 1 】 解下列方程： ( 1 ) 1 2 x － 4 5 ＝ 7 10 ； ( 2 ) x － x － 1 2 ＝ 2 － x ＋ 2 3 ； 解： ( 1 ) 5x － 8 ＝ 7 ， 5x ＝ 8 ＋ 7 ， 5x ＝ 15 ， ∴ x ＝ 3 ( 2 ) 6x － 3 ( x － 1 ) ＝ 12 － 2 ( x ＋ 2 ) ， 6x － 3x ＋ 3 ＝ 12 － 2x － 4 ， 5x ＝ 5 ， ∴ x ＝ 1 (3)7 x － 1 2 [ x － 1 2 ( x － 1)] ＝ 2 3 ( x － 1) ； (4)3[2 x － 1 － 3(2 x － 1)] ＝ 5. 【 点评 】 　 (1) 去括号可用分配律 ， 注意符号 ， 勿漏乘；含有多重括号的 ， 按去括号法则逐层去括号； (2) 去分母 ， 方程两边同乘各分母的最小公倍数时 ， 不要漏乘没有分母的项 ( 特别是常数项 ) ， 若分子是多项式 ， 则要把它看成一个整体加上括号； (3) 解方程后要代回去检验解是否正确； (4) 当遇到方程中反复出现相同的部分时 ， 可以将这个相同部分看作一个整体来进行运算 ， 从而使运算简便． 1 ． 解方程： (1)3 － 5 7 x ＝ 1 3 5 ； (2) 2 x － 1 6 ＝ 5 x ＋ 1 8 ； (3) x ＋ 2 4 ＝ 2 x － 3 6 ＋ 1. ( 2 ) 4 ( 2x － 1 ) ＝ 3 ( 5x ＋ 1 ) ， 8x － 4 ＝ 15x ＋ 3 ， － 7x ＝ 7 ， ∴ x ＝－ 1 ( 3 ) 3 ( x ＋ 2 ) ＝ 2 ( 2x － 3 ) ＋ 12 ， 3x － 4x ＝－ 6 ＋ 12 － 6 ， － x ＝ 0 ， ∴ x ＝ 0 二元一次方程 ( 组 ) 的解法 【 例 2 】 ( 1 ) 方程 x ＋ 2 y ＝ 5 的正整数解有 ( B ) A ． 一组 B ． 二组 C ． 三组 D ． 四组 ( 2 ) ( 2014· 威海 ) 解方程组： î ï í ï ì 3x － 5y ＝ 3 ， x 2 － y 3 ＝ 1. 【 点评 】 　 (1) 解二元一次方程组的方法要根据方程组的特点灵活选择 ， 当方程组中一个未知数的系数的绝对值是 1 或一个方程的常数项为 0 时 ， 用代入法较方便；当两个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时 ， 用加减法较方便；当方程组中同一个未知数的系数的绝对值不相等 ， 且不成整数倍时 ， 把一个 ( 或两个 ) 方程的两边同乘适当的数 ， 使两个方程中某一个未知数的系数的绝对值相等 ， 仍然选用加减法比较简便； (2) 用加减消元法时 ， 选择方程组中同一个未知数的系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元 ， 这样会使运算量较小 ， 提高准确率． 2 ． 解方程组： ( 1 ) ( 2012· 广东 ) î í ì x － y ＝ 4 ， ① 3x ＋ y ＝ 16 ； ② ( 2 ) î ï ï í ï ï ì 7 18 （ x ＋ y ）＝ 1 ， ① 3 4 x ＋ 7 9 （ x ＋ y ）＝ 5 ； ② (3)1 － 6x ＝ 3y － x 2 ＝ x ＋ 2y 3 . 已知方程 ( 组 ) 解的特征 ， 求待定系数 【 例 3 】 ( 1 ) 若关于 x ， y 的二元一次方程组 î í ì x ＋ y ＝ 5 k ， x － y ＝ 9 k 的 解也是二元一次方程 2 x ＋ 3 y ＝ 6 的解 ， 则 k 的值是 ( ) A ． － 3 4 B. 3 4 C. 4 3 D ． － 4 3 B ( 2 ) 已知方程组 î í ì 2 x － 3 y ＝ 3 ， ax ＋ by ＝－ 1 与 î í ì 3 x ＋ 2 y ＝ 11 ， 2 ax ＋ 3 by ＝ 3 的解相同 ， 求 a ， b 的值 ． 【 点评 】 　 (1) 先将待定系数看成已知数 ， 解这个方程组 ， 再将求得的含待定系数的解代入方程中 ， 便转化成一个关于 k 的一元一次方程； (2) 几个方程 ( 组 ) 同解 ， 可选择两个含已知系数的组成二元一次方程组求得未知数的解 ， 然后将方程组的解代入含待定系数的另外的方程 ( 或方程组 ) ， 解方程即可． 3 ． (1) 已知方程组 î í ì 2 x ＋ 3 y ＝ n ， 3 x ＋ 5 y ＝ n ＋ 2 的解 x ， y 的和为 12 ， 求 n 的值； (2) 当 m 取什么值时 ， 方程 x ＋ 2 y ＝ 2 ， 2 x ＋ y ＝ 7 ， mx － y ＝ 0 有公共解； (3) 已知关于 x ， y 的二元一次方程 ( a － 1) x ＋ ( a ＋ 2) y ＋ 5 － 2 a ＝ 0 ， 当 a 每取一个值时 ， 就有一个方程 ， 而这些方程 有一个公共解 ， 试求出这个公共解． 