中考数学专题复习练习：全等三角形判定（一） 11页

判定一：‎ 例01．已知：（如图）. 求证：. ‎ 分析：证明，可看分析这两个角分别是哪两个三角形的角，如果这两个三角形的角，如果这两个三角形全等且这两个角是它们的对应角，即可得证.‎ 证明：在和中 ‎∴（SAS）‎ ‎∴（全等三角形的对应角相等）‎ 例02．已知：（如图）A、B、C、D在同一直线上，，且. ‎ 求证：. ‎ 分析：要证两条直线平行，必须证明相应的内错角、同位角相等，或同旁内角互补，因此必须有，而要证出角相等，只有证明，在这个三角形中，有，由AF与DE平行可知，还需要，条件中的起什么作用？可得出，证明三角形全等的条件已全部具备. ‎ 请同学自己写出证明过程. ‎ 例03．如下图中，已知. ‎ 求证：‎ 分析：欲证两线段BF和DE相等，可证，分析已知条件，由可知，而由，可知，再加条件，已构成两三角形全等的条件，从而获证. ‎ 证明：∵‎ ‎∴‎ ‎∵ ∴‎ 在和中 ‎∵‎ ‎∴（SAS）‎ ‎∴（全等三角形的对应相等）‎ 例04．已知：（如图）等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，，. 且. 求证：. ‎ 分析：欲证 可证，由已知，再证即可，而由得证 证明：∵（已知）‎ ‎∴ ‎ 即 ‎ 在和中 ‎∴（SAS） ‎ ‎∴‎ 例05．如图，已知：，AD为的角平分线，‎ 求证：AD同时为BC边上的中线和高. ‎ 分析：欲证AD为中线和高，需证明. ，所以，不妨先证. ‎ 证明：在和中，‎ ‎∴ （全等三角形的对应边相等，对应角相等）‎ 又∵（邻补角定义）‎ ‎∴ . 即 ‎ ‎∴ AD同时为的中线和高. ‎ 例06．如图，已知：，，且. ‎ 求证：. ‎ 分析：欲证，需证，为了证明两角相等，不妨先证包含这两角的三角形全等. ‎ 证明：∵ （已知）‎ ‎∴ 即 又∵（已知），‎ ‎∴ （两直线平行，同位角相等）‎ 在与中，‎ ‎∴‎ ‎∴（全等三角形的对应角相等）‎ ‎∴（同位角相等，两直线平行）‎ 例07．已知：在中，，AD是的平分线. ‎ 求证：. ‎ 分析：如图（a），要证. 可先延长AB到，使，然后证明，由已知条件可证得，又∵，所以，因此有. 那么以上的方法是“延长”的方法. 证明本例也可以用“截取”的方法，如图（b），先在AC上取点，使，证出. 从而有，. ∴. ∴有. 从而可证明本命题. 下面我们用其中的一种方法来证明. ‎ 证明：在AC上取点，使，连结，则在和中. ‎ ‎∴ ‎ ‎∴，（全等三角形的对应边相等，对应角相等）‎ ‎∵（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）‎ ‎∴. ∴. ‎ ‎∴‎ 说明：要证明线段，可用“延长”的方法：延长AB到G，使，然后证明. 也可用“截取”的方法：在EF上取点H，使，然后证明. 在具体问题中要考虑哪种方法可行. 用“延长”的方法时，要考虑延长哪条线段，向什么方向延长，用“截取”的方法时，要考虑如何截取. ‎ 例08．如图（a），已知：在中，，AD是的平分线，P是AD上任意一点. ‎ 求证：. ‎ 分析：本例涉及四条线段差的不等关系，要使用“三角形任意两边的差小于第三边”这一定理，为了能够使用这一定理，必须把本题中的四条线段的差转化为三角形中三边关系的问题. 可用截取的方法，也可用延长的方法. 用截取法，可在AB边上取一点C，使，则由已知条件可证，因此有，，那么在中就有即. 用延长的方法，我们可延长AC到，如图（b），使，先证，从而证. 最后由三角形中的三边的不等关系来证明本命题. 下面，我们就用延长的方法，来证明本命题. ‎ 证明：由于，所以可延长AC到，使，则在和中. ‎ ‎∴ . ‎ ‎∴（全等三角形的对应边相等）‎ ‎∵ ，‎ 在中，（三角形任意两边的差都小于第三边）‎ 即 . ‎ 例09．