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  • 2021-11-10 发布

2019年浙江省杭州市中考数学试卷含答案

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‎2019年浙江省杭州市中考数学试卷 一、选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的;‎ ‎1.(3分)计算下列各式,值最小的是(  )‎ A.2×0+1﹣9 B.2+0×1﹣9 C.2+0﹣1×9 D.2+0+1﹣9‎ ‎2.(3分)在平面直角坐标系中,点A(m,2)与点B(3,n)关于y轴对称,则(  )‎ A.m=3,n=2 B.m=﹣3,n=2 C.m=2,n=3 D.m=﹣2,n=﹣3‎ ‎3.(3分)如图,P为圆O外一点,PA,PB分别切圆O于A,B两点,若PA=3,则PB=(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎4.(3分)已知九年级某班30位学生种树72棵,男生每人种3棵树,女生每人种2棵树,设男生有x人,则(  )‎ A.2x+3(72﹣x)=30 B.3x+2(72﹣x)=30 ‎ C.2x+3(30﹣x)=72 D.3x+2(30﹣x)=72‎ ‎5.(3分)点点同学对数据26,36,46,5□,52进行统计分析,发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了,则计算结果与被涂污数字无关的是(  )‎ A.平均数 B.中位数 C.方差 D.标准差 ‎6.(3分)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB和AC上,DE∥BC,M为BC边上一点(不与点B,C重合),连接AM交DE于点N,则(  )‎ A.ADAN‎=‎ANAE B.BDMN‎=‎MNCE C.DNBM‎=‎NEMC D.‎DNMC‎=‎NEBM ‎7.(3分)在△ABC中,若一个内角等于另外两个内角的差,则(  )‎ A.必有一个内角等于30° B.必有一个内角等于45° ‎ C.必有一个内角等于60° D.必有一个内角等于90°‎ ‎8.(3分)已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a(a≠b),函数y1和y2的图象可能是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎9.(3分)如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内),已知AB=a,AD=b,∠BCO=x,则点A到OC的距离等于(  )‎ A.asinx+bsinx B.acosx+bcosx ‎ C.asinx+bcosx D.acosx+bsinx ‎10.(3分)在平面直角坐标系中,已知a≠b,设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点,函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点,则(  )‎ A.M=N﹣1或M=N+1 B.M=N﹣1或M=N+2 ‎ C.M=N或M=N+1 D.M=N或M=N﹣1‎ 二、填空题:本大题有6个小题,每小题4分,共24分;‎ ‎11.(4分)因式分解:1﹣x2=   .‎ ‎12.(4分)某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x,第二次算得另外n个数据的平均数为y,则这m+n个数据的平均数等于   .‎ ‎13.(4分)如图是一个圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度),已知其母线长为12cm,底面圆半径为3cm,则这个冰淇淋外壳的侧面积等于   cm2(结果精确到个位).‎ ‎14.(4分)在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cosC=   .‎ ‎15.(4分)某函数满足当自变量x=1时,函数值y=0,当自变量x=0时,函数值y=1,写出一个满足条件的函数表达式   .‎ ‎16.(4分)如图,把某矩形纸片ABCD沿EF,GH折叠(点E,H在AD边上,点F,G在BC边上),使点B和点C落在AD边上同一点P处,A点的对称点为A′点,D点的对称点为D′点,若∠FPG=90°,△A′EP的面积为4,△D′PH的面积为1,则矩形ABCD的面积等于   .