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  • 2021-11-10 发布

中考数学第一轮复习导学案全等三角形

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- 1 - 全等三角形 ◆课前热身 1.已知图中的两个三角形全等,则∠ 度数是( ) A.72° B.60° C.58° D.50° 2.一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 5,则它的周长为( ) A.7 B.9 C.12 D.9 或 12 3.如图,已知 AB AD ,那么添加下列一个条件后,仍无法判定 ABC ADC△ ≌△ 的是( ) A.CB CD B. BAC DAC∠ ∠ C. BCA DCA∠ ∠ D. 90BD  ∠ ∠ 4.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=DC,AC、BD 交于点 O,则图中 全等三角形共有( ) A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.5 对 【参考答案】 1. D 2. C 分析:等腰三角形有两种情况:(1)2、2、5;( 2)5、5、2;( 1)不满足三角形三 边关系,所以只有 5、5、2;周长=12 3. C 4. B ◆考点聚焦 知识点 全等形,全等三角形及其性质,三角形全等判定 大纲要求 1.了解全等形,全等三角形的概念和性质,逆命题和逆定理的概念; 2.理解全等三角形的概念和性质。掌握全等三角形的判定公理及其推论,并能应用他们进行 简单的证明和计算。 A B C D O A B C D - 2 - 3.学会演绎推理的方法,提高逻辑推理能力和逻辑表达能力,掌握寓丁几何证明中的分析, 综合,转化等数学思想。 考查重点与常见题型 论证三角形全等,线段的倍分,常见的多为解答题 ◆备考兵法 1.证边角相等可转化为证三角形全等,即“要证边相等,转化证全等.•”全等三角形是证 明线段、角的数量关系的有力工具,若它们所在的三角形不全等,可找中间量或作辅助线构 造全等三角形证明.在选用 ASA 或 SAS 时,一定要看清是否有夹角和夹边;要结合图形挖 掘其中相等的边和角(如公共边、公共角和对顶角等),若题目中出现线段的和差问题,往 往选择截长或补短法. 2.本节内容的试题一改以往“由已知条件寻求结论”的模式,•而是在运动变化中(如平移、 旋转、折叠等)寻求全等.对全等三角形的考查一般不单纯证明两个三角形全等, 命题时 往往把需要证明的全等三角形置于其他图形(如特殊平行四边形)中,或与其他图形变换相 结合,有时也还与作图题相结合;解题时要善于从复杂的图形中分离出基本图形,寻找全等 的条件. ◆考点链接 1.全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形. 2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定 除以上的方法还有________. 3. 全等三角形的性质:全等三角形___________,____________. 4. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等. ◆典例精析 例 1(山西太原)如图, ACB A C B  △ ≌△ , BCB=30°,则 ACA  的度数为 A.20° B.30° C.35° D.40° 【解析】本题考查全等三角形的性质, , ∴∠ACB=∠A′CB′, ∴ = BCB=30°,故选 B. 【答案】B 例 2(河南)如图所示,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点 O 是 AD、BC 的交点,点 E 是 AB 的中点. C A B B A - 3 - 试判断 OE 和 AB 的位置关系,并给出证明. 【分析】首先进行判断:OE⊥AB,由已知条件不难证明△BAC≌△ABD,得∠OBA=∠OAB 再 利用等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论。解决此类问题,要熟练掌握三角形 全等的判定、等腰三角形的性质等知识。 答案:OE⊥AB. 证明:在△BAC 和△ABD 中,  AC=BD, ∠BAC=∠ABD, AB=BA. ∴△BAC≌△ABD. ∴∠OBA=∠OAB, ∴OA=OB. 又∵AE=BE, ∴OE⊥AB. (注:若开始未给出判断“OE⊥AB”,但证明过程正确,不扣分) 例 3(山东临沂)数学课上,张老师出示了问题:如图 1,四边形 ABCD 是正方形,点 E 是边 BC 的中点. 90AEF,且 EF 交正方形外角 DCG 的平行线 CF 于点 F,求证:AE=EF. 