如图，已知、均为等边三角形. ‎ 求证：. ‎ 分析：要证. 可使用长的方法或截取的方法. 但因为为等边三角形. 即AD上已有，所以实际上只需证明即可. 那么可考虑证明. ‎ 证明：等边三角形ABC和等边三角形DBE. ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 即 ‎ 在和中，‎ ‎ ‎ ‎∴‎ ‎∴（全等三角形的对应边相等）‎ ‎∵ ， ‎ ‎∴‎ 例10．如图，水池边上有两点A、B，叙述一下怎样间接测得A、B的距离. ‎ 解答：在水池一侧取一点O，连结AO并延长至D，使，连结BO并延长至E，使，连结DE，则由“SAS”可知，∴，只需量DE的长度即可. ‎ 说明 利用数学知识解决生活问题以及数学知识在其他学科的应用比较广泛，应加以重视，应用得当可以培养学生的兴趣.‎ 选择题 ‎（1）和全等的条件是（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（2）在与中，，，，那么下列结论不正确的是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）以上都不对 参考答案：‎ ‎（1）C （2）D 填空题 ‎（1）如图，已知：E、F在DC上，，，，则______≌_______（ ）.‎ ‎（2）如图，已知，.‎ 求证：≌.‎ 证明：在和中，‎ ‎∴ ≌（ ）‎ ‎（3）如图，已知AB与CD相交于O，，.‎ 求证：≌.‎ 证明：在和中，‎ ‎∴ ≌（ ） ‎ ‎（4）如图，D、E分别是AC、AB上的点，，，.‎ 求证：.‎ 证明：在与中，‎ ‎∴ ≌（ ）‎ ‎∴ （ ）‎ 参考答案：‎ ‎（1）ADE，BCF，SAS （2）已知，已知，公共边，SAS （3）已知，对顶角相等，已知，SAS （4）已知，已知，已知，SAS，全等三有形的对应边相等 证明题 ‎1．已知：如图，，，，B、E、C、F在同一直线上.求证：.‎ ‎2．已知：如图，，.求证：，.‎ ‎3．已知：如图，，.求证：.‎ ‎4．已知：如图，，求证：，.‎ ‎5．已知：如图，，，.求证：，.‎ ‎6．已知：如图，，，AD、BC相交于点E.‎ 求证：；.‎ 参考答案：‎ ‎1．证：由，可证，又，，∴≌，∴‎ ‎2．证明：∵，∴，又∵，，∴≌，，.‎ ‎3．由，，可知，又∵， ∴≌， ∴.‎ ‎4．证：连结BD，∵，.又∵，，∴≌，∴，，.‎ ‎5．证：∵，∴，又∵，，∴≌，∴，，∴.‎ ‎6．证：由，，∴，易证≌，∴，.‎ 证明题 ‎1．已知：如图，B是EC上一点，，，.‎ 求证：.‎ ‎2．已知：如图，于F，于D，，.‎ 求证：≌.‎ ‎3．已知：如图，AD与BC相交于点O，，.求证：.‎ ‎4．已知：如图，A、B、C在同一直线上，且与都是等边三角形，求证：.‎ ‎5．已知：如图，在中，AD是BC边上的高，，，延长BE交AC于F.‎ 求证：BF是的AC边上的高.‎ ‎6．已知：如图，AD、EF、BC相交于点O，且，，.求证：≌.‎ 参考答案：‎ ‎1．证：由，可得，那么易证≌，∴.‎ ‎2．证：由，可得，那么易证≌.‎ ‎3．证：易证≌，∴，∴.‎ ‎4．证：由与是等边三角形，有，，，∴≌，∴.‎ ‎5．证：由已知条件易证≌，∴，由此可证，∴.‎ ‎6．证：易证≌，∴，，同理可证，.由此可得，.则可证≌.‎ 能力：1、下列各组图形中，一定全等的是（　　）‎ A、两个等边三角形 B、各有个角是45度的两个等腰三角形 C、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形 D、各有一个角是40度，腰长都为30m的两个等腰三角形 ‎2、如图，四边形ABCD，BC=AD，AB＝CD，BE＝DF，图中全等三角形的对数是（　　　）‎ B A C D E F A、5　　B、6　　C、3　　　D、4 ‎ 答案：1. C; 2. C.‎