呼和浩特专版2020中考数学复习方案第五单元四边形第24课时矩形菱形课件 37页

第 24 课时　 矩形、菱形 第五单元　四边形 定义 　 有一个角是 ① 　　　 的平行四边形叫做矩形   性质 (1) 矩形具有平行四边形的所有性质 (2) 矩形的四个角都是 ② 　　　 , 对角线互相平分并且 ③ 　　　   (3) 矩形是轴对称图形 , 它有两条对称轴 ; 又是中心对称图形 , 它的对称中心就是 ④ 　　　　　   考点一　矩形 考点聚焦 直角 直角 相等 对角线的交点 判定 (1) 定义法 (2) 有三个角是直角的四边形是矩形 (3) ⑤ 　　 　　　 的平行四边形是矩形   有关计算 (1) 周长 C= 2( a + b )( 其中 a 为长 , b 为宽 ); (2) 面积 S=ab ( 其中 a 为长 , b 为宽 ) （续表） 对角线相等 定义 　 有一组 ⑥ 　　　　　 的平行四边形叫做菱形   性质 (1) 菱形具有平行四边形的所有性质 (2) 菱形的四条边 ⑦ 　　　 , 对角线互相 ⑧ 　　　　 , 并且每条对角线平分一组对角   (3) 菱形既是轴对称图形也是中心对称图形 , 对称轴是两条对角线所在的直线 , 对称中心是 ⑨ 　 　　   (4) 菱形的面积等于对角线乘积的 ⑩ 　　   考点二　菱形 邻边相等 相等 垂直平分 对角线的交点 一半 判定 (1) 定义法 (2) 四条边 ⑪ 　　　 的四边形是菱形   (3) 对角线 ⑫ 　 　 的平行四边形是菱形   有关计算 (1) 周长 C= 4 a ( 其中 a 为边长 ); (2) 面积 S=ah= 对角线乘积的一半 ( 其中 a 为边长 , h 为此边上的高 ) （续表） 相等 互相垂直 题组一　必会题 对点演练 1 . [2019· 无锡 ] 下列结论中 , 矩形具有而菱形不一定具有的性质是 ( 　　 ) A . 内角和为 360° B . 对角线互相平分 C . 对角线相等 D . 对角线互相垂直 C 2 . [ 八下 P53 例 1 改编 ] 如图 24-1, 矩形 ABCD 的对角线 AC , BD 相交于点 O , ∠ AOB= 60°, AB= 4, 则 AC= 　　　　 .  图 24-1 8 3 . [ 八下 P57 练习第 1 题改编 ] 四边形 ABCD 是菱形 , 对角线 AC , BD 相交于点 O , 且 AB= 5, AO= 4, 则 AC= 　　　　 , BD= 　　　　 .  8 6 4 . [ 八下 P61 习题 18 . 2 第 11 题改编 ] 如图 24-2, 四边形 ABCD 是菱形 , 若 AC= 8, DB= 6, DH ⊥ AB 于点 H , 则 DH= 　　　　 .  图 24-2 [ 答案 ] 4 . 8 题组二　易错题 【 失分点 】 对矩形及菱形有关涉及对角线方面的判定定理易混淆 ; 不会利用菱形的轴对称性解决最短路径问题 . C 6 . 如图 24-3, 菱形 ABCD 中 , AB= 2, ∠ A= 120°, 点 P , Q , K 分别为线段 BC , CD , BD 上的任意一点 , 则 PK + QK 的最小值为 　　　　 .  图 24-3 考向一　矩形的性质与判定 图 24-4 例 1 如图 24-4 所示 ,△ ABC 中 , D 是 BC 边上一点 , E 是 AD 的中点 , 过点 A 作 BC 的平行线交 CE 的延长线于 F , 且 AF=BD , 连接 BF. (1) 求证 : D 是 BC 的中点 ; (2) 若 AB=AC , 试判断四边形 AFBD 的形状 , 并证明你的结论 . 解 :(1) 证明 : ∵点 E 是 AD 的中点 , ∴ AE=DE. ∵ AF ∥ BC , ∴∠ AFE= ∠ DCE , ∠ FAE= ∠ CDE. ∴ △ EAF ≌△ EDC. ∴ AF=DC. ∵ AF=BD , ∴ BD=DC , 即 D 是 BC 的中点 . 