2020年内蒙古兴安盟中考数学试卷【含答案】 9页

1 / 9 2020 年内蒙古兴安盟中考数学试卷 一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确．共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1. −2020的绝对值是（ ） A.−2020 B.2020 C.− 1 2020 D. 1 2020 2. 下列计算正确的是（ ） A.푎2 ⋅ 푎3＝푎6 B.(푥 + 푦)2＝푥2 + 푦2 C.(푎5 ÷ 푎2)2＝푎6 D.(−3푥푦)2＝9푥푦2 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件是必然事件的是（ ） A.任意一个五边形的外角和为540∘ B.抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次 C.13个人参加一个集会，他们中至少有两个人的出生月份是相同的 D.太阳从西方升起 6. 如图，直线퐴퐵 // 퐶퐷，퐴퐸 ⊥ 퐶퐸于点퐸，若∠퐸퐴퐵＝120∘，则∠퐸퐶퐷的度数是（ ） A.120∘ B.100∘ C.150∘ D.160∘ 7. 已知实数푎在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|푎 − 1| − √(푎 − 2)2的结果是 （ ） A.3 − 2푎 B.−1 C.1 D.2푎 − 3 8. 不等式组{ 5푥 + 2 > 3(푥 − 1) 1 2 푥 − 1 ≤ 7 − 3 2 푥 的非负整数解有（ ） A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 9. 甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相 等，两人每天共做130个零件．设甲每天做푥个零件，下列方程正确的是（ ） A.240 푥 = 280 130−푥 B. 240 130−푥 = 280 푥 C.240 푥 + 280 푥 = 130 D.240 푥 − 130 = 280 푥 10. 如图，퐴퐵＝퐴퐶，퐴퐵的垂直平分线푀푁交퐴퐶于点퐷，若∠퐶＝65∘，则∠퐷퐵퐶的度 数是（ ） A.25∘ B.20∘ C.30∘ D.15∘ 11. 如图，在△ 퐴퐵퐶中，퐵퐷，퐶퐸分别是边퐴퐶，퐴퐵上的中线，퐵퐷 ⊥ 퐶퐸于点푂，点푀， 푁分别푂퐵，푂퐶的中点，若푂퐵＝8，푂퐶＝6，则四边形퐷퐸푀푁的周长是（ ） 2 / 9 A.14 B.20 C.22 D.28 12. 已知二次函数푦＝푎푥2 + 푏푥 + 푐(푎 ≠ 0)的图象如图所示，则反比例函数푦 = 푎 푥 与一 次函数푦＝−푐푥 + 푏在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分） 13. 中国的领水面积约为370000푘푚2，将370000科学记数法表示为________． 14. 分解因式：푎2푏 − 4푏3＝________． 15. 若一个扇形的弧长是2휋푐푚，面积是6휋푐푚2，则扇形的圆心角是________度． 16. 已知关于푥的一元二次方程(1 4 푚 − 1)푥2 − 푥 + 1＝0有实数根，则푚的取值范围是 ________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，正方形푂퐴퐵퐶的顶点푂与坐标原点重合，点퐶的坐 标为(0,  3)，点퐴在푥轴的正半轴上．直线푦＝푥 − 1分别与边퐴퐵，푂퐴相交于퐷，푀两点， 反比例函数푦 = 푘 푥 (푥 > 0)的图象经过点퐷并与边퐵퐶相交于点푁，连接푀푁．点푃是直线 퐷푀上的动点，当퐶푃＝푀푁时，点푃的坐标是________． 三、解答题（本题 4 个小题，每小题 6 分，共 24 分） 18. 计算：(− 1 2)−1 + √83 + 2cos60∘ − (휋 − 1)0． 3 / 9 19. 先化简，再求值：푥2−4푥+4 푥2−4 ÷ 푥−2 푥2+2푥 + 3，其中푥＝−4． 20. 퐴，퐵两地间有一段笔直的高速铁路，长度为100푘푚．某时发生的地震对地面上 以点퐶为圆心，30푘푚为半径的圆形区域内的建筑物有影响．