‎ 三、解答题:本小题7个小题,共66分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(6分)化简:‎4xx‎2‎‎-4‎‎-‎2‎x-2‎-‎1‎ 圆圆的解答如下:‎ ‎4xx‎2‎‎-4‎‎-‎2‎x-2‎-‎‎1=4x﹣2(x+2)﹣(x2﹣4)=﹣x2+2x 圆圆的解答正确吗?如果不正确,写出正确的答案.‎ ‎18.(8分)称量五筐水果的质量,若每筐以50千克为基准,超过基准部分的千克数记为正数,不足基准部分的千克数记为负数,甲组为实际称量读数,乙组为记录数据,并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图(单位:千克).‎ 实际称量读数和记录数据统计表 序号 数据 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 甲组 ‎48‎ ‎52‎ ‎47‎ ‎49‎ ‎54‎ 乙组 ‎﹣2‎ ‎2‎ ‎﹣3‎ ‎﹣1‎ ‎4‎ ‎(1)补充完成乙组数据的折线统计图.‎ ‎(2)①甲,乙两组数据的平均数分别为x甲,x乙,写出x甲与x乙之间的等量关系.‎ ‎②甲,乙两组数据的方差分别为S甲2,S乙2,比较S甲2与S乙2的大小,并说明理由.‎ ‎19.(8分)如图,在△ABC中,AC<AB<BC.‎ ‎(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连接AP,求证:∠APC=2∠B.‎ ‎(2)以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连接AQ.若∠AQC=3∠B,求∠B的度数.‎ ‎20.(10分)方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地,行驶里程为480千米,设小汽车的行驶时间为t(单位:小时),行驶速度为v(单位:千米/小时),且全程速度限定为不超过120千米/小时.‎ ‎(1)求v关于t的函数表达式;‎ ‎(2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发.‎ ‎①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地,求小汽车行驶速度v的范围.‎ ‎②方方能否在当天11点30分前到达B地?说明理由.‎ ‎21.(10分)如图,已知正方形ABCD的边长为1,正方形CEFG的面积为S1,点E在DC边上,点G在BC的延长线上,设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2,且S1=S2.‎ ‎(1)求线段CE的长;‎ ‎(2)若点H为BC边的中点,连接HD,求证:HD=HG.‎ ‎22.(12分)设二次函数y=(x﹣x1)(x﹣x2)(x1,x2是实数).‎ ‎(1)甲求得当x=0时,y=0;当x=1时,y=0;乙求得当x‎=‎‎1‎‎2‎时,y‎=-‎‎1‎‎2‎.若甲求得的结果都正确,你认为乙求得的结果正确吗?说明理由.‎ ‎(2)写出二次函数图象的对称轴,并求该函数的最小值(用含x1,x2的代数式表示).‎ ‎(3)已知二次函数的图象经过(0,m)和(1,n)两点(m,n是实数),当0<x1<x2<1时,求证:0<mn‎<‎‎1‎‎16‎.‎ ‎23.(12分)如图,已知锐角三角形ABC内接于圆O,OD⊥BC于点D,连接OA.‎ ‎(1)若∠BAC=60°,‎ ‎①求证:OD‎=‎‎1‎‎2‎OA.‎ ‎②当OA=1时,求△ABC面积的最大值.‎ ‎(2)点E在线段OA上,OE=OD,连接DE,设∠ABC=m∠OED,∠ACB=n∠OED(m,n是正数),若∠ABC<∠ACB,求证:m﹣n+2=0.‎ ‎2019年浙江省杭州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题有10个小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的;‎ ‎1.(3分)计算下列各式,值最小的是(  )‎ A.2×0+1﹣9 B.2+0×1﹣9 C.2+0﹣1×9 D.2+0+1﹣9‎ ‎【解答】解:A.2×0+1﹣9=﹣8,‎ B.2+0×1﹣9=﹣7‎ C.2+0﹣1×9=﹣7‎ D.2+0+1﹣9=﹣6,‎ 故选:A.‎ ‎2.(3分)在平面直角坐标系中,点A(m,2)与点B(3,n)关于y轴对称,则(  )‎ A.m=3,n=2 B.m=﹣3,n=2 C.m=2,n=3 D.m=﹣2,n=﹣3‎ ‎【解答】解:∵点A(m,2)与点B(3,n)关于y轴对称,‎ ‎∴m=﹣3,n=2.‎ 故选:B.‎ ‎3.