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  • 2021-11-10 发布

中考数学专题复习练习:角的量度

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关于角的度量的典型例题一 例 如图,你知道以A为顶点的角有哪些吗?除了以A为顶点的角外,图中还有哪些角?你会将它们表示出来吗?‎ 解:以 A为顶点的角有,其他的角有.‎ 说明:(1)在数以A为顶点的角的个数时,先选定一边为始边(如AB),确定以始边为一边的角的个数,再依次把后面的边看作起始边,数出角的个数,相加即可得角的总数.本题中以AB为始边的角有3个(如图1),以AD为始边的角有两个(如图2),以AE为始边的角有1个(如图3),在数角时注意要向同一个方向数,以免重复,这与线段的数法类似;(2)目前我们所说的角一般都是指小于平角的角.所以以D为顶点的平角和以E为顶点的平角不包括在内.‎ ‎(3)角的表示方法共有四种,可根据需求灵活选定;①用三个大写字母表示角,此时表示角的顶点的字母应写在中间(如∠BAD);②用一个大写字母表示角,适用于以某一点为顶点的角只有一个(如∠B或∠C);③用希腊字母等表示角,此时要在所表示的角的顶点处加上连接两边的弧线,以明确所表示的是图中的哪个角(如∠或∠);④用数字表示角(如∠1或∠2).‎ ‎ ‎ 图1 图2 图3‎ 关于角的度量的典型例题二 例(1)下图中能用一个大写字母表示的角是___________.‎ ‎(2)以A为顶点的角有_____________个,它们是________________.‎ 分析 ‎:第(1)题中,能用一个大写字母表示的这个角必须是独立的一个角,所以只能是;第(2)题中,以A为顶点的角,必须含A,而且A为公共端点,这样的角有6个,以AC为一边的角:,以AE为边且不重复的角:,以AD为边且不重复的角:.‎ 答案:(1);(2)6个.‎ 说明:要正确写出答案,首先要弄清角的定义是什么,其次是熟悉表示角的方法,特别对于(2),还要仔细、认真地找出所有的角.‎ 关于角的度量的典型例题三 例 (1)把25.72°分别用度、分、秒表示.‎ ‎(2)把45°12′30″化成度.‎ 分析:第(1)题中25.72°含有两部分25°和0.72°,只要把0.72°化成分、秒即可,第(2)题中,45°21′30″含有三部分45°,12′和30″,其中45°已经是度,只要把12′和30″化成度即可.‎ 解:(1)0.72°=0.72×61′=43.2′‎ ‎0.2′=0.2×60″=12″‎ 所以25.72°=25°43′12″‎ ‎(2)‎ 所以45°12′30″=45.21°‎ 说明:①是由高级单位向低级单位化:②是由低级单位向高级单位化.它们都必须是逐级进行的,“越级”化单位容易出错而且还要熟记他们之间的换算关系.‎ 关于角的度量的典型例题四 例 计算:‎ ‎(1)53°39′+36°40′;(2)92°3′-48°34′;‎ ‎(3)53°25′28″×5; (4)15°20′÷6.‎ 解:(1)53°39′+36°40′=89°+79=90°19′;‎ ‎(2)92°3′-48°34′=91°63′-48°34′=43°29′;‎ ‎(3)53°25′28″×5=265°+125′+140″=267°7′20″;‎ ‎(4)15°20′÷6=2°+(3×60′+20′)÷6=2°33′20″.‎ 说明:角度的运算规律为:(1)加减法时将同一单位进行加减,加法够60进1,减法不够减要借1为60;(2)乘法时将数与度、分、秒分别相乘,然后从小到大逢60进1;(3)除法时用度先除,把余数化为分,再加上原来的分,用这个数除以除数,把余数化成秒,再加上原来的秒,再用这个数除以除数,如果除不尽就按题意要求,进行四舍五入;(4)度、分、秒之间的互化有:由低级单位向高级单位转化,使用的公式是.例如30°42′,可化为30.7°‎ ‎;另一种是由高级单位向低级单位转化,使用的公式是1°=60′,1′=60″,例如2.45°可化为2°27′,在度、分、秒的互化过程中要逐级进行,不要“跳级”,以免出错.