2020九年级数学上册 第二十一章因式分解法 3页

‎*‎21.2.4‎ 一元二次方程的根与系数的关系 ‎※教学目标※‎ ‎【知识与技能】‎ 掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用.‎ ‎【过程与方法】‎ ‎ 培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力.‎ ‎【情感态度】‎ ‎1.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律.‎ ‎2.培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神.‎ ‎【教学重点】‎ ‎ 根与系数的关系及其推导.‎ ‎【教学难点】‎ 正确理解根与系数的关系.‎ ‎※教学过程※‎ 一、复习导入 问题1 请写出一元二次方程的一般式和求根公式.‎ 问题2 完成下面的表格：‎ 方 程 观察表格中的结果，你有什么发现？‎ 二、 探索新知 通过对问题情境的讨论，可以发现方程的两根之和和两根之积与它们的系数之间存在一定的联系，请运用你发现的规律填空：‎ ‎（1）已知方程的两根为，，则 ， ；‎ ‎（2）已知方程的两根为，，则 ， .‎ 答案：（1）8，-3；（2）-7，-5.‎ 思考1 （1）如果方程的两根为，，你能说说和的值吗？‎ ‎ （2）如果方程的两根为，，你能说说和与方程系数质检的关系吗？说说你的理由.‎ 归纳总结 ‎ 根与系数的关系（韦达定理）：‎ 若一元二次方程有两实数根，，则，‎ 3‎ ‎.这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.‎ 思考2 在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式 呢？为什么？‎ 根与系数关系解题的前提条件是，否则方程就没有实数根，自然不存在，.‎ 三、 掌握新知 例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根，的和与积：‎ （1） ‎；（2）；（3）.‎ 分析：对于方程（3），应先化为一般形式后，再利用根与系数的关系来求解.‎ 解：（1），；（2），；（3）方程化为.，.‎ 试一试 完成教材第16页练习.‎ 例2 已知方程的一根为3，求方程的另一根及c的值.‎ 分析：设方程的另一根为，可通过求两根之和来求出的值；再用两根之积求c,也可将代入方程求出c值，再利用根与系数的关系求的值.‎ 解：设方程另一根为，由，∴.又，∴.‎ 例3 已知方程的两根分别为，，求下列式子的值.‎ ‎（1）；（2）.‎ 分析：将所求代数式分别化为只含有和的式子后，用根与系数的关系，可求其值.‎ 解：∵方程的两根为，，∴，.‎ （1） ‎；‎ （2） ‎.‎ 例4 已知，，是方程的两个实数根，且.（1）求k的取值；（2）求的值.‎ 分析：将，，代入可求出k值.此时需用 来判断k的取值，这是本例的关键.‎ 3‎ 解：（1）∵由题意有，.‎ ‎∴，∴或.又∵方程有实数解，∴，∴.∴不合题意应舍去，故k的值为-11；‎ （2） 由（1）知，，，∴.‎ 三、 巩固练习 1. 若，是方程的两个实数根，则 ， .‎ ‎2.已知是方程的一个根，则另一个根是 ， .‎ ‎ 3.若方程的两根分别为2和-3，则 ， .‎ ‎4.已知a，b是方程的两根，求的值．‎ ‎　　答案：1.-1，-1 2. -3，2 　3.1，-6 ‎ ‎4.由，，故.‎ 五、归纳小结 ‎ 通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意？‎ ‎※布置作业※‎ ‎ 从教材习题21.2中选取．‎ ‎※教学反思※‎ ‎1.从熟知的解法解一元二次方程的过程中探索根与系数的关系，并发现可用系数表示的求根公式来证明这个关系，再通过问题探讨帮助学生运用这个关系解决问题，注重了知识产生、发展和出现的过程，注重了知识的应用.‎ ‎ 2.教学设过程贯穿以旧引新，从具体到抽象，从特殊到一般，从简单到复杂，从猜想到论证，使学生在体验知识发生、发展和应用的过程中理解和掌握推理的数学思想与化归思想.‎ 3. 教材把本节作为了解的内容，但本节知识在中考试题填空题、选择题、解答题中均有 出现，为了让学生能适应平时的试题，本节内容进行了一定的延伸，同时也可以激发学生们学习的兴趣.‎ ‎ ‎ 3‎