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- 2021-11-10 发布
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1
中考数学微专题:一次函数常见问题分析与例题详解
一.忽视一次函数定义中k≠0这一条件
例 1 已知一次函数y = (m-2)x + m2-3m-2的图象与y轴的交点为(0, -4),求m
的值.
错解:把点(0,-4)代入已知的函数关系式中,得 24 3 2m m ,解得 1 21, 2m m .
错解分析:产生错误的原因是忽视了一次函数定义中“k≠0”这一条件.当m = 2
时,m-2 =0,此时函数就不是一次函数,故应舍去.正确答案是m = 1.
正解:把点(0,-4)代入已知的函数关系式中,得 24 3 2m m .解得 1 21, 2m m .
因为k≠0,而当m = 2时,m-2 =0,因此m = 1.
二.忽视一次函数中自变量的取值范围
例2 下列函数的图象与y = x的图象完全相同的是( )
① 3 3y x ②
2xy x
③ y x ④ 2( )y x
A.①②③④ B.①②④ C.①②③ D.①
错解:选B.由于函数①②④都可化为y =x,③不能直接化为y =x,故选B.
错解分析:若要两个函数图象完全相同,必须同时满足:(1)函数关系式可化
为同一形式,(2) 自变量的取值范围相同.本题忽视了对函数自变量取值范围
的检验.由 3 3y x 知,x的取值范围是一切实数;由
2xy x
知,x≠0;由 2( )y x 知
x≥0.而函数y =x的自变量的取值范围是一切实数,所以②,④两个函数的图象
2
与y = x的图象不同.又由 y x ,知y≥0,它的图象也与y =x的图象不同.只有
3 3y x 与y=x的图象完全相同,故应选D.
正解:选D.
三.忽视题设条件
例 3 若一次函数y=(1+ 2m)x-m- 1
4
的函数值y随x的增大而减小,且此函数图象
不经过第三象限,求m的取值范围.
错解: 根据题意有1+2m<0,所以m< 1
2
,故m的取值范围是m< 1
2
.
错解分析: 错在忽视了题设条件:函数图象不经过第三象限.因为函数图象不
经过第三象限,所以它与y轴的交点应在y轴的正半轴或原点. 所以 1
4m ≥0,
即 1
4m .综合前解,得m的取值范围是m< 1
2
.虽然结果相同,但不考虑题设条件
的解答是不完整的.
正解:由题意知1+2m<0且 1
4m ≥0,即m< 1
2
且 1
4m ,所以m< 1
2
.
四.考虑问题不全面
例4 已知直线y=-x+5与x轴交于A点,直线上有一点P,满足△POA的面积为10,
求点P的坐标.
错解:若y = 0,则x=5, 所以A点的坐标为(5,0).设 P (x,y),则 S△POA = 1
2
·OA·y,
所以10= 1 52 y ,解得y= 4.代入y=-x+5,得x=1,故P点坐标为(1,4).
错解分析: 此题错误原因在于漏解,即忽略了 P 点在 x 轴下方的情形(如图).
3
正解:设P(x,y),则 1 1 5 10,2 2
POAS OA y y· ·V 解得 4y ,
所以 1 24, 4.y y 分别代入y=-x+5,得 1 2x 1, 9. x
所以P点的坐标为(1,4)或(9, -4).
五.遗漏附加条件出现错误
例 5 若一次函数 2 8 5 3my x m 的图象经过第一象限,则 m 的值是 .
错解: 由题意,得 2 8 1m ,解得 3m 或 3m .
错解分析: 造成错解的原因是遗漏了函数的图象经过第一象限,所以5 3 0m ,
即 3
5m .故正确答案是 3m .
正解:m=3
六.缺少分类讨论出现错误
例 6 当 a = 时,函数 3 1( 1) 7 3( 0) ay a x x x 是一次函数.
错解: 由题意,得3 1 1a ,即 0a .
错解分析: 此解法只考虑了指数是 1 的情形,而忽视了系数 1a 为 0 的情况,
以及指数为 0 (任何不等于 0 的数的零次幂为 1)的情况,正确答案是: 0a 或
1
3a 或 1a .
七.不熟悉函数的性质出现错误
4
例 7 若一次函数 y kx b 的自变量的取值范围是 2 4x ≤ ≤ ,相应函数值的取值范
围是 x6≤ ≤8 ,则这个函数的关系式是 .
错解: 对于一次函数 y kx b ,由题意可知:当 2x 时, 6y ;当 4x 时, 8y .
故 2 6,
4 8.
k b
k b
解之,得
1 ,3
20.3
k
b
所以这个函数的关系式是 1 20.3 3y x
错解分析: 此解法忽视了另一种情形,即 y 随 x 的增大而减小.对应取值是:
当 2x 时, y =8;当 4x 时, 6y .类似上述解法可求得
1 ,3
22.3
k
b
故所求函数的
关系式是 1 20
3 3y x 或 1 22
3 3y x .
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