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取 AB 的中点 M,连接 ME,则 AM=EC,易证 AME ECF△ ≌△ ,所以 AE EF . 在此基础上,同学们作了进一步的研究: (1)小颖提出:如图 2,如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上(除 B,C 外) 的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为 小颖的观点正确吗? 如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由; (2)小华提出:如图 3,点 E 是 BC 的延长线上(除 C 点外)的任意一点,其他条件不变, 结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正 确,请说明理由. - 4 - 【分析】构造全等三角形解题 解:(1)正确. 证明:在 AB 上取一点 M ,使 AM EC ,连接 ME . BM BE. 45BME  °, 135AME  °. CF 是外角平分线, 45DCF  °, 135ECF  °. AME ECF   . 90AEB BAE   °, 90AEB CEF   °,  BAE CEF   . AME BCF△ ≌△ (ASA). AE EF. (2)正确. 证明:在 BA 的延长线上取一点 N . 使 AN CE ,连接 NE . BN BE. A D F C G E B N A D F C G E B 图 1 A D F C G E B 图 2 A D F C G E B 图 3 - 5 - 45N PCE    °. 四边形 ABCD是正方形, AD BE ∥ . DAE BEA   . NAE CEF   . ANE ECF△ ≌△ (ASA). AE EF. ◆迎考精炼 一、选择题 1.(江苏省)如图,给出下列四组条件: ① AB DE BC EF AC DF  , , ; ② AB DE B E BC EF    , , ; ③ B E BC EF C F      , , ; ④ AB DE AC DF B E    , , . 其中,能使 ABC DEF△ ≌△ 的条件共有( ) A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组 2.(黑龙江牡丹江)尺规作图作 AOB 的平分线方法如下:以O 为 圆心,任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、 D ,再分别以点 、 为圆心,以大于 1 2 CD 长为半径画弧,两弧交于点 P ,作射线OP, 由作法得 OCP ODP△ ≌△ 的根据是( ) A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 3.(广西钦州)如图,AC=AD,BC=BD,则有( ) A.AB 垂直平分 CD B.CD 垂直平分 AB C.AB 与 CD 互相垂直平分 D.CD 平分∠ACB O D P C A B A B C D - 6 - 4. (甘肃定西)如图,四边形 ABCD 中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD 于点 E,且四边 形 ABCD 的面积为 8,则 BE=( ) A.2 B.3 C. 22 D. 23 二、填空题 1. ( 广 东 清 远 ) 如 图 , 若 1 1 1ABC A B C△ ≌△ ,且 110 40AB   °, ° ,则 1C = . 2.(湖南邵阳)如图,点 E 是菱形 ABCD的对角线 BD 上的 任意一点,连结 AE CE、 .请找出图中一对全等三角形为 ___________. 3.(湖南怀化)如图,已知 ADAB  , DACBAE  ,要使 ABC△ ≌ ADE△ ,可补充的条件是 (写出一个即可). 4.(福建龙岩)如图,点 B、E、F、C 在同一直线上. 已知∠A =∠D,∠B =∠C,要使△ ABF≌△DCE,需要补充的一个条件是 (写出一个即可). 5.(四川遂宁)已知△ABC 中,AB=BC≠AC,作与△ABC 只有一条公共边,且与△ABC 全等的 三角形,这样的三角形一共能作出 个. 三、解答题 A B C C1 A1 B1 A B C D E A C E B D A B E F C D - 7 - 1.(四川宜宾)已知:如图,在四边形 ABCD 中,AB=CB,AD=CD. 