(3分)如图,P为圆O外一点,PA,PB分别切圆O于A,B两点,若PA=3,则PB=(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【解答】解:连接OA、OB、OP,‎ ‎∵PA,PB分别切圆O于A,B两点,‎ ‎∴OA⊥PA,OB⊥PB,‎ 在Rt△AOP和Rt△BOP中,‎ OA=OBOP=OP‎,‎ ‎∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL),‎ ‎∴PB=PA=3,‎ 故选:B.‎ ‎4.(3分)已知九年级某班30位学生种树72棵,男生每人种3棵树,女生每人种2棵树,设男生有x人,则(  )‎ A.2x+3(72﹣x)=30 B.3x+2(72﹣x)=30 ‎ C.2x+3(30﹣x)=72 D.3x+2(30﹣x)=72‎ ‎【解答】解:设男生有x人,则女生(30﹣x)人,根据题意可得:‎ ‎3x+2(30﹣x)=72.‎ 故选:D.‎ ‎5.(3分)点点同学对数据26,36,46,5□,52进行统计分析,发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了,则计算结果与被涂污数字无关的是(  )‎ A.平均数 B.中位数 C.方差 D.标准差 ‎【解答】解:这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关,而这组数据的中位数为46,与第4个数无关.‎ 故选:B.‎ ‎6.(3分)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB和AC上,DE∥BC,M为BC边上一点(不与点B,C重合),连接AM交DE于点N,则(  )‎ A.ADAN‎=‎ANAE B.BDMN‎=‎MNCE C.DNBM‎=‎NEMC D.‎DNMC‎=‎NEBM ‎【解答】解:∵DN∥BM,‎ ‎∴△ADN∽△ABM,‎ ‎∴DNBM‎=‎ANAM,‎ ‎∵NE∥MC,‎ ‎∴△ANE∽△AMC,‎ ‎∴NEMC‎=‎ANAM,‎ ‎∴DNBM‎=‎NEMC.‎ 故选:C.‎ ‎7.(3分)在△ABC中,若一个内角等于另外两个内角的差,则(  )‎ A.必有一个内角等于30° B.必有一个内角等于45° ‎ C.必有一个内角等于60° D.必有一个内角等于90°‎ ‎【解答】解:∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=∠C﹣∠B,‎ ‎∴2∠C=180°,‎ ‎∴∠C=90°,‎ ‎∴△ABC是直角三角形,‎ 故选:D.‎ ‎8.(3分)已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a(a≠b),函数y1和y2的图象可能是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【解答】解:A、由①可知:a>0,b>0.‎ ‎∴直线②经过一、二、三象限,故A正确;‎ B、由①可知:a<0,b>0.‎ ‎∴直线②经过一、二、三象限,故B错误;‎ C、由①可知:a<0,b>0.‎ ‎∴直线②经过一、二、四象限,交点不对,故C错误;‎ D、由①可知:a<0,b<0,‎ ‎∴直线②经过二、三、四象限,故D错误.‎ 故选:A.‎ ‎9.(3分)如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内),已知AB=a,AD=b,∠BCO=x,则点A到OC的距离等于(  )‎ A.asinx+bsinx B.acosx+bcosx ‎ C.asinx+bcosx D.acosx+bsinx ‎【解答】解:作AE⊥OC于点E,作AF⊥OB于点F,‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠ABC=90°,‎ ‎∵∠ABC=∠AEC,∠BCO=x,‎ ‎∴∠EAB=x,‎ ‎∴∠FBA=x,‎ ‎∵AB=a,AD=b,‎ ‎∴FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx,‎ 故选:D.‎ ‎10.(3分)在平面直角坐标系中,已知a≠b,设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点,函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点,则(  )‎ A.M=N﹣1或M=N+1 B.M=N﹣1或M=N+2 ‎ C.M=N或M=N+1 D.M=N或M=N﹣1‎ ‎【解答】解:∵y=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+1,‎ ‎∴△=(a+b)2﹣4ab=(a﹣b)2>0,‎ ‎∴函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有2个交点,‎ ‎∴M=2,‎ ‎∵函数y=(ax+1)(bx+1)=abx2+(a+b)x+1,‎ ‎∴当ab≠0时,△=(a+b)2﹣4ab=(a﹣b)2>0,函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有2个交点,即N=2,此时M=N;‎ 当ab=0时,不妨令a=0,∵a≠b,∴b≠0,函数y=(ax+1)(bx+1)=bx+1为一次函数,与x轴有一个交点,即N=1,此时M=N+1;‎ 综上可知,M=N或M=N+1.