图 24-4 例 1 如图 24-4 所示 ,△ ABC 中 , D 是 BC 边上一点 , E 是 AD 的中点 , 过点 A 作 BC 的平行线交 CE 的延长线于 F , 且 AF=BD , 连接 BF. (2) 若 AB=AC , 试判断四边形 AFBD 的形状 , 并证明你的结论 . (2) 四边形 AFBD 是矩形 . 证明如下 : ∵ AF ∥ BD , AF=BD , ∴四边形 AFBD 是平行四边形 . ∵ AB=AC , 又由 (1) 可知 D 是 BC 的中点 , ∴ AD ⊥ BC. ∴ ▱ AFBD 是矩形 . | 考向精练 | C 图 24-5 2 . [2014· 呼和浩特 9 题 ] 已知矩形 ABCD 的周长为 20 cm, 两条对角线 AC , BD 相交于点 O , 过点 O 作 AC 的垂线 EF , 分别交边 AD , BC 于点 E , F ( 不与顶点重合 ), 连接 AF , CE , 则以下关于 △ CDE 与 △ ABF 的判断完全正确的一项为 ( 　　 ) A . △ CDE 与 △ ABF 的周长都等于 10 cm, 但面积不一定相等 B . △ CDE 与 △ ABF 全等 , 且周长都为 10 cm C . △ CDE 与 △ ABF 全等 , 且周长都为 5 cm D . △ CDE 与 △ ABF 全等 , 但它们的周长和面积都不能确定 [ 答案 ] B 3 . 如图 24-6, ∠ MON= 90°, 矩形 ABCD 的顶点 A , B 分别在边 OM , ON 上 , 当 B 在边 ON 上运动时 , A 随之在边 OM 上运动 , 矩形 ABCD 的形状保持不变 , 其中 AB= 2, BC= 1, 运动过程中 , 点 D 到点 O 的最大距离为 　　　　 .  图 24-6 4 . 数学文化 [2019· 呼和浩特一模 ] 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形 ( 古人称直角三角形为勾股形 ) 分割成一个正方形和两对全等的直角三角形 , 得到一个恒等式 , 后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理 . 如图 24-7 所示的矩形由两个这样的图形拼成 , 若 a= 3, b= 4, 则该矩形的面积为 　　　　 .  图 24-7 数学文化 [ 答案 ] 24 5 . [2014· 呼和浩特 21 题 ] 如图 24-8, 四边形 ABCD 是矩形 , 把矩形沿 AC 折叠 , 点 B 落在点 E 处 , AE 与 DC 的交点为 O , 连接 DE. (1) 求证 :△ ADE ≌△ CED ; (2) 求证 : DE ∥ AC. 图 24-8 5 . [2014· 呼和浩特 21 题 ] 如图 24-8, 四边形 ABCD 是矩形 , 把矩形沿 AC 折叠 , 点 B 落在点 E 处 , AE 与 DC 的交点为 O , 连接 DE. (2) 求证 : DE ∥ AC. 图 24-8 (2) ∵ △ ADE ≌△ CED , ∴∠ EDC= ∠ DEA , 又∵ △ ACE 与 △ ACB 关于 AC 所在直线对称 , ∴∠ OAC= ∠ CAB , ∵∠ OCA= ∠ CAB , ∴∠ OAC= ∠ OCA , ∴ 2 ∠ OAC= 2 ∠ DEA , ∴∠ OAC= ∠ DEA , ∴ DE ∥ AC. 