解： ( 1 ) 解方程组 î ï í ï ì 2x ＋ 3y ＝ n ， ① 3x ＋ 5y ＝ n ＋ 2 ， ② 得 î ï í ï ì x ＝ 2n － 6 ， y ＝－ n ＋ 4. 又 ∵ x ＋ y ＝ 12 ， ∴ ( 2n － 6 ) ＋ ( － n ＋ 4 ) ＝ 12 ， n ＝ 14 ( 2 ) ∵ î ï í ï ì x ＋ 2y ＝ 2 ， 2x ＋ y ＝ 7 ， ∴ î ï í ï ì x ＝ 4 ， y ＝－ 1. 代入 mx － y ＝ 0 ， 得 4m ＋ 1 ＝ 0 ， m ＝－ 1 4 ( 3 ) 解法一 ：取 a ＝ 1 ， 得 3y ＋ 3 ＝ 0 ， y ＝－ 1 ， 取 a ＝－ 2 ， 得－ 3x ＋ 9 ＝ 0 ， x ＝ 3 ， ∴ î ï í ï ì x ＝ 3 y ＝－ 1 解法二：整理得 ( x ＋ y － 2 ) a ＝ x － 2y － 5 ， ∴ î ï í ï ì x ＋ y － 2 ＝ 0 ， x － 2y － 5 ＝ 0 ， 解得 î ï í ï ì x ＝ 3 y ＝－ 1 试 题 已知方程组 î ï í ï ì 4 x － y ＋ 3 z ＝ 0 ， 2 x ＋ y ＋ 6 z ＝ 0 ， 且 xyz ≠ 0 ， 求 x ∶ y ∶ z 的 值． 审题视角 在一个方程组中 ， 当方程的个数小于未知数的个 数 ， 一般情况下是不能确定求出未知数的具体数值的．方程 组 î ï í ï ì 4 x － y ＋ 3 z ＝ 0 ， 2 x ＋ y ＋ 6 z ＝ 0 中有两个三元一次方程一般不能得到确定 解．要求三个元的比值可分别从求三个 元中两两之间的关系 入手 ， 或抓住方程个数比未知数少 1 这个难点 ， 设法转化为 二元一次方程组． 规范答题 解法一：将 z 视为字母系数 ， 原方程组化为 î í ì 4 x － y ＝－ 3 z ， 2 x ＋ y ＝－ 6 z . 解这个 “ 二元 ” 一次方程组 ， 得 î ï í ï ì x ＝－ 3 2 z ， y ＝－ 3 z . 因 z 不为零 ， 所以 x ∶ y ∶ z ＝ ( － 3 2 z ) ∶ ( － 3 z ) ∶ z ＝ ( － 3 2 ) ∶ ( － 3) ∶ 1 ＝ 3 ∶ 6 ∶ ( － 2) ． 解法二： î í ì 4 x － y ＋ 3 z ＝ 0 ， ① 2 x ＋ y ＋ 6 z ＝ 0 ， ② ① × 2 － ② ， 得 6 x － 3 y ＝ 0. 因 x ， y 不为零 ， 可得 x ∶ y ＝ 1 ∶ 2 ， 仿此消去 x ， 得 y ∶ z ＝ 3 ∶ ( － 1 ) ． 利用比例性质： x ∶ y ＝ 1 ∶ 2 ＝ 3 ∶ 6 ， y ∶ z ＝ 3 ∶ ( － 1 ) ＝ 6 ∶ ( － 2 ) ， 所以 x ∶ y ∶ z ＝ 3 ∶ 6 ∶ ( － 2 ) ． 答题思路 第一步：通过某种转化手段 ， 把其中某一个字母视为字母系数 ， 把问题归结为能解决的问题 —— 二元一次方程组； 第二步：用代入法或加减法解这个 “ 二元 ” 一次方程组 ， 也就是用其中同一个字母来表示另外两个字母； 第三步：求这些字母的比值； 第四步：反思回顾 ， 查看关键点、易错点 ， 完善解题步骤． 试题 方程组 î í ì 3 x － 7 y ＝ 0 ， x － 2 y ＋ 1 ＝ 0 的解 ， 对于方程 2 x － 3 y ＝ － 5( ) A ． 是这个方程的唯一解 B ．是这个方程的一个解 C ． 不是这个方程的一个解 D ．以上结论都不对 错解 解方程组 î ï í ï ì 3 x － 7 y ＝ 0 ， ① x － 2 y ＋ 1 ＝ 0 ， ② 由 ② ， 得 x ＝ 2 y － 1 ， ③ 把 ③ 代入 ① ， 得 3(2 y － 1) － 7 y ＝ 0 ， y ＝－ 3. 把 y ＝－ 3 代入 ③ ， 得 x ＝－ 7. ∴ î ï í ï ì x ＝－ 7 ， y ＝－ 3 是方程组的解． 当 x ＝－ 7 ， y ＝－ 3 时 ， 方程 2 x － 3 y ＝－ 5 成立． 故 î ï í ï ì x ＝－ 7 ， y ＝－ 3 是方程 2 x － 3 y ＝－ 5 的唯一解 ， 故选 A. 剖析 本题上述解法中基本思路是正确的 ， 但在下结 论时 忽略了二元一次方程的解与二元一次方程组的解是不同 的概念 ， 前者一般有无数个 ， 后者一般只有唯一一个 ， 不 能混为一谈． 正解 由上述解法可知 î í ì x ＝－ 7 ， y ＝－ 3 是方程 2 x － 3 y ＝－ 5 的 一个解 ， 应选 B.