九年级下册数学人教版课件28-2-2 应用举例（第3课时） 38页

人教版 数学 九年级 下册 宜宾是国家级历史文化名城,大观楼是其标志性建筑之一 (如图①).喜爱数学的小伟决定用所学的知识测量大观楼的高 度,如图②所示,他站在点B处利用测角仪测得大观楼最高点P的 仰角为45°,又前进了12 m到达点A处,测得点P的仰角为60°.请 你帮助小伟算一算大观楼的高度(测角仪的高度忽略不计,结果 保留整数). 导入新知 图②图① 1. 正确理解方向角、坡度的概念. 2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度 的问题. 素养目标 3. 能够解决与解直角三角形有关的实际问题,如 航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等. 方向角的定义： 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角 叫做方向角. 北偏东30° 南偏西45° 30° 45° B O A 东西 北 南 探究新知 知识点 1 方向角的有关问题 也叫西南方向 探究新知 注意 （1）因为方向角是指北或指南方向线与目 标方向线所成的角，所以方向角通常都写 成“北偏……”, “南偏……”,的形式. （2）解决实际问题时，可利用正南、正北、 正西、正东方向线构造直角三角形来求解. （3）观测点不同，所得的方向角也不同， 但各个观测点的南北方向线是互相平行的， 通常借助于此性质进行角度转换. 例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏 东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处， 它沿正南方向航行一段时间后，到达 位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处， 这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多 远（结果取整数）？ 65° 34° P B C A 探究新知 有关方向角的实际问题——距离素养考点 1 解：如图 ，在Rt△APC中， PC=PA·cos（90°－65°） =80×cos25° ≈80×0.91 =72.505. 在Rt△BPC中，∠B=34°， 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时， 它距离灯塔P大约130n mile． sin PCB PB  ，  72.505 130 n mile .sin sin34 PCPB B     65° 34° P B C A 探究新知 探究新知 归纳总结 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转 化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解 直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 巩固练习 美丽的东昌湖滨位于江北水城,周边景点密布.如图所示，A、B 为湖滨的两个景点，C为湖心一个景点.景点B在景点C的正东， 从景点A看，景点B在北偏东75°方向，景点C在北偏东30°方 向.一游客自景点A驾船以每分钟20 m的速度行驶了10分钟到达 景点C，之后又以同样的速度驶向景点B，该游客从景点C到景 点B需用多长时间(精确到1分钟)? 解:根据题意,得AC=20×10=200(m). 如图所示,过点A作AD⊥BC于点D. 在Rt△ADC中, , DC=AC·sin ∠CAD=200·sin 30°=100. 在Rt△ADB中, . 310030cos200cos  CADACAD  75tan3100tan BADADBD - 100 3tan75 100CB DB DC -  ∴ . ∴ (分). 例2 海中有一个小岛A，它周围8海里内 有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行， 在B点测得小岛A在北偏东60°方向上， 航行12海里到达C点，这时测得小岛A在 北偏东30°方向上，如果渔船不改变航 线继续向东航行，有没有触礁的危险？ B A C 60° 素养考点 2 探究新知 有关方向角的实际问题——预测路线 30° 解：过A作AF⊥BC于点F， 则AF的长是A到BC的最短距离. ∵BD∥CE∥AF， ∴∠DBA=∠BAF=60°， ∠ACE=∠CAF=30°， ∴∠BAC=∠BAF－∠CAF =60°－30° =30°. 北 东 A CB 60° 30° D E F 探究新知 又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－60°=30°=∠BAC， ∴BC=AC=12海里， ， 故渔船继续向正东方向行驶， 没有触礁的危险． 北 东 A CB 60° 30° D E F 探究新知 8392.1036  cos30 6 3AF AC   ∴ (海里)， 如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间 修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A 城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森 林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内， 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区 (参考数据： ≈1.732， ≈1.414)?3 2 巩固练习 北 东 解：过点P作PC⊥AB于点C． 则∠APC＝30°，∠BPC＝45°， AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°. ∵AC＋BC＝AB， ∴PC · tan30°＋PC · tan45°＝200， 即 ， 解得 PC≈126.8km＞100km. 答：计划修筑的这条高速公路不会 穿越保护区． C 巩固练习 2003 3  PCPC 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际 情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝 或山的高度h时，我们无法直接测量，我们又该如何呢？ h h αα l l 知识点 2 坡度、坡角有关的问题 探究新知 【思考】如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC， 问哪条路比较陡？ 如何用数量来刻画哪条路陡呢？ A B C 探究新知 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 α 表示. 坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做 坡度，用字母 i 表示，如图，坡度通常写成 的形式. tanhi l   h l 坡度越大 坡角越大 坡面越陡 探究新知 α 水平面 坡面 （1）斜坡的坡度是 ，则坡角α =____度. （2）斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____. （3）斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______. α l h 30 1 : 1 1: 3 1: 3 巩固练习 完成下列各题: 例1 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中AD∥BC， α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角 β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．(结果保留根号) 探究新知 利用坡度、坡角解答大坝问题素养考点 1 解：过点A作AF⊥BC于点F， 在Rt△ABF中， ∠ABF =∠α=60°， 则AF=AB·sin60°= (m)， 在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°， 则 (m). 