2009年上海市中考数学及答案 5页

2009 年上海市初中毕业统一学业考试 数 学 卷 （满分 150 分，考试时间 100 分钟） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共 25 题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一 律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或 计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题 纸的相应位置上．】 1．计算 32()a 的结果是（B ） A． 5a B． 6a C． 8a D． 9a 2．不等式组 10 21 x x    ， 的解集是（ C ） A． 1x  B． 3x  C． 13x   D． 31x   3．用换元法解分式方程 13 101 xx xx     时，如果设 1x yx   ，将原方程化为关于 y 的 整式方程，那么这个整式方程是（ A ） A． 2 30yy   B． 2 3 1 0yy   C． 23 1 0yy   D． 23 1 0yy   4．抛物线 22( )y x m n   （ mn， 是常数）的顶点坐标是（ B ） A．()mn， B．()mn ， C．()mn， D．()mn， 5．下列正多边形中，中心角等于内角的是（ C ） A．正六边形 B．正五边形 C．正四边形 C．正三边形 6．如图 1，已知 AB CD EF∥ ∥ ，那么下列结论正确的是（A ） A． AD BC DF CE B． BC DF CE AD C． CD BC EF BE D． CD AD EF AF 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 【请将结果直线填入答题纸的相应位置】 7．分母有理化：． 8．方程 11x 的根是 x=2 ． A B D C E F 图 1 1 5  5 5 9．如果关于 x 的方程 2 0x x k   （ k 为常数）有两个相等的实数根，那么 k ． 10．已知函数 1() 1fx x  ，那么 (3)f  —1/2 ． 11．反比例函数 2y x 图像的两支分别在第 I III 象限． 12．将抛物线 2yx 向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式 是 ． 13．如果从小明等 6 名学生中任选 1 名作为“世博会”志愿者，那么小明被选中的概率是 1/6 ． 14．某商品的原价为 100 元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是 m ，那么该商 品现在的价格是 100*(1—m)^2 元（结果用含 m 的代数式表示）． 15．如图 2，在 ABC△ 中， AD 是边 BC 上的中线，设向量 ， 如果用向量 a ，b 表示向量 AD ，那么 = a +(b /2)． 16．在圆O 中，弦 AB 的长为 6，它所对应的弦心距为 4，那么半 径OA  5 ． 17．在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 互相平分，交点为 O ．在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形 成为矩形， 还需添加一个条件，这个条件可以是 AC=BD 或者有个内角等于 90 度 ． 18．在 Rt ABC△ 中， 90 3BAC AB M  °， ， 为边 BC 上的 点，联结 AM （如图 3 所示）．如果将 ABM△ 沿直线 AM 翻折 后，点 B 恰好落在边 AC 的中点处，那么点 M 到 AC 的距离是 2 ． 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（本题满分 10 分） 计算： 2 2 2 2 1( 1)1 2 1 aaaa a a      ． = —1 20．（本题满分 10 分） 解方程组： 2 1 2 2 0 yx x xy      ， ① . ② (X=2 y=3 ) (x=-1 y=0) 21．（本题满分 10 分，每小题满分各 5 分） 如图 4，在梯形 ABCD中， 8 60 12AD BC AB DC B BC    ∥ ， ， °， ，联结 AC ． （1）求 tan ACB 的值； 图 2 A C D B A 图 3 B M C 1 4 2yx BC bAB a （2）若 MN、 分别是 AB DC、 的中点，联结 MN ，求线段 MN 的长． (1) 二分之根号 3 （2）8 22．（本题满分 10 分，第（1）小题满分 2 分，第（2）小题满分 3 分，第（3）小题满分 2 分，第（4）小题满分 3 分） 为了了解某校初中男生的身体素质状况，在该校六年级至九年级共四个年级的男生中，分别 抽取部分学生进行“引体向上”测试．所有被测试者的“引体向上”次数情况如表一所示； 各年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率如图 5 所示（其中六年级相关数据未标出）． 次数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数 1 1 2 2 3 4 2 2 2 0 1 表一 根据上述信息，回答下列问题（直接写出结果）： （1）六年级的被测试人数占所有被测试人数的百分率是 20% ； （2）在所有被测试者中，九年级的人数是 6 ； （3）在所有被测试者中，“引体向上”次数不小于 6 的人数所 占的百分率是 35% ； （4）在所有被测试者的“引体向上”次数中，众数是 5 ． 