‎ 故选:C.‎ 二、填空题:本大题有6个小题,每小题4分,共24分;‎ ‎11.(4分)因式分解:1﹣x2= (1﹣x)(1+x) .‎ ‎【解答】解:∵1﹣x2=(1﹣x)(1+x),‎ 故答案为:(1﹣x)(1+x).‎ ‎12.(4分)某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x,第二次算得另外n个数据的平均数为y,则这m+n个数据的平均数等于 mx+nym+n .‎ ‎【解答】解:∵某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x,第二次算得另外n个数据的平均数为y,‎ 则这m+n个数据的平均数等于:mx+nym+n.‎ 故答案为:mx+nym+n.‎ ‎13.(4分)如图是一个圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度),已知其母线长为12cm,底面圆半径为3cm,则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 113 cm2(结果精确到个位).‎ ‎【解答】解:这个冰淇淋外壳的侧面积‎=‎1‎‎2‎×‎2π×3×12=36π≈113(cm2).‎ 故答案为113.‎ ‎14.(4分)在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cosC= ‎3‎‎2‎或‎2‎‎5‎‎5‎ .‎ ‎【解答】解:若∠B=90°,设AB=x,则AC=2x,所以BC‎=‎(2x‎)‎‎2‎-‎x‎2‎=‎‎3‎x,所以cosC‎=BCAC=‎3‎x‎2x=‎‎3‎‎2‎;‎ 若∠A=90°,设AB=x,则AC=2x,所以BC‎=‎(2x‎)‎‎2‎+‎x‎2‎=‎‎5‎x,所以cosC‎=ACBC=‎2x‎5‎x=‎‎2‎‎5‎‎5‎;‎ 综上所述,cosC的值为‎3‎‎2‎或‎2‎‎5‎‎5‎.‎ 故答案为‎3‎‎2‎或‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎15.(4分)某函数满足当自变量x=1时,函数值y=0,当自变量x=0时,函数值y=1,写出一个满足条件的函数表达式 y=﹣x+1 .‎ ‎【解答】解:设该函数的解析式为y=kx+b,‎ ‎∵函数满足当自变量x=1时,函数值y=0,当自变量x=0时,函数值y=1,‎ ‎∴‎k+b=0‎b=1‎ 解得:k=-1‎b=1‎,‎ 所以函数的解析式为y=﹣x+1,‎ 故答案为:y=﹣x+1.‎ ‎16.(4分)如图,把某矩形纸片ABCD沿EF,GH折叠(点E,H在AD边上,点F,G 在BC边上),使点B和点C落在AD边上同一点P处,A点的对称点为A′点,D点的对称点为D′点,若∠FPG=90°,△A′EP的面积为4,△D′PH的面积为1,则矩形ABCD的面积等于 2(5+3‎5‎) .‎ ‎【解答】解:∵四边形ABC是矩形,‎ ‎∴AB=CD,AD=BC,设AB=CD=x,‎ 由翻折可知:PA′=AB=x,PD′=CD=x,‎ ‎∵△A′EP的面积为4,△D′PH的面积为1,‎ ‎∴A′E=4D′H,设D′H=a,则A′E=4a,‎ ‎∵△A′EP∽△D′PH,‎ ‎∴D'HPA'‎‎=‎PD'‎EA'‎,‎ ‎∴ax‎=‎x‎4a,‎ ‎∴x2=4a2,‎ ‎∴x=2a或﹣2a(舍弃),‎ ‎∴PA′=PD′=2a,‎ ‎∵‎1‎‎2‎•a•2a=1,‎ ‎∴a=1,‎ ‎∴x=2,‎ ‎∴AB=CD=2,PE‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=‎2‎5‎,PH‎=‎1‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=‎‎5‎,‎ ‎∴AD=4+2‎5‎‎+‎5‎+‎1=5+3‎5‎,‎ ‎∴矩形ABCD的面积=2(5+3‎5‎).‎ 故答案为2(5+3‎5‎)‎ 三、解答题:本小题7个小题,共66分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(6分)化简:‎4xx‎2‎‎-4‎‎-‎2‎x-2‎-‎1‎ 圆圆的解答如下:‎ ‎4xx‎2‎‎-4‎‎-‎2‎x-2‎-‎‎1=4x﹣2(x+2)﹣(x2﹣4)=﹣x2+2x 圆圆的解答正确吗?