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- 2021-11-10 发布
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第1章 解直角三角形
1.2017·金华在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则tanA的值是( )
A. B. C. D.
2.2017·兰州如图1-BZ-1,一个斜坡长为130 m,坡顶到水平地面的距离为50 m,那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( )
A. B. C. D.
图1-BZ-1
图1-BZ-2
3.2017·绥化某楼梯的侧面如图1-BZ-2所示,已测得BC的长约为3.5米,∠BCA约为29°,则该楼梯的高度AB可表示为( )
A.3.5sin29°米 B.3.5cos29°米
C.3.5tan29°米 D.米
4.2017·绍兴如图1-BZ-3,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,则小巷的宽度为( )
A.0.7米 B.1.5米
C.2.2米 D.2.4米
5.2017·泰州小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50 m,则小明沿垂直方向升高了________m.
图1-BZ-3
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图1-BZ-4
6.2016·上海如图1-BZ-4,在矩形ABCD中,BC=2.将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°,点A,C分别落在点A′,C′处,如果点A′,C′,B在同一条直线上,那么tan∠ABA′的值为________.
7.2017·大连如图1-BZ-5,一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向,距离灯塔86 n mile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处.此时,B处与灯塔P之间的距离为________n mile.(结果取整数,参考数据:≈1.7,≈1.4)
图1-BZ-5
图1-BZ-6
8.2017·东营一数学兴趣小组来到某公园,准备测量一座塔的高度.如图1-BZ-6,在A处测得塔顶的仰角为α,在B处测得塔顶的仰角为β,又测量出A,B两点间的距离为s米,则塔高为______米.
9.2017·义乌以Rt△ABC的锐角顶点A为圆心,适当长为半径作弧,与边AB,AC各相交于一点,再分别以这两个交点为圆心,适当长为半径作弧,过两弧的交点与点A作直线,与边BC交于点D, 若∠ADB=60°,点D到AC的距离为2,则AB的长为__________.
10.2017·舟山如图1-BZ-7,把n个边长为1的正方形拼接成一排,求得tan∠BA1C=1,tan∠BA2C=,tan∠BA3C=,计算tan∠BA4C=__________……按此规律,写出tan∠BAnC=__________(用含n的代数式表示).
图1-BZ-7
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11.2016·台州计算:tan45°-sin30°+.
12.2017·包头如图1-BZ-8,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE∥BA交AC于点E,DF∥CA交AB于点F,已知CD=3.
(1)求AD的长;
(2)求四边形AEDF的周长.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)
图1-BZ-8
13.2017·丽水如图1-BZ-9是某小区的一个健身器材示意图,已知BC=0.15 m,AB=2.70 m,∠BOD=70°,求端点A到地面CD的距离(精确到0.1 m).(参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)
图1-BZ-9
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14.2017·台州如图1-BZ-10是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图,汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米.已知小汽车车门宽AO为1.2米,当车门打开角度∠AOB为40°时,车门是否会碰到墙?请说明理由.(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84)
图1-BZ-10
15.2017·赤峰王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架,如图1-BZ-11所示.已知AC=20 cm,BC=18 cm,∠ACB=50°,王浩的手机长度为17 cm,宽为8 cm,王浩同学能否将手机放入卡槽AB内?请说明你的理由.(提示:sin50°≈0.8,cos50°≈0.6,tan50°≈1.2)
图1-BZ-11
16.2017·舟山如图1-BZ
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-12是小强洗漱时的侧面示意图,洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放,高AD=80 cm,宽AB=48 cm,小强身高166 cm,下半身FG=100 cm,洗漱时下半身与地面成80°(∠FGK=80°),身体前倾成125°(∠EFG=125°),脚与洗漱台的距离GC=15 cm(点D,C,G,K在同一直线上).
(1)此时小强头部E点与地面DK相距多少?
(2)小强希望他的头部E点恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方,他应向前或后退多少?
(参考数据:sin80°≈0.98,cos80°≈0.17,≈1.41,结果精确到0.1 cm)
图1-BZ-12
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1.A [解析] 在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AC===4,再根据正切的定义,得tanA==.
2.C [解析] 在直角三角形中,根据勾股定理可知水平的直角边长为120 m,正切值为对边与邻边的比值,故斜坡与水平地面夹角的正切值等于=,故选C.
3.A [解析] 在直角三角形ABC中,已知斜边BC和锐角,求锐角的对边,故用正弦,=sin29°,所以AB=3.5sin29°米,故选A.
