九年级数学上册第一章特殊平行四边形小结与复习课件新版北师大版 17页

小结与复习 第一章 特殊平行四边形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 项目 四边形 对边 角 对角线 对称性 平行且相等 平行 且四边相等 平行 且四边相等 四个角 都是直角 对角相等 邻角互补 四个角 都是直角 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角 一、菱形、矩形、正方形的性质 要点梳理 四边形 条件 ① 定义：有一外角是直角的平行四边形 ② 三个角是直角的四边形 ③ 对角线相等的平行四边形 ① 定义：一组邻边相等的平行四边形 ② 四条边都相等的四边形 ③ 对角线互相垂直的平行四边形 ① 定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形 ② 有一组邻边相等的矩形 ③ 有一个角是直角的菱形 二、菱形、矩形、正方形的常用判定方法 例 1 ： 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ， ∠ BAD =60° ， BD = 6 ， 求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长 . 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥ BD (菱形的对角线互相垂直) OB = OD = BD = ×6=3 (菱形的对角线互相平分) 在等腰三角形 ABC 中， ∵∠ BAD =60°， ∴△ ABD 是等边三角形. ∴ AB = BD = 6. A B C O D 考点一 菱形的性质和判定 考点讲练 证明：在 △ AOB 中 . ∵ AB = , OA =2, OB =1 . ∴ AB 2 = AO 2 + OB 2 . ∴ △ AOB 是直角三角形 , ∠ AOB 是直角 . ∴ AC ⊥ BD . ∴ □ ABCD 是菱形 ( 对角线垂直的平行四边形是菱形 ) . 1. 已知：如右图 , 在 □ ABCD 中 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 O , AB = , OA =2, OB =1. 求证： □ ABCD 是菱形 . A B C O D 针对训练 2 2. 已知：如图 , 在 △ ABC , AD 是角平分线 , 点 E 、 F 分别在 AB 、 AD 上 , 且 AE = AC , EF = ED . 求证：四边形 CDEF 是菱形 . A C B E D F 证明： ∵ ∠ 1= ∠ 2 , 又 ∵ AE = AC , ∴ △ ACD ≌ △ AED (SAS) . 同理△ ACF ≌ △ AEF (SAS) . ∴ CD = ED , CF = EF . 又 ∵ EF = ED , ∴ 四边形 ABCD 是菱形 （四边相等的四边形是菱形） . 1 3. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形 ABCD 是什么形状？说说你的理由 . A B C D E F 解：四边形 ABCD 是菱形 . 过点 C 作 AB 边的垂线交点 E , 作 AD 边上的垂线交点 F . S 四边形 ABCD = AD · CF = AB · CE . 由题意可知 CE = CF 且 四边形 ABCD 是平行四边形 . ∴ AD = AB . ∴ 四边形 ABCD 是菱形 . 例 2 ： 如图 , 在矩形 ABCD 中 , 两条对角线相交于点 O , ∠ AOD = 120° , AB = 2.5 , 求矩形对角线的长 . 解：∵四边形 ABCD 是矩形 . ∴ AC = BD ( 矩形的对角线相等 ) . OA = OC = AC , OB = OD = BD , ( 矩形对角线相互平分 ) ∴ OA = OD . A B C D O 考点二 矩形的性质和判定 A B C D O ∵ ∠ AOD =120° , ∴ ∠ ODA = ∠ OAD = (180° - 120°)=30°. 又∵ ∠ DAB =90° , （矩形的四个角都是直角） ∴ BD = 2 AB = 2 × 2.5 = 5. 4. 如图 , 在 □ ABCD 中 , 对角线 AC 与 BD 相交于点 O , △ ABO 是等边三角形 , AB =4 , 求 □ ABCD 的面积 . 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ OA = OC , OB = OD . 又∵ △ ABO 是等边三角形 , ∴ OA = OB = AB = 4 , ∠ BAC =60°. ∴ AC = BD = 2 OA = 2×4 = 8. A B C D O 针对训练 ∴ □ABCD 是矩形 （ 对角线相等的平行四边形是矩形 ） . ∴∠ ABC =90° （矩形的四个角都是直角） . 在 Rt △ ABC 中 , 由勾股定理 , 得 AB 2 + BC 2 = AC 2 , ∴ BC = . ∴ S □ABCD = AB · BC = 4× = A B C D O 5. 如图， O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作 BE ∥ AC ， CE ∥ BD ， BE 、 CE 交于点 E ，四边形 CEBO 是矩形吗？说出你的理由 . D A B C E O 解：四边形 CEBO 是矩形 . 理由如下：已知四边形 ABCD 是菱形 . ∴ AC ⊥ BD . ∴∠ BOC =90°. ∵ DE∥AC , CE ∥ BD ， ∴ 四边形 CEBO 是平行四边形 . ∴四边形 CEBO 是矩形 （有一个角是直角 的平行四边形是矩形 ） . 例 3 ： 如图在正方形 ABCD 中 , E 为 CD 上一点， F 为 BC 边延长线上一点 , 且 CE = CF . BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由 . 解： BE = DF , 且 BE ⊥ DF .理由如下： （1）∵四边形 ABCD 是正方形. ∴ BC = DC , ∠ BCE =90° . （正方形的四条边都相等 , 四个角都是直角） ∴∠ DCF =180° - ∠ BCE =180° - 90°=90°. A B D C F E 考点三 正方形的性质和判定 ∴∠ BCE =∠ DCF . 又∵ CE = CF . ∴△ BCE ≌ △ DCF . ∴ BE = DF . (2) 延长 BE 交 DE 于点 M , ∵ △ BCE ≌ △ DCF , ∴∠ CBE = ∠ CDF . ∵∠ DCF =90° , ∴∠ CDF + ∠ F =90°.∴∠ CBE + ∠ F =90° , ∴∠ BMF =90°. ∴ BE ⊥ DF . A B D F E C M 6. 如图 , 在矩形 ABCD 中 , BE 平分 ∠ ABC , CE 平分 ∠ DCB , BF ∥ CE , CF ∥ BE . 求证：四边形 BECF 是正方形 . F A B E C D 解析：先由两组平行线得出四边形 BECF 平行四边形；再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可得正方形 . 45° 45° 针对训练 F A B E C D 证明 : ∵ BF ∥ CE , CF ∥ BE ， ∴四边形 BECF 是平行四边形 . ∵四边形 ABCD 是矩形 , ∴ ∠ ABC = 90° , ∠ DCB = 90° , ∵ BE 平分∠ ABC , CE 平分∠ DCB , ∴∠ EBC = 45° , ∠ ECB = 45° , ∴ ∠ EBC = ∠ ECB . ∴ EB = EC , ∴ □ BECF 是菱形 . 在 △ EBC 中 ∵ ∠ EBC = 45 ° , ∠ ECB = 45° , ∴∠ BEC = 90° , ∴菱形 BECF 是正方形 . （有一个角是直角的菱形是正方形） 四边形的分类及转化 有一个角是 90° （或对角线互相垂直） 有一对邻边相等 （或对角线相等） 平行四边形 矩形 菱形 正方形 一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直且相等） 有一个角是 90° （或对角线互相垂直） 有一对邻边相等 （或对角线相等） 课堂小结