故改造后的坡长AE 为 m. 10 3 10 6sin 45 AFAE   10 6 F 探究新知 如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横断面为 梯形ABCD) 急需加固，背水坡的坡角为45°，高10 米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是： 沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2米，加固后 背水坡EF的坡比 ．求加固后坝底增加的宽度AF. (结果保留根号) A B CDE F 45° 巩固练习 3:1i 3:1i  10 3 2 10 10 3 8AF FG AG      ∴ (米). A B CDE F 45° GH 解：作DG⊥AB于G，EH⊥AB于H， 则GH=DE=2米，EH=DG=10米. 10= 10 3tan EHFH F i  ∠ (米)，  10 3 2FG FH HG    (米). 又∵AG=DG=10米， 故加固后坝底增加的宽度AF为 米. 10 3 8 巩固练习 3:1i 例2 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡 向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升 了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？ i=1:2 探究新知 素养考点 2 利用坡度、坡角解答山坡问题 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°， AC=240m， 解：用α表示坡角的大小，由题意可得 因此 α≈26.57°. 答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m． 从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）． 因此sin 240 BC BC AC    ， 1tan 0.52    ， 探究新知 BA C i=1:2 如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测 得坡面AB的坡度为1 : 2，走 　米到达山顶A处．这时， 他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出 点B和点C的水平距离． 520 A CB D 30° 答案：点B和点C的水平距离为 米. 40 + 20 3 巩固练习 E 1.如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高 和坝底宽（精确到0.1m）参考数据： ， 连接中考 414.12  .732.13  连接中考 解：在Rt△CDE中，∵ ， ∴ ， DC DEC sin )(7142 130sin mDCDE  CD CEC cos ∴EF=AD=6m，AF=DE=7m.∵四边形AFED是矩形， 答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m． 在Rt△ABF中，∵∠B=45°， ∴BF=AF=7m. ∴BC=BF+EF+EC≈7+6+12.12=25.12≈25.1（m） 12.12124.1237142 330cos  DCCE . 2.如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走 20 米到达点C，再经过一段坡度 （或坡比）为 i=1：0.75、坡长为10 米的斜坡CD 到达点 D，然后 再沿水平方向向右行走40 米到达点 E（A，B，C，D，E均在同一 平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91， tan24°=0.45）（　　） A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米 A 连接中考 1. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛 的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角 ∠ACB等于 ． 90° 基 础 巩 固 题 课堂检测 2. 如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到 灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观 测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯 塔距离最近的位置所需的时间是（ ） A. 10分钟 B. 15分钟 C. 20分钟 D. 25分钟 B 课堂检测 3. 如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向，一艘 船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C 岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°方向，则A、B两岛之间的 距离为 ． (结果精确到0.1海里，参考数据： sin43°=0.68， cos43°=0.73，tan43°=0.93) 33.5海里 课堂检测 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB 的坡度i=1∶ 3，斜坡CD的坡度i=1∶ 2.5，求： (1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)； A D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3 解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4，由计算器可算 得α≈22°.故斜坡CD的坡角α 为22°. 课堂检测 能 力 提 升 题 解：分别过点B , C作BE⊥AD于E ，CF⊥AD于F ， 由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m. 在Rt△ABE中，  3 3 23 69 mAE BE .     (2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m). E FA D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3 1 3 BEi AE   ， 课堂检测 在Rt△ABE中，由勾股定理可得  2 2 2 269 23 72.7 mAB AE BE .     在Rt△DCF中，同理可得 1 2 5 CFi FD .   ， 故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m. ∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m) FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)， 课堂检测 A D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3 E F 解：作DE⊥AB于E ， CF⊥AB于F ， 由题意可知，DE＝CF＝4 (米)，CD＝EF＝12 (米)． 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是12 米，路基的 坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽 (精确到 0.1米， ， ). 45° 30° 4米 12米 A B CD732.13 414.12  在Rt△ADE中， 4 tan 45 ,DEi AE AE     E F 课堂检测 拓 广 探 索 题 在Rt△BCF中，同理可得 因此 AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.9 (米)． 答： 路基下底的宽约为22.9米． 4 4tan 45AE   (米). 4 6.93tan30BF   (米). 45° 30° 4米 12米 A B CD E F 课堂检测 利用方向角、 坡度解直角 三角形 坡度问题 方向角问题 坡角 坡度(或坡比) tanhi l   课堂小结 课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习