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- 2021-11-10 发布
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第2课时 特殊角的三角函数值及用计算器求锐角三角函数值
学前温故
sin A=______,cos A=________,tan A=________,cot A=________.
分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切,统称为锐角∠A的三角函数.
新课早知
1.特殊角的三角函数值
α=0°
α=30°
α=45°
α=60°
α=90°
sin α
0
__
____
1
cos α
1
____
____
0
tan α
0
____
1
不存在
cot α
不存在
1
____
0
2.sin 45°+cos 45°等于( ).
A. B. C. D.1
3.下列式子中不成立的是( ).
A.sin 60°=cos 30° B.tan 30°=cot 60°
C.sin 45°=cos 45° D.若cos α=,则α=60°
4.在利用计算器求一个锐角三角函数值时,应首先使计算器设置在“____”状态,标志是屏幕上显示____.
sin-1,cos-1,tan-1键表示由____、____、______求锐角度数的功能键.
5.用科学计算器求cos 12°28′20″的值,以下按键顺序正确的是( ).
A.
B.
C.
D.
答案:学前温故
新课早知
1.
2.A 3.D
4.角度 D 正弦值 余弦值 正切值
5.D
1.利用特殊角的三角函数值进行计算
【例1】 已知α是锐角,若代数式无意义,试求sin (α+15°)+cos (α-15°)的值.
3
分析:由代数式无意义,可知1-tan α=0,由tan α=1,联系特殊角的三角函数值知α=45°,再代入求解.
解:∵无意义,∴1-tan α=0.
∴tan α=1.
∴α=45°.
∴sin (α+15°)+cos(α-15°)=sin 60°+cos 30°=+=.
【例2】 已知α是锐角,且tan2α-(1+)tan α+=0,求α的值.
分析:将tan α看作未知数,解关于tan α的一元二次方程,求出tan α,再由特殊角的三角函数值或由计算器求出角α.
解:原方程变形,得(tan α-1)(tan α-)=0,
所以tan α-1=0或tan α-=0.
由tan α-1=0,得tan α=1,所以α=45°.
由tan α-=0,得tan α=,所以α=60°.
所以α=45°或α=60°.
点拨:解关于某个锐角的三角函数的方程一般解法是:先把左边化为某一个角的三角函数,右边化为一个常数的形式,再逆用特殊角的三角函数值求出相应锐角.
2.求特殊角的三角函数值
【例3】 要求tan 30°的值,可构造如图(1)所示的直角三角形进行计算:作Rt△ABC,使∠C=90°,斜边AB=2,直角边AC=1,那么BC=,∠ABC=30°,所以tan 30°===.
在此图的基础上,通过添加适当的辅助线,可求出tan 15°的值,请你就此图添加辅助线,并求出tan 15°的值.
分析:只需找出一个15°的角,并放入一个可求出各边长的直角三角形中即可.
解:延长CB到D,使BD=AB,连结AD,如图(2).则BD=2,∠D=15°,所以DC=DB+BC=2+,
在Rt△ADC中,tan D=tan 15°===2-.
点拨:利用此题的解法,可求得15°、75°、22.5°、67.5°的三角函数值,求这几个角的三角函数值一般用三角函数的定义,关键是构造出含这个角的直角三角形,且这个三角形已知两边或已知两边的关系.利用图(2)可求出75°的各三角函数值,将图(2)中的△ACB改为等腰直角三角形,就可求出22.5°和67.5°的三角函数值.
1.(2010湖北荆门中考)计算sin45°的结果等于( ).
A. B.1 C. D.
2.在△ABC中,∠C=90°,sin A=,则cos B的值为( ).
A. B. C. D.
3
3.计算sin 20°-cos 20°的近似值是( ).
A.-0.597 6 B.0.597 6 C.-0.597 7 D.0.597 7
4.在平面直角坐标系内,P点的坐标为(cos 30°,tan 45°),则P点关于x轴的对称点P′的坐标为( ).
A.(,1) B.(-1,) C.(,-1) D.(-,-1)
5.已知∠α为锐角,若sin α=cos 30°,tan α=__________.
6.设α为锐角,且tan (α+20°)=,则α的值为__________.
7.计算:(1)|3-|+()0+cos230°-4sin 60°;
(2)sin330°+-+4tan245°.
8.你能用计算器计算说明下列等式是否成立吗?
(1)sin 15°+sin 25°=sin 40°;
(2)cos 20°+cos 26°=cos 46°;
(3)tan 25°+tan 15°=tan 40°.
由此,你能得出什么结论?
答案:1.B
2.C (方法1)因为sin A=,故锐角∠A=60°.因为∠C=90°,所以∠B=30°.cos B=.故选C.
(方法2)因为∠C=90°,故∠A与∠B互余.所以cos B=sin A=.故选C.
3.C
4.C P点坐标为(,1),(,1)关于x轴的对称点为(,-1).
5. sin α=cos 30°=,∴α=60°.∴tan 60°=.
6.40° 由tan (α+20°)=,得α+20°=60°,
所以α=40°.
7.解:(1)原式=2-3+1+-2=-;
(2)原式=+0-4+4=.
8.解:用计算器计算可知,三个式子都是不正确的;由此可知,同名三角函数相加减并不是简单地将角度相加减.
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