4.C [解析] 在Rt△ACB中,根据勾股定理求出AB=2.5米,则A′B=AB=2.5米,在Rt△A′BD中,根据勾股定理求出BD=1.5米,则CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米),故选C.
5.25 [解析] 如图,过点B作BE⊥AC于点E,∵坡度i=1∶,
∴tanA=1∶=,
∴∠A=30°.
∵AB=50 m,
∴BE=AB=25 m.
∴小明沿垂直方向升高了25 m.
6. [解析] 设AB=x,则CD=x,A′C=x+2.
∵AD∥BC,∴=,即=,
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解得x1=-1,x2=--1(舍去).
∵AB∥CD,∴∠ABA′=∠BA′C.
∵tan∠BA′C===,
∴tan∠ABA′=.
7.102 [解析] 过点P作AB的垂线,垂足为C,在Rt△APC中,∠APC=90°-60°=30°,∴PC=PA·cos∠APC=86×cos30°=86×=43 (n mile).在Rt△BPC中,∠B=45°,∴PB=PC÷sin45°=43÷=43×≈102(n mile),故答案为:102.
8.·s
[解析] 在Rt△CBD中,BD=,∴AD=+s.在Rt△CAD中,CD=ADtanα=(+s)tanα,化简,得CD=·s(米).
9.2 [解析] 如图,由题意可知AD是∠BAC的平分线.过点D作DE⊥AC,垂足为E,则DE=2,所以DB=DE=2,在Rt△ABD中,tan∠ADB=,所以AB=2×=2 .
10. [解析] 根据所给的三角函数值进行分析可以得到如下规律:tan∠BA1C==,tan∠BA2C==,tan∠BA3C==,tan∠BA4C==……按此规律,tan∠BAnC==.
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11.解:原式=1-+1=.
12.解:(1)在△ABC中,
∵∠C=90°,∠B=30°,
∴∠BAC=60°.
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠CAD=∠BAD=∠BAC=30°.
在Rt△ACD中,∵∠CAD=30°,CD=3,
∴AD=2CD=6.
(2)∵DE∥BA, DF∥CA,
∴四边形AEDF为平行四边形,∠BAD=∠EDA.
∵∠CAD=∠BAD,
∴∠CAD=∠EDA,
∴AE=DE,
∴四边形AEDF为菱形.
∵DE∥BA,
∴∠CDE=∠B=30°.
在Rt△CDE中,∠C=90°,
∴cos∠CDE=,
∴DE==2 .
∴四边形AEDF的周长为4DE=4×2=8 .
13.解:如图,过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥AE于点F,∵OD⊥CD,∴AE∥OD,∴∠A=∠BOD=70°.在Rt△ABF中,AB=2.7 m,∴AF=2.7×cos70°≈2.7×0.34=0.918(m),∴AE=AF+BC≈0.918+0.15=1.068≈1.1(m).
答:端点A到地面CD的距离约是1.1 m.
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14.解:如图,过点A作AC⊥OB于点C.
在Rt△AOC中,∠AOC=40°,
∴sin40°=.
又∵AO=1.2米,
∴AC=1.2×sin40°≈1.2×0.64=0.768(米).
∵0.768<0.8,
∴车门不会碰到墙.
15.解:王浩同学能将手机放入卡槽AB内.
理由:过点A作AD⊥BC于点D,
∵∠C=50°,AC=20 cm,
∴AD=AC·sin50°≈20×0.8=16(cm),
CD=AC·cos50°≈20×0.6=12(cm).
∵BC=18 cm,
∴BD=BC-CD=18-12=6(cm),
∴AB===(cm).
∵17=<,
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∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内.
16.解:(1)过点F作FN⊥KD于点N,过点E作EM⊥FN于点M.
∵EF+FG=166 cm,FG=100 cm,
∴EF=66 cm.
∵∠FGK=80°,
∴∠GFN=10°,FN=100×sin80°≈98(cm).
又∵∠EFG=125°,
∴∠EFM=180°-125°-10°=45°,
∴FM=66×cos45°=33 ≈46.53(cm),
∴MN=FN+FM≈144.5(cm).
即小强头部E点与地面DK相距约144.5 cm.
(2)过点E作EP⊥AB于点P,延长OB交MN于点H.
∵AB=48 cm,O为AB的中点,
∴AO=BO=24 cm.
∵EM=FM≈46.53 cm,∴PH≈46.53 cm.
∵GN=100×cos80°≈17(cm),CG=15 cm,
∴OH≈24+15+17=56(cm),
∴OP=OH-PH≈56-46.53=9.47≈9.5(cm).
即他应向前约9.5 cm.
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