如果不正确,写出正确的答案.‎ ‎【解答】解:圆圆的解答错误,‎ 正确解法:‎4xx‎2‎‎-4‎‎-‎2‎x-2‎-‎1‎ ‎=‎4x‎(x-2)(x+2)‎-‎2(x+2)‎‎(x-2)(x+2)‎-‎‎(x-2)(x+2)‎‎(x-2)(x+2)‎‎ ‎ ‎=‎‎4x-2x-4-x‎2‎+4‎‎(x-2)(x+2)‎‎ ‎ ‎=‎‎2x-‎x‎2‎‎(x-2)(x+2)‎‎ ‎ ‎=-‎xx+2‎‎.‎ ‎18.(8分)称量五筐水果的质量,若每筐以50千克为基准,超过基准部分的千克数记为正数,不足基准部分的千克数记为负数,甲组为实际称量读数,乙组为记录数据,并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图(单位:千克).‎ 实际称量读数和记录数据统计表 序号 数据 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 甲组 ‎48‎ ‎52‎ ‎47‎ ‎49‎ ‎54‎ 乙组 ‎﹣2‎ ‎2‎ ‎﹣3‎ ‎﹣1‎ ‎4‎ ‎(1)补充完成乙组数据的折线统计图.‎ ‎(2)①甲,乙两组数据的平均数分别为x甲,x乙,写出x甲与x乙之间的等量关系.‎ ‎②甲,乙两组数据的方差分别为S甲2,S乙2,比较S甲2与S乙2的大小,并说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)乙组数据的折线统计图如图所示:‎ ‎(2)①x甲‎=‎50‎+‎x乙.‎ ‎②S甲2=S乙2.‎ 理由:∵S甲2‎=‎‎1‎‎5‎[(48﹣50)2+(52﹣50)2+(47﹣50)2+(49﹣50)2+(54﹣50)2]=6.8.‎ S乙2‎=‎‎1‎‎5‎[(﹣2﹣0)2+(2﹣0)2+(﹣3﹣0)2+(﹣1﹣0)2+(4﹣0)2]=6.8,‎ ‎∴S甲2=S乙2.‎ ‎19.(8分)如图,在△ABC中,AC<AB<BC.‎ ‎(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连接AP,求证:∠APC=2∠B.‎ ‎(2)以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连接AQ.若∠AQC=3∠B,求∠B的度数.‎ ‎【解答】解:(1)证明:∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,‎ ‎∴PA=PB,‎ ‎∴∠B=∠BAP,‎ ‎∵∠APC=∠B+∠BAP,‎ ‎∴∠APC=2∠B;‎ ‎(2)根据题意可知BA=BQ,‎ ‎∴∠BAQ=∠BQA,‎ ‎∵∠AQC=3∠B,∠AQC=∠B+∠BAQ,‎ ‎∴∠BQA=2∠B,‎ ‎∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°,‎ ‎∴5∠B=180°,‎ ‎∴∠B=36°.‎ ‎20.(10分)方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地,行驶里程为480千米,设小汽车的行驶时间为t(单位:小时),行驶速度为v(单位:千米/小时),且全程速度限定为不超过120千米/小时.‎ ‎(1)求v关于t的函数表达式;‎ ‎(2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发.‎ ‎①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地,求小汽车行驶速度v的范围.‎ ‎②方方能否在当天11点30分前到达B地?说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)∵vt=480,且全程速度限定为不超过120千米/小时,‎ ‎∴v关于t的函数表达式为:v‎=‎‎480‎t,(0≤t≤4).‎ ‎(2)①8点至12点48分时间长为‎24‎‎5‎小时,8点至14点时间长为6小时 将t=6代入v‎=‎‎480‎t得v=80;将t‎=‎‎24‎‎5‎代入v‎=‎‎480‎t得v=100.‎ ‎∴小汽车行驶速度v的范围为:80≤v≤100.‎ ‎②方方不能在当天11点30分前到达B地.理由如下:‎ ‎8点至11点30分时间长为‎7‎‎2‎小时,将t‎=‎‎7‎‎2‎代入v‎=‎‎480‎t得v‎=‎960‎‎7‎>‎120千米/小时,超速了.‎ 故方方不能在当天11点30分前到达B地.‎ ‎21.(10分)如图,已知正方形ABCD的边长为1,正方形CEFG的面积为S1,点E在DC边上,点G在BC的延长线上,设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2,且S1=S2.