求证:∠C=∠A. 2. (四川南充)如图,ABCD 是正方形,点 G 是 BC 上的任意一点,DE AG⊥ 于 E,BF DE∥ , 交 AG 于 F. 求证: AF BF EF. 3.(浙江丽水)已知命题:如图,点 A,D,B,E 在同一条直线上,且 AD=BE,∠A=∠FDE, 则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题,如果是真命题,请给出证明;如果是 假命题,请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明. 4. (上海市)已知线段 AC 与 BD 相交于点O ,联结 AB DC、 ,E 为OB 的中点,F 为OC 的中点,联结 EF (如图所示). (1)添加条件∠A=∠D, OEF OFE   ,求证:AB=DC. (2)分别将“ AD   ”记为①,“ ”记为②,“ AB DC ”记为③, O D C A B E F F EA B C D D C B A E F G - 8 - 添加条件①、③,以②为结论构成命题 1,添加条件②、③,以①为结论构成命题 2.命题 1 是 命题,命题 2 是 命题(选择“真”或“假”填入空格). 5.(吉林省)如图, ,AB AC AD BC D于点 ,AD AE AB DAE, 平分 交 DE F于点 ,请你写出图中三对..全等三角形,并选取其中一对加以证明. 6.(湖南省娄底市)如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,连结 AD,在 AD 的延长线 上取一点 E,连结 BE,CE. (1)求证:△ABE≌△ACE (2)当 AE 与 AD 满足什么数量关系时,四边形 ABEC 是 菱形?并说明理由. 【参考答案】 一、选择题 1. C 2. D 3. A 4. C 二、填空题 1.300 2. ABD CDB△ ≌△ (或 ADE CDE△ ≌△ 或 ABE CBE△ ≌△ ) 3. AEAC  (或填 EC  或 DB  ) 4.AB = DC(填 AF=DE 或 BF=CE 或 BE=CF 也对) (第 5 题) B D C F A 郜 E - 9 - 5.7 三、解答题 1.连接 BD.在△ABD 和△CBD 中, ∵AB=CB,AD=CD,BD=BD, ∴△ABD≌△CBD.∴∠C=∠A. 2.证明: ABCD是正方形, 90AD AB BAD   , °. DE AG⊥ , 90DEG AED    °. 90ADE DAE   °. 又 90BAF DAE BAD     °, ADE BAF   . BF DE∥ , AFB DEG AED     . 在 ABF△ 与 DAE△ 中, AFB AED ADE BAF AD AB         , (AAS)ABF DAE△ ≌△ . BF AE. AF AE EF, AF BF EF   . 3.解:是假命题. 以下任一方法均可: ①添加条件:AC=DF. 证明:∵AD=BE, ∴AD+BD=BE+BD,即 AB=DE. - 10 - 在△ABC 和△DEF 中, AB=DE, ∠A=∠FDE, AC=DF, ∴△ABC≌△DEF(SAS). ②添加条件:∠CBA=∠E. 证明:∵AD=BE, ∴AD+BD=BE+BD,即 AB=DE. 在△ABC 和△DEF 中, ∠A=∠FDE, AB=DE, ∠CBA=∠E , ∴△ABC≌△DEF(ASA). ③添加条件:∠C=∠F. 证明:∵AD=BE, ∴AD+BD=BE+BD,即 AB=DE. 在△ABC 和△DEF 中, ∠A=∠FDE, ∠C=∠F , AB=DE, ∴△ABC≌△DEF(AAS) 4.(1)∵ OEF OFE   ∴OE=OF ∵ E 为OB 的中点, F 为OC 的中点, ∴OB=OC 又∵∠A=∠D,∠AOB=∠DOC, △AOB≌△DOC ∴AB=DC - 11 - (2)真,假 5. 解 :( 1 ) ADB ADC△ ≌△ 、 ABD ABE△ ≌△ 、 AFD AFE△ ≌△ 、 BFD BFE△ ≌△ 、 ABE ACD△ ≌△ (写出其中的三对即可) (2)以△ADB≌ADC 为例证明. 证明: , 90AD BC ADB ADC     ° . 在 Rt ADB△ 和 Rt ADC△ 中,  Rt ≌Rt . 6.(1)证明:∵AB=AC 点 D 为 BC 的中点 ∴∠BAE=∠CAE AE=AE ∴△ABE≌△ACE(SAS) (2)当 AE=2AD(或 AD=DE 或 DE= 1 2 AE)时,四边形 ABEC 是菱形 理由如下: ∵AE=2AD,∴AD=DE 又点 D 为 BC 中点,∴BD=CD ∴四边形 ABEC 为平行四形边 ∵AB=AC ∴四边形 ABEC 为菱形 ,,AB AC AD AD