‎ 关于角的度量的典型例题五 例 当时钟表面3时25分时,你知道时针与分针所夹角的度数是多少?‎ 解:法一:从3时整开始,分针转过了6°×25=150°,时针转过了0.5°×25=,因为3点整时两针夹角为90°,所以3时25分时两针夹角为150°-90°-12.5°=.‎ 法二:3时25分时,分针在钟面“5”字上,时针从“3”字转过了0.5°×25=.又“3”、“5”两字之间夹角为60°,所以3时25分时两针夹角为60°-12.5°=.‎ 法三:设所求夹角度数为x°,将分针视作在追赶并超过时针,它们的速度分别是/min和0.5°/min,‎ 则由题意,‎ 得方程,‎ ‎.‎ 说明:(1)此题是角的度量的实际应用,它能加深我们对角的意义的理解.解题的关键是明确钟面上分针1分钟转过的角度是6°,时针1分钟转过的角度是分针转过角度的,即0.5°;(2)解题时要注意分针在运动时,时针也在运动,而不能认为时针静止;(3)这类题型可视作时针和分针在作相对运动,可以参照环形线路上的行程问题列方程(组)求解,也可以以钟面上“格”作单位,即分针和时针每分钟走1格和格.‎ 关于角的度量的典型例题六 ‎ 例 (1)指出图中OA、OB所处的位置.(2)画出OC射线,OC射线在北偏西45°.‎ ‎ 分析:①根据方位角,描述出射线所在的方位,②根据方位角确定方位.‎ ‎ 解:(1)射线OA在北偏东60°的方位上,射线OB在南偏东25°‎ 的方位上.(2)如图所示.‎ ‎ 说明:方位角都是以正南、正北为基准的,通过方位角确定方位时,一般以第一个方向作为角的始边,根据第二个方向作为旋转的方向,旋转相应的角度就可以确定方位.‎ 关于角的度量的典型例题六 ‎ 例 (1)指出图中OA、OB所处的位置.(2)画出OC射线,OC射线在北偏西45°.‎ ‎ 分析:①根据方位角,描述出射线所在的方位,②根据方位角确定方位.‎ ‎ 解:(1)射线OA在北偏东60°的方位上,射线OB在南偏东25°的方位上.(2)如图所示.‎ ‎ 说明:方位角都是以正南、正北为基准的,通过方位角确定方位时,一般以第一个方向作为角的始边,根据第二个方向作为旋转的方向,旋转相应的角度就可以确定方位.‎ 关于角的度量的选择题 ‎1.下列关于角的说法正确的是()‎ ‎ A.两条射线组成的图形叫角 ‎ B.角的大小与这个角的两边长短无关 ‎ C.延长一个角的两边 ‎ D.角的两边是射线,所以角不可以度量 ‎2.关于平角、周角的说法正确的是()‎ ‎ A.平角是一条直线 B.周角是一条射线 ‎ C.反向延长射线OA,就成一个平角 D.两个锐角的和不一定小于平角 ‎3.在钝角∠AOB内部引出两条射线OC、OD,则图中共有角()‎ ‎ A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ‎4.如图所示,下列表示的方法中,正确的是()‎ A. B. C. D.‎ ‎5.下列各角中,是钝角的是()‎ A.平角 B.平角 C.平角 D.周角 ‎6.如图下列表示角的方法,错误的是( ).‎ A.与表示同一个角 B.也可用来表示 C.图中、、‎ D.表示的是 ‎7.下列语句正确的是( ).‎ A.由两条射线所组成的图形叫做角 B.在的边AB延长线上取一点D C.如图,就是 D.对一个角的表示没有要求,可任意书写 ‎8.下列说法中正确的是( ).‎ ‎①两条射线所组成的图形叫做角 ‎②角的大小与边的长短无关 ‎③角的两边可以一样长,也可以一长一短 ‎④角的两边是两条射线 A.①② B.②④ C.②③ D.③④‎ ‎9.下列说法中正确的个数是( ).‎ ‎①直线AB是一个平角 ‎②两锐角的角的和不一定大于90°‎ ‎③两个锐角的和不一定大于180°‎ ‎④周角只有一条边 A.0 B.‎1 C.2 D.3‎ ‎10.40°15′的一半是( ).‎ A.20° B.20°7′ C.20°8′ D.20°7′30″‎ ‎11.已知三个非零度角的度数之和为180°,则这三个角中至少有一个角不大于( ).