分别从퐴，퐵两地处测得 点퐶的方位角如图所示，tan훼＝1.776，tan훽＝1.224．高速铁路是否会受到地震的影 响？请通过计算说明理由． 21. 一个不透明的口袋中装有三个完全相同的小球，上面分别标有数字√2，√3，5． （1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是无理数的概率（直接写出 结果）； （2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为푥，把小球放回口袋中并搅 匀，再从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为푦．请用列表法或画树状图 法求出푥与푦的乘积是有理数的概率． 4 / 9 四、（本题 7 分） 22. 已知：如图，在正方形퐴퐵퐶퐷中，对角线퐴퐶，퐵퐷相交于点푂，点퐸，퐹分别是边 퐵퐶，퐶퐷上的点，且∠퐸푂퐹＝90∘． 求证：퐶퐸＝퐷퐹． 五、（本题 7 分） 23. 某校为了了解初中学生每天的睡眠时间（单位为小时），随机调查了该校的部分 初中学生，根据调查结果，绘制出如图统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的初中学生人数为________人，扇形统计图中的푚＝________，条 形统计图中的푛＝________； （2）所调查的初中学生每天睡眠时间的众数是________，方差是________； （3）该校共有1600名初中学生，根据样本数据，估计该校初中学生每天睡眠时间不 足8小时的人数． 5 / 9 六、（本题 8 分） 24. 如图，⊙ 푂是△ 퐴퐵퐶的外接圆，直线퐸퐺与⊙ 푂相切于点퐸，퐸퐺 // 퐵퐶，连接퐴퐸交 퐵퐶于点퐷． （1）求证：퐴퐸平分∠퐵퐴퐶； （2）若∠퐴퐵퐶的平分线퐵퐹交퐴퐷于点퐹，且퐷퐸＝3，퐷퐹＝2，求퐴퐹的长． 七、（本题 10 分） 25. 某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出 500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件푥元(푥 ≥ 50)，月销量 为푦件，月销售利润为푤元． （1）写出푦与푥的函数解析式和푤与푥的函数解析式； （2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售 价应定为每件多少元？ （3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 6 / 9 八、（本题 13 分） 26. 如图，抛物线푦 = − 1 2 푥2 + 푏푥 + 푐与푥轴交于点퐴(−1,  0)和点퐵(4,  0)，与푦轴交于 点퐶，连接퐵퐶，点푃是线段퐵퐶上的动点（与点퐵，퐶不重合），连接퐴푃并延长퐴푃交抛物 线于点푄，连接퐶푄，퐵푄，设点푄的横坐标为푚． （1）求抛物线的解析式和点퐶的坐标； （2）当△ 퐵퐶푄的面积等于2时，求푚的值； （3）在点푃运动过程中，푃푄 퐴푃 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说 明理由． 7 / 9 参考答案与试题解析 2020 年内蒙古兴安盟中考数学试卷 一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确．共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1.B 2.C 3.C 4.B 5.C 6.C 7.D 8.B 9.A 10.D 11.B 12.C 二、填空题（本题 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分） 13.3.7 × 105 14.푏(푎 + 2푏)(푎 − 2푏) 15.60 16.푚 ≤ 5且푚 ≠ 4 17.(1,  0)或(3,  2) 三、解答题（本题 4 个小题，每小题 6 分，共 24 分） 18.0 19.原式= (푥−2)2 (푥+2)(푥−2) × 푥(푥+2) 푥−2 + 3 ＝푥 + 3， 将푥＝−4代入得：原式＝−4 + 3＝−1． 20.