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- 2021-11-10 发布
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第
22
章:二次函数
22.2
二次函数与一元一次方程
学习目标:
1.了解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.理解一元二次方程根的几何意义,会灵活运用一元二次方程根的判别式处理二次函数图象与x轴的交点问题。
问题
1
:如图,以
40m/s
的速度将小球沿与地面成
30
0
角的方向击出时,球的飞行路线将是一条抛物线,如果不考虑空气的阻力,球的飞行
h
(单位:
m
)与飞行时间
t
(单位:
s
)之间具有关系:
h=20t-5t
2
,考虑以下问题:
(
1
)球的飞行高度能否达到
15m
?如果能,需要多少飞行时间?
(
1
)球的飞行高度能否达到
15m
?如果能,需要多少飞行时间?
你能结合图形指出
为什么在两个时间
球的高度为
15m
?
O
h
t
15
1
3
解
:(
1
)解方程
15=20t-5t
2
T
2
-4t+3=0
t
1
=1,t
2
=3
(
2
)球的飞行高度能否达到
20m
?
如果能,需要多少飞行时间?
你能结合图形指出
为什么只在一个时间
球的高度为
20m
?
(
2
)
球的飞行高度能否达到
20m
?如果能,需要多少飞行时间?
你能结合图形指出
为什么只在一个时间球的高度为
20m
?
O
h
t
20
4
?
(
3
)球的飞行高度能否达到
20.5m
?
如果能,需要多少飞行时间?
O
h
t
你能结合图形指出
为什么球不能达到
20.5m
的高度
?
20.5
解
:(
2
)解方程
20=20t-5t
2
T
2
-4t+4=0
t
1
=t
2
=2
当球飞行
2
秒时,它的高度为
20
米。
解
:(
3
)解方程
20.5=20t+5t
2
T
2
-4t+4.1=0
因为(
-4
)
2
-4×4.1
<
0
,所以方程无解。
球的飞行高度达不到
20.5
米
(
4
)球从飞出到落地要用多少时间?
O
h
t
你能结合图形指出为什么在两个时间球的高度为
0m
吗
?
解
:(
4
)解方程
0=20t-5t
2
T
2
-4t=0
t
1
=0
,
t
2
=4
当球飞行
0
秒和
4
秒时,它的高度为
0
米。
即
0
秒时球从地面飞出,
4
秒时球落回地面。
例如
,
已知二次函数
y=-X
2
+4x
的值为
3,
求自变量
x
的值
.
就是求方程
3=-X
2
+4x
的解
,
例如
,
解方程
X
2
-4x+3=0
就是已知二次函数
y=X
2
-4x+3
的值为
0,
求自变量
x
的值
.
从以上可以看出,已知二次函数
y
的值为
m
,求相应自变量
x
的值,就是求相应一元二次方程的解。
观察
:
下列二次函数的图
象与
x
轴有公共点吗
?
如
果有
,
公共点横坐标是多
少
?
当
x
取公共点的横坐
标时
,
函数的值是多少
?
由此
,
你得出相应的一
元二次方程的解吗
?
(1)y=x
2
+x-2
(2)y=x
2
-6x+9
(3)y=x
2
-x+1
二次函数
y=ax
2
+bx+c
的图象和
x
轴交点的
横坐标
与一元二次方程
ax
2
+bx+c=0
的
根
有什么关系
?
