九年级下册数学教案28-2-2 第2课时 利用仰俯角解直角三角形 人教版 4页

‎28.2.2 应用举例 第2课时 利用仰俯角解直角三角形 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点)‎ ‎2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点)‎ 一、情境导入 在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题．‎ 二、合作探究 探究点：利用仰(俯)角解决实际问题 ‎【类型一】 利用仰角求高度 ‎ 星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度．如图，小红站在A处测得她看塔顶C的仰角α为45°，小涛站在B处测得塔顶C的仰角β为30°，他们又测出A、B两点的距离为41.5m，假设他们的眼睛离头顶都是10cm，求塔高(结果保留根号)．‎ 解析：设塔高为xm，利用锐角三角函数关系得出PM的长，再利用＝tan30°，求出x的值即可．‎ 解：设塔底面中心为O，塔高xm，MN∥AB与塔中轴线相交于点P，得到△CPM、△CPN是直角三角形，则＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM＝CP＝x－1.5.在Rt△CPN中 ‎，＝tan30°，即＝，解得x＝.‎ 答：塔高为m.‎ 方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．‎ 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题 ‎【类型二】 利用俯角求高度 ‎ 如图，在两建筑物之间有一旗杆EG，高15米，从A点经过旗杆顶部E点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°.若旗杆底部G点为BC的中点，求矮建筑物的高CD.‎ 解析：根据点G是BC的中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB.在Rt△ABC和Rt△AFD中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC、DF，继而可求出CD的长度．‎ 解：过点D作DF⊥AF于点F，∵点G是BC的中点，EG∥AB，∴EG是△ABC的中位线，∴AB＝2EG＝30m.在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∴BC＝ABtan∠BAC＝30×＝10m.在Rt△AFD中，∵AF＝BC＝10m，∴FD＝AF·tanβ＝10×＝10m，∴CD＝AB－FD＝30－10＝20m.‎ 答：矮建筑物的高为20m.‎ 方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．‎ 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 ‎【类型三】 利用俯角求不可到达的两点之间的距离 ‎ 如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上)，则河的宽度AB约是多少m(精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73)?‎ 解析：在Rt△ACD中，根据已知条件求出AC的值，再在Rt△BCD中，根据∠EDB＝45°，求出BC＝CD＝21m，最后根据AB＝AC－BC，代值计算即可．[来源:学科网][来源:学科网]‎ 解：∵在Rt△ACD中，CD＝21m，∠DAC＝30°，∴AC＝＝＝21m.∵在Rt△BCD中，∠EDB＝45°，∴∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝21m，∴AB＝AC－BC＝21－21≈15.3(m)．则河的宽度AB约是15.3m.‎ 方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．[来源:Z*xx*k.Com]‎ 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第3题 ‎【类型四】 仰角和俯角的综合 ‎ 某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑物CD上的C处观察，测得此建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°.求建筑物AB的高(精确到1m，可供选用的数据：≈1.4，≈1.7)．[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ 解析：过点C作AB的垂线CE，垂足为E，根据题意可得出四边形CDBE是正方形，再由BD＝12m可知BE＝CE＝12m，由AE＝CE·tan30°得出AE的长，进而可得出结论．‎ 解：过点C作AB的垂线，垂足为E，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∠ECB＝45°，∴四边形CDBE是正方形．∵BD＝12m，∴BE＝CE＝12m，∴AE＝CE·tan30°＝12×＝4(m)，∴AB＝4＋12≈19(m)．‎ 答：建筑物AB的高为19m.‎ 方法总结：本题考查的是解直角三角形的应用中仰角、俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．‎ 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题 三、板书设计 ‎1．仰角和俯角的概念；‎ ‎2．利用仰角和俯角求高度；‎ ‎3．利用仰角和俯角求不可到达两点之间的距离；‎ ‎4．仰角和俯角的综合．‎ ‎ 备课时尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学过程中的每一个细节．上课前多揣摩，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样 ‎，才能真正提高课堂教学效率.‎