考向二　菱形的性质与判定 例 2 [ 八下 P67 复习题 18 第 5 题改编 ] 如图 24-9, 矩形 ABCD 的对角线 AC , BD 相交于点 O , 且 DE ∥ AC , CE ∥ BD. (1) 求证 : 四边形 OCED 是菱形 ; (2) 若 AB + AD= 23, AO= 8 . 5, 求菱形 OCED 的面积 . 图 24-9 例 2 [ 八下 P67 复习题 18 第 5 题改编 ] 如图 24-9, 矩形 ABCD 的对角线 AC , BD 相交于点 O , 且 DE ∥ AC , CE ∥ BD. (2) 若 AB + AD= 23, AO= 8 . 5, 求菱形 OCED 的面积 . 图 24-9 (2) ∵ AO= 8 . 5, ∴ AC= 17, ∵ AB + AD= 23, ∴ ( AB + AD ) 2 = 23 2 , ∴ AB 2 + AD 2 +2 AB · AD= 23 2 , ∴ BD 2 +2 AB · AD= 23 2 , ∵ BD=AC= 17, ∴ AB · AD= 120, 易知矩形 ABCD 的面积是菱形 CODE 的面积的 2 倍 , ∴菱形 CODE 的面积是 60 . | 考向精练 | [ 答案 ] C 图 24-10 [ 答案 ] A 　 3 . [2017· 呼和浩特模拟 ] 如图 24-11, 在菱形 ABCD 中 , ∠ ABC= 60°, AB= 2, 点 P 是这个菱形内部或边上的一点 , 若以点 P , B , C 为顶点的三角形是等腰三角形 , 则 P , D ( P , D 两点不重合 ) 两点间的最短距离为 　　　　 .  图 24-11 4 . [2018· 呼和浩特 18 题 ] 如图 24-12, 已知 A , F , C , D 四点在同一条直线上 , AF=CD , AB ∥ DE , 且 AB=DE. (1) 求证 :△ ABC ≌△ DEF ; (2) 若 EF= 3, DE= 4, ∠ DEF= 90°, 请直接写出使四边形 EFBC 为菱形时 AF 的长度 . 图 24-12 解 :(1) 证明 : ∵ AB ∥ DE , ∴∠ A= ∠ D , ∵ AF=CD , ∴ AC=DF , 又∵ AB=DE , ∴ △ ABC ≌△ DEF. 4 . [2018· 呼和浩特 18 题 ] 如图 24-12, 已知 A , F , C , D 四点在同一条直线上 , AF=CD , AB ∥ DE , 且 AB=DE. (2) 若 EF= 3, DE= 4, ∠ DEF= 90°, 请直接写出使四边形 EFBC 为菱形时 AF 的长度 . 图 24-12 5 . [2018· 呼和浩特 34 中月考 ] 菱形 ABCD 中 , ∠ B= 60°, 点 E 在边 BC 上 , 点 F 在边 CD 上 . (1) 如图 24-13 ① , 若 E 是 BC 的中点 , ∠ AEF= 60°, 求证 : BE=DF ; (2) 如图② , 若∠ EAF= 60°, 求证 :△ AEF 是等边三角形 . 图 24-13 证明 :(1) 如图① , 连接 AC , ∵菱形 ABCD 中 , ∠ B= 60°, ∴ AB=BC=CD , ∠ BCD= 180°- ∠ B= 120°, ∴ △ ABC 是等边三角形 , ∵ E 是 BC 的中点 , ∴ AE ⊥ BC , ∵∠ AEF= 60°, ∴∠ FEC= 90°- ∠ AEF= 30°, ∴∠ CFE= 180°- ∠ FEC - ∠ BCD= 180°-30°-120° = 30°, ∴∠ FEC= ∠ CFE , ∴ EC=CF , ∴ BE=DF. 5 . [2018· 呼和浩特 34 中月考 ] 菱形 ABCD 中 , ∠ B= 60°, 点 E 在边 BC 上 , 点 F 在边 CD 上 . (2) 如图② , 若∠ EAF= 60°, 求证 :△ AEF 是等边三角形 . 图 24-13