解:(
1
)设
y=0
得
x
2
+2-2=0
(x-1)(x+2)=0
X
1
=1,x
2
=-2
所以抛物线
y=x
2
+x-2
与
X
轴有两个公共点,
公共点的横坐标分别是
1
和
-2
,
当
x
取公共点的横坐标时,函数的值为
0
解:(
2
)设
y=0
得
x
2
-6x+9=0
(x-3)
2
=0
X
1
=x
2
=3
所以抛物线
y=x
2
-6x+9
与
X
轴有两个公共点,
公共点的横坐标是
3
,
当
x
取公共点的横坐标时,函数的值为
0
解:(
2
)设
y=0
得
x
2
-x+1=0
因为
b
2
-4ac=(-1)
2
-4×1×1=-3
<
0
方程
x2-x+1=0
没有实数根
所以抛物线
y=x
2
-6x+9
与
x
轴没有公共点。
判别式:
b
2
-4ac
二次函数
y=ax
2
+bx+c
(
a≠0
)
图象
一元二次方程
ax
2
+bx+c=0
(
a≠0
)的根
x
y
O
与
x
轴有两个不
同的交点
(
x
1
,
0
)
(
x
2
,
0
)
有两个不同的解
x=x
1
,
x=x
2
b
2
-4ac
>
0
x
y
O
与
x
轴有唯一个
交点
有两个相等的解
x
1
=x
2
=
b
2
-4ac=0
x
y
O
与
x
轴没有
交点
没有实数根
b
2
-4ac
<
0
方法
: (1)
先作出图象
;
(2)
写出交点的坐标
;
(3)
得出方程的解
.
利用二次函数的图象求方程
x
2
-x-3=0
的实数根(精确到
0.1
)
.
-1
3
y
x
2
O
Y=x
2
-x-3
C
A
(
1
)抛物线
y=x
2
+2x-3
与
x
轴的交点个数有()
A.0
个
B.1
个
C.2
个
D.3
个
(
2
)抛物线
y=mx
2
-3x+3m+m
2
经过原点,
则其顶点坐标为
________________.
(3)
关于
x
的一元二次方程
x
2
-x-n=0
没有实数根,则抛物线
y=x
2
-x-n
的顶点在()
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
解:(
1
)
b
2
-4ac=2
2
-4×1×
(
-3
)
=16
>
0
有两个交点
(
2
)抛物线经过原点
0=3m+m
2
m(m+3)=0
m=-3 m=0(
舍去
)
但
m=-3
时抛物线的解析式为
y=-3x
2
-3x=-3
(
x
2
+x+
)
+
=-3
(
x+
)
2
+
顶点为(
-
)
1
4
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
解:(
3
)
b
2
-4ac
<
0
(
-1
)
2
-4×1×
(
-n
) <
0
1+4n
<
0 n
<
-
1
4
b
2a
- =- =
>
0
-1
2×1
1
2
4ac-b
2
2a
=
4×1×
(
-n
)
-(-1)
2
4×1
=
-4n-1
4
n
<
-
1
4
-4n
>
1
-4n-1
>
0
-4n-1
4
>
0
顶点在第一象限
(
4
)一元二次方程
3 x
2
+x-10=0
的两个根是
x
1
= -2 ,x
2
=5/3,
那么二次函数
y= 3 x
2
+x-10
与
x
轴的交点坐标是____
.
一元二次方程
ax
2
+bx+c=0
的两个根为
x
1
,x
2
,
则抛物线
y=ax
2
+bx+c
与
x
轴的交点坐标是
(x
1
,0),(x
2
,0)
(
5
)根据下列表格的对应值
:
判断方程
ax
2
+bx+c=0 (a≠0,a,b,c
为常数
)
一个解
x
的范围是
( )
A 3< X < 3.23 B 3.23 < X < 3.24
C 3.24 0
b
2
– 4ac= 0
b
2
– 4ac< 0
若抛物线
y=ax
2
+bx+c
与
x
轴有交点
,
则
b
2
– 4ac
≥
0
△>
0
△
=0
△<
0
O
X
Y
二次函数
y=ax2+bx+c
的图象和
x
轴交点
已知二次函数
y=-x
2
+2x+k+2
与
x
轴的公共点有两个,
(
1
)求
k
的取值范围;
(
2
)当
k=1
时,求抛物线与
x
轴的公共点
A
和
B
的坐标及顶点
C
的坐标;
(
3
)观察图象,当
x
取何值时,
y=0,y>0,y<0?
(
4
)在
x
轴下方的抛物线上是否存在点
P
,使
S
⊿ABP
是
S
⊿ABC
的一半,若存在,求出
P
点的坐标,若不存在,请说明理由
.
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