如图，过퐶作퐶퐷 ⊥ 퐴퐵于퐷， ∴ ∠퐴퐶퐷＝훼，∠퐵퐶퐷＝훽， ∴ tan∠퐴퐶퐷＝tan훼 = 퐴퐷 퐶퐷 ，tan∠퐵퐶퐷＝tan훽 = 퐵퐷 퐶퐷 ， ∴ 퐴퐷＝퐶퐷 ⋅ tan훼，퐵퐷＝퐶퐷 ⋅ tan훽， 由퐴퐷 + 퐵퐷＝퐴퐵，得퐶퐷 ⋅ tan훼 + 퐶퐷 ⋅ tan훽＝퐴퐵＝100， 则퐶퐷 = 퐴퐵 tan훼+tan훽 = 100 3 > 30， ∴ 高速公路不会受到地震影响． 21.摸出小球上的数字是无理数的概率= 2 3 ； 画树状图如下： 可知：共有9种等可能的结果，其中两个数字的乘积为有理数的有3种， ∴ 两次摸出的小球所标数字乘积是有理数的概率为3 9 = 1 3 ． 四、（本题 7 分） 22.∵ 四边形퐴퐵퐶퐷为正方形， ∴ 푂퐷＝푂퐶，∠푂퐷퐹＝∠푂퐶퐸＝45∘，∠퐶푂퐷＝90∘， ∵ ∠퐸푂퐹＝90∘，即∠퐶푂퐸 + ∠퐶푂퐹＝90∘， 8 / 9 ∴ ∠퐶푂퐸＝∠퐷푂퐹， ∴ △ 퐶푂퐸 ≅△ 퐷푂퐹(퐴푆퐴)， ∴ 퐶퐸＝퐷퐹． 五、（本题 7 分） 23.40,25,15 7ℎ,1.15 1600 × 4+8+15 40 = 1080（人）， 即该校初中学生每天睡眠时间不足8小时的有1080人． 六、（本题 8 分） 24.连接푂퐸． ∵ 直线푙与⊙ 푂相切于퐸， ∴ 푂퐸 ⊥ 푙， ∵ 푙 // 퐵퐶， ∴ 푂퐸 ⊥ 퐵퐶， ∴ 퐵퐸̂ = 퐶퐸̂ ， ∴ ∠퐵퐴퐸＝∠퐶퐴퐸． ∴ 퐴퐸平分∠퐵퐴퐶； 如图，∵ 퐴퐸平分∠퐵퐴퐶， ∴ ∠1＝∠4， ∵ ∠1＝∠5， ∴ ∠4＝∠5， ∵ 퐵퐹平分∠퐴퐵퐶， ∴ ∠2＝∠3， ∵ ∠6＝∠3 + ∠4＝∠2 + ∠5，即∠6＝∠퐸퐵퐹， ∴ 퐸퐵＝퐸퐹， ∵ 퐷퐸＝3，퐷퐹＝2， ∴ 퐵퐸＝퐸퐹＝퐷퐸 + 퐷퐹＝5， ∵ ∠5＝∠4，∠퐵퐸퐷＝∠퐴퐸퐵， ∴ △ 퐸퐵퐷 ∽△ 퐸퐴퐵， ∴ 퐵퐸 퐸퐴 = 퐷퐸 퐵퐸 ，即 5 퐸퐴 = 3 5 ， ∴ 퐴퐸 = 25 3 ， ∴ 퐴퐹＝퐴퐸 − 퐸퐹 = 25 3 − 5 = 10 3 ． 七、（本题 10 分） 25.由题意得： 푦＝500 − 10(푥 − 50)＝1000 − 10푥， 푤＝(푥 − 40)(1000 − 10푥)＝−10푥2 + 1400푥 − 40000； 由题意得：−10푥2 + 1400푥 − 40000＝8000， 解得：푥1＝60，푥2＝80， 当푥＝60时，成本＝40 × [500 − 10(60 − 50)]＝16000 > 10000不符合要求，舍去， 当푥＝80时，成本＝40 × [500 − 10(80 − 50)]＝8000 < 10000符合要求， 9 / 9 ∴ 销售价应定为每件80元； 푤＝−10푥2 + 1400푥 − 40000， 当푥＝70时，푤取最大值9000， 故销售价定为每件70元时会获得最大利润9000元． 八、（本题 13 分） 26.∵ 抛物线经过퐴(−1,  0)，퐵(4,  0)，可得： { 0 = − 1 2 − 푏 + 푐 0 = − 1 2 × 16 + 4푏 + 푐 ， 解得：{푏 = 3 2 푐 = 2 ， ∴ 抛物线的解析式为：푦 = − 1 2 푥2 + 3 2 푥 + 2， 令푥＝0，则푦＝2， ∴ 点퐶的坐标为(0,  2)； 连接푂푄， ∵ 点푄的横坐标为푚， ∴ 푄(푚, − 1 2 푚2 + 3 2 푚 + 2)， ∴ 푆＝푆△푂퐶푄 + 푆△푂퐵푄 − 푆△푂퐵퐶 = 1 2 × 2 × 푚 + 1 2 × 4 × (− 1 2 푚2 + 3 2 푚 + 2) − 1 2 × 2 × 4 ＝−푚2 + 4푚， 令푆＝2， 解得：푚 = 2 + √2或2 − √2， 如图，过点푄作푄퐻 ⊥ 퐵퐶于퐻， ∵ 퐴퐶 = √12 + 22 = √5，퐵퐶 = √42 + 22 = √20，퐴퐵＝5， 满足퐴퐶2 + 퐵퐶2＝퐴퐵2， ∴ ∠퐴퐶퐵＝90∘，又∠푄퐻푃＝90∘，∠퐴푃퐶＝∠푄푃퐻， ∴ △ 퐴푃퐶 ∽△ 푄푃퐻， ∴ 푃푄 퐴푃 = 푄퐻 퐴퐶 = 푄퐻 √5 ， ∵ 푆△퐵퐶푄 = 1 2 퐵퐶 ⋅ 푄퐻 = √5푄퐻， ∴ 푄퐻 = 푆△퐵퐶푄 √5 ， ∴ 푃푄 퐴푃 = 푄퐻 √5 = 푆 5 = 1 5 (−푚2 + 4푚) = − 1 5 (푚 − 2)2 + 4 5 ， ∴ 当푚＝2时，푃푄 퐴푃 存在最大值4 5 ．