23．（本题满分 12 分，每小题满分各 6 分） 已知线段 AC 与 BD 相交于点O ，联结 AB DC、 ，E 为OB 的中点， F 为OC 的中点，联结 EF （如图 6 所示）． （1）添加条件 AD   ， OEF OFE   ， 求证： AB DC ． 证明：由已知条件得：2OE=2OC OB=OC 又 角 AOB=角 DOC 所以三角形 ABO 全等于三角形 DOC 所以 （2）分别将“ ”记为①，“ ”记为②，“ ”记为③， 添加条件①、③，以②为结论构成命题 1，添加条件②、③，以①为结论构成命题 2．命题 1 是 真 命题，命题 2 是 假 命题（选择“真”或“假”填入空格）． 24．（本题满分 12 分，每小题满分各 4 分） A D C 图 4 B 九年级 八年级 七年级 六年级 25% 30% 25% 图 5 图 6 O D C A B E F 在直角坐标平面内，O 为原点，点 A 的坐标为(10)， ，点C 的坐标为(0 4)， ，直线CM x∥ 轴（如图 7 所示）．点 B 与点 A 关于原点对称，直线 y x b（b 为常数）经过点 B ，且 与直线CM 相交于点 D ，联结OD ． （1）求b 的值和点 D 的坐标； （2）设点 P 在 x 轴的正半轴上，若 POD△ 是等腰三 角形，求点 的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以 PD 为半径的圆 与 圆 外切，求圆 的半径． 解：（1）点 B（—1，0），代入得到 b=1 直线 BD： y=x+1 Y=4 代入 x=3 点 D（3，1） （2）1、PO=OD=5 则 P（5，0） 2、PD=OD=5 则 PO=2*3=6 则点 P（6，0） 3、PD=PO 设 P（x，0） D（3，4） 则由勾股定理 解得 x=25/6 则点 P（25/6，0） （3）由 P，D 两点坐标可以算出： 1、PD=2 5 r=5—2 2、PD=5 r=1 3、PD=25/6 r=0 25．（本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 5 分，第（3）小题满分 5 分） 已知 90 2 3ABC AB BC AD BC P   °， ， ， ∥ ， 为线段 BD 上的动点，点 Q 在射线 AB 上，且满足 PQ AD PC AB （如图 8 所示）． （1）当 2AD  ，且点Q 与点 B 重合时（如图 9 所示），求线段 PC 的长； （2）在图 8 中，联结 AP ．当 3 2AD  ，且点Q 在线段 AB 上时，设点 BQ、 之间的距离 为 x ， APQ PBC S yS △ △ ，其中 APQS△ 表示 APQ△ 的面积， PBCS△ 表示 PBC△ 的面积，求 y 关 于 x 的函数解析式，并写出函数定义域； （3）当 AD AB ，且点Q 在线段 AB 的延长线上时（如图 10 所示），求 QPC 的大小． 解：（1）AD=2，且 Q 点与 B 点重合，根据题意，∠PBC=∠PDA，因为∠A=90。 PQ/PC=AD/AB=1, A D P C B Q 图 8 D A P C B （Q） ） 图 9 图 10 C A D P B Q C M O x y 1 2 3 4 1 图 7 A 1 B D 2 所以：△PQC 为等腰直角三角形，BC=3，所以：PC=3 /2, （2）如图：添加辅助线，根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成 S1，S2， 高分别 是 H，h， 则：S1=（2-x）H/2=（2*3/2）/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2 S2=3*h/2 因为两 S1/S2=y，消去 H,h,得： Y=-(1/4)*x+(1/2), 定义域：当点 P 运动到与 D 点重合时，X 的取值就是最大值，当 PC 垂直 BD 时，这时 X=0， 连接 DC,作 QD 垂直 DC，由已知条件得：B、Q、D、C 四点共圆，则由圆周角定理可以推知： 三角形 QDC 相似于三角形 ABD QD/DC=AD/AB=3/4，令 QD=3t,DC=4t,则：QC=5t，由勾股定理得： 直角三角形 AQD 中：(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2 直角三角形 QBC 中：3^2+x^2=(5t)^2 整理得：64x^2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0 得 x1=7/8 x2=(43/8)>2(舍去) 所以函数: Y=-(1/4)*x+1/2 的定义域为[0，7/8] (3)因为：PQ/PC=AD/AB,假设 PQ 不垂直 PC，则可以作一条直线 PQ′垂直于 PC，与 AB 交于 Q′ 点， 则：B，Q′，P，C 四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得： PQ′/PC=AD/AB, 又由于 PQ/PC=AD/AB 所以，点 Q′与点 Q 重合，所以角∠QPC=90。 A D P C B Q 图 8 D A P C B （Q） ） 图 9 图 10 C A D P B Q