第1章 二次函数（知识点汇总·浙教9上） 3页

第 1 章 二次函数 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果 cbacbxaxy ,,(2  是常数， )0a ，那么 y 叫做 x 的二次函数. 2.二次函数 2axy  的性质 （1）抛物线 2axy  的顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴. （2）函数 2axy  的图像与 a 的符号关系. ①当 0a 时  抛物线开口向上  顶点为其最低点； ②当 0a 时  抛物线开口向下  顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 2axy  ）（ 0a . 3.二次函数 cbxaxy  2 的图像是对称轴平行于（包括重合） y 轴的抛物线. 4.二次函数 cbxaxy  2 用配方法可化成：   khxay  2 的形式，其中 a backa bh 4 4 2 2 ， . 5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ① 2axy  ；② kaxy  2 ；③  2hxay  ；④   khxay  2 ；⑤ cbxaxy  2 . 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ① a 的符号决定抛物线的开口方向：当 0a 时，开口向上；当 0a 时，开口向下； a 越大，抛物线的开口越小； a 越小，抛物线的开口越大。 ②平行于 y 轴（或重合）的直线记作 hx  .特别地， y 轴记作直线 0x . 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 a 相同，那么抛物线的开口方向、开 口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法： a bac a bxacbxaxy 4 4 2 22 2       ， ∴顶点是 ），（ a bac a b 4 4 2 2 ，对称轴是直线 a bx 2  . （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为   khxay  2 的形式，得到顶点为(h , k )， 对称轴是直线 hx  . （3）抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线 是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线 cbxaxy  2 中， cba ,, 的作用 （1） a 决定开口方向及开口大小，这与 2axy  中的 a 完全一样. （2）b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 cbxaxy  2 的对称轴是直线 a bx 2  ，故：① 0b 时，对称轴为 y 轴；② 0 a b （即a 、b 同号）时，对称轴在 y 轴左侧； ③ 0 a b （即 a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧，“左同右异”. （3）c 的大小决定抛物线 cbxaxy  2 与 y 轴交点的位置. 当 0x 时， cy  ，∴抛物线 cbxaxy  2 与 y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ① 0c ，抛物线经过原点; ② 0c ,与 y 轴交于正半轴；③ 0c ,与 y 轴交于负半轴. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2axy  当 0a 时 开口向上 当 0a 时 开口向下 0x （ y 轴） （0,0） kaxy  2 0x （ y 轴） (0, k )  2hxay  hx  (h ,0)   khxay  2 hx  (h , k ) cbxaxy  2 a bx 2  ( a bac a b 4 4 2 2 ， ) 11.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式： cbxaxy  2 .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：   khxay  2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 1x 、 2x ，通常选用交点式：   21 xxxxay  . 12.直线与抛物线的交点 （1） y 轴与抛物线 cbxaxy  2 得交点为(0, c ). （2）与 y 轴平行的直线 hx  与抛物线 cbxaxy  2 有且只有一个交点(h , cbhah 2 ). （3）抛物线与 x 轴的交点 二次函数 cbxaxy  2 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 1x 、 2x ，是对应一元二次方程 02  cbxax 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判 别式判定： ①有两个交点  0  抛物线与 x 轴相交； ②有一个交点（顶点在 x 轴上）  0  抛物线与 x 轴相切； ③没有交点  0  抛物线与 x 轴相离. （4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等， 设纵坐标为 k ，则横坐标是 kcbxax 2 的两个实数根. （5）一次函数  0 knkxy 的图像l 与二次函数  02  acbxaxy 的图像G 的交点，由方程 组 cbxaxy nkxy   2 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时  l 与G 有两个交点; ② 方程组只有一组解时  l 与G 只有一个交点；③方程组无解时  l 与G 没有交点. （6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 cbxaxy  2 与 x 轴两交点为    00 21 ，，， xBxA ， 由于 1x 、 2x 是方程 02  cbxax 的两个根，故 a cxxa bxx  2121 ,     aa acb a c a bxxxxxxxxAB      444 22 21 2 21 2 2121