‎ A.30° B.45° C.60° D.75°‎ 参考答案 ‎1.B 2.C 3.D 4.C 5.B 6.B 7.C 8.B 9.C 10.D 11.D 关于角的度量的填空题 ‎1.把周角平均分成360分,每份_________的角,1°=____________,1′‎ ‎=_________.‎ ‎2.6点30分时,时针和分针的夹角是_________度.‎ ‎3.6点50分钟面上时针与分针所成的角为________度.‎ ‎4.4.75°=______°________′___________″.‎ ‎5.用度、分、秒表示52.73°为____度____分____秒.‎ ‎6.15°48′36″=_____________°.‎ ‎7.在图中,用三个大写字母表示为________;为________;为________;为________.‎ ‎8.在内部过顶点O引3条射线,则共有___________个角,如果引出99条射线,则共有_____________个角.‎ ‎9.计算90°-57°34′44″的结果为_______________.‎ ‎10.如图,是直角,,则度.‎ ‎11.在图中,A、B、C三点分别代表邮局,医院、 学校中的某一处,邮局和医院分别在学校的北偏 西方向,邮局又在医院的北偏东方向,那么图中A点应该是___________,B点是_________,C点是_________.‎ 参考答案 ‎1.1°,60′,60″‎ ‎2.15 ‎ ‎3.95‎ ‎4.4,45,0 ‎ ‎5.52,43,48‎ ‎6.15.81‎ ‎7.∠BDE;∠DBE;∠ABC;∠ACB ‎8.10 5050‎ ‎9.32°25′16″‎ ‎10.26°‎ ‎11.邮局,医院,学校 关于角的度量的解答题 ‎1.钟表2时15分时,你知道时针与分针的夹角是多少度吗?‎ ‎2.用剪刀沿直线剪掉长方形的一个角,数一数,还剩多少个角?‎ ‎3.如图,从一点O出发引射线OA、OB、OC、OD、OE,请你数一数图中有多少个角.‎ ‎4.计算:(1)77°52′+32°43′-21°17′;‎ ‎(2)37°15′×3;‎ ‎(3)175°52′÷3.‎ ‎(4)23°45′+24°16′‎ ‎(5)53°25′28″×5‎ ‎(6)15°20′÷6‎ ‎5.如图,在内部,从顶点O引出3条射线OC、OD、OE,则图形中共有几个角?如果从O点引出几条射线,有多少个角?你能找出规律吗?‎ ‎6.如图,已知OE是的角平分线,OD是的平分线.‎ ‎(1)若,求的度数;‎ ‎(2)若,求的度数.‎ ‎7.如图,指出OA表示什么方向的一条射线?并画出表示下列方向的射线:‎ ‎(1)南偏东60° (2)北偏西40°‎ ‎(2)南北方向 ‎8.时钟的时针从2点半到2点54分共转了多大角度?‎ ‎9.已知线段a、b、∠用尺规画一个△ABC,使.‎ ‎10.小明在宾馆大厅内看到反映世界几个大城市当前时刻的时钟如下(如图),请你分别写出每个钟面上时针和分针的夹角.‎ ‎11.一天24小时,时钟的分针与时针共组成多少次平角?多少次周角?‎ ‎12.如图,若放置一枝铅笔,使笔尖朝AB方向并重合于AB,以A为旋转中心,按逆时针方向旋转∠A的大小,与AF重合;再以F为中心,按逆时针方向旋转F的大小,与EF重合……这样连续都按逆时针方向旋转过去,最后与AB重合,这时笔尖的方向仍是朝向AB,你知道铅笔一共转过了多少度吗?这个实验能说明六边形内角和的度数吗?‎ ‎13.你知道下图中有多少三角形吗?‎ 参考答案:‎ ‎1.22.5°‎ ‎2.3个或4个或5个 ‎3.10个 ‎4.(1)89°18′;(2)112°45′;(3)58°38′‎ ‎(4)48°1′ (5)267°7′20″ (6)2°33′20″‎ ‎5.共有10个角;从O点出发引出几条射线,能组个基本角,则共有角的个数为:个角.‎ ‎6.(1)先求故 ‎(2)有则 ‎7.北偏东60°(图略)‎ ‎8.12°‎ ‎9.略 ‎10.从左至右依次为:150°、120°、30°,120°、90°、60°‎ ‎11.22次,22次 ‎12.720°,六边形内角和为720°‎ ‎13.78个