‎ ‎(1)求线段CE的长;‎ ‎(2)若点H为BC边的中点,连接HD,求证:HD=HG.‎ ‎【解答】解:(1)设正方形CEFG的边长为a,‎ ‎∵正方形ABCD的边长为1,‎ ‎∴DE=1﹣a,‎ ‎∵S1=S2,‎ ‎∴a2=1×(1﹣a),‎ 解得,a‎1‎‎=-‎5‎‎2‎-‎‎1‎‎2‎(舍去),a‎2‎‎=‎5‎‎2‎-‎‎1‎‎2‎,‎ 即线段CE的长是‎5‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎;‎ ‎(2)证明:∵点H为BC边的中点,BC=1,‎ ‎∴CH=0.5,‎ ‎∴DH‎=‎1‎‎2‎‎+0.‎‎5‎‎2‎=‎‎5‎‎2‎,‎ ‎∵CH=0.5,CG‎=‎5‎‎2‎-‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴HG‎=‎‎5‎‎2‎,‎ ‎∴HD=HG.‎ ‎22.(12分)设二次函数y=(x﹣x1)(x﹣x2)(x1,x2是实数).‎ ‎(1)甲求得当x=0时,y=0;当x=1时,y=0;乙求得当x‎=‎‎1‎‎2‎时,y‎=-‎‎1‎‎2‎.若甲求得的结果都正确,你认为乙求得的结果正确吗?说明理由.‎ ‎(2)写出二次函数图象的对称轴,并求该函数的最小值(用含x1,x2的代数式表示).‎ ‎(3)已知二次函数的图象经过(0,m)和(1,n)两点(m,n是实数),当0<x1<x2<1时,求证:0<mn‎<‎‎1‎‎16‎.‎ ‎【解答】解:(1)当x=0时,y=0;当x=1时,y=0;‎ ‎∴二次函数经过点(0,0),(1,0),‎ ‎∴x1=0,x2=1,‎ ‎∴y═x(x﹣1)=x2﹣x,‎ 当x‎=‎‎1‎‎2‎时,y‎=-‎‎1‎‎4‎,‎ ‎∴乙说点的不对;‎ ‎(2)对称轴为x‎=‎x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎,‎ 当x‎=‎x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎时,y‎=-‎‎(x‎1‎-‎x‎2‎‎)‎‎2‎‎4‎是函数的最小值;‎ ‎(3)二次函数的图象经过(0,m)和(1,n)两点,‎ ‎∴m=x1x2,n=1﹣x1﹣x2+x1x2,‎ ‎∴mn=[‎-(x‎1‎-‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎4‎][‎-(x‎2‎-‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎4‎]‎ ‎∵0<x1<x2<1,‎ ‎∴0‎≤-(x‎1‎-‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎1‎‎4‎≤‎‎1‎‎4‎,0‎≤-(x‎2‎-‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎1‎‎4‎≤‎‎1‎‎4‎,‎ ‎∴0<mn‎<‎‎1‎‎16‎.‎ ‎23.(12分)如图,已知锐角三角形ABC内接于圆O,OD⊥BC于点D,连接OA.‎ ‎(1)若∠BAC=60°,‎ ‎①求证:OD‎=‎‎1‎‎2‎OA.‎ ‎②当OA=1时,求△ABC面积的最大值.‎ ‎(2)点E在线段OA上,OE=OD,连接DE,设∠ABC=m∠OED,∠ACB=n∠OED(m,n是正数),若∠ABC<∠ACB,求证:m﹣n+2=0.‎ ‎【解答】解:(1)①连接OB、OC,‎ 则∠BOD‎=‎‎1‎‎2‎BOC=∠BAC=60°,‎ ‎∴∠OBC=30°,‎ ‎∴OD‎=‎‎1‎‎2‎OB‎=‎‎1‎‎2‎OA;‎ ‎②∵BC长度为定值,‎ ‎∴△ABC面积的最大值,要求BC边上的高最大,‎ 当AD过点O时,AD最大,即:AD=AO+OD‎=‎‎3‎‎2‎,‎ ‎△ABC面积的最大值‎=‎1‎‎2‎×‎BC×AD‎=‎1‎‎2‎×‎2OBsin60°‎×‎3‎‎2‎=‎‎3‎‎3‎‎4‎;‎ ‎(2)如图2,连接OC,‎ 设:∠OED=x,‎ 则∠ABC=mx,∠ACB=nx,‎ 则∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣mx﹣nx‎=‎‎1‎‎2‎∠BOC=∠DOC,‎ ‎∵∠AOC=2∠ABC=2mx,‎ ‎∴∠AOD=∠COD+∠AOC=180°﹣mx﹣nx+2mx=180°+mx﹣nx,‎ ‎∵OE=OD,∴∠AOD=180°﹣2x,‎ 即:180°+mx﹣nx=180°﹣2x,‎ 化简得:m﹣n+2=0.‎ 声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布 日期:2019/6/30 9:55:46;用户:中考培优辅导;邮箱:p5193@xyh.com;学号:27411521‎