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- 2021-11-10 发布
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第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念；能够表示简单变量之间的二次函数关系．
重点：能够表示简单变量之间的二次函数关系．
难点：理解二次函数的有关概念．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P28～29，自学“思考”，理解二次函数的概念及意义，完成填空．
总结归纳：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a，b，c．现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，其表达式分别是y＝ax＋b(a，b为常数，且a≠0)、y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
1．下列函数中，是二次函数的有__A，B，C__．
A．y＝(x－3)2－1
B．y＝1－x2
C．y＝(x＋2)(x－2)
D．y＝(x－1)2－x2
2．二次函数y＝－x2＋2x中，二次项系数是__－1__，一次项系数是__2__，常数项是__0__．
3．半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的函数关系式为y＝πx2＋2πRx(x≥0)．
点拨精讲：判断二次函数关系要紧扣定义．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究1 若y＝(b－2)x2＋4是二次函数，则__b≠2__．
探究2 某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x元(x>50)，每月销售这种篮球获利y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？
解：(1)y＝－10x2＋1400x－40000(500时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点．a越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
1．教材P41习题22.1第3，4题．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)
探究1 填空：(1)函数y＝(－x)2的图象形状是______，顶点坐标是______，对称轴是______，开口方向是______．
(2)函数y＝x2，y＝x2和y＝－2x2的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式．
解：(1)抛物线，(0，0)，y轴，向上；
(2)根据抛物线y＝ax2中，a的值来判断，在x轴上方开口小的抛物线为y＝x2，开口大的为y＝x2，在x轴下方的为y＝－2x2.
点拨精讲：解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误．抛物线y＝ax2中，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；|a|越大，开口越小．
探究2 已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数．
(1)求满足条件的m的值；
(2)m为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x为何值时，y随x的增大而增大？
(3)m为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？
解：(1)由题意得
解得∴当m＝2或m＝－3时，原函数为二次函数．
(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m＋2>0，即m>－2，∴只能取m＝2.
∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，∴当x>0时，y随x的增大而增大．
(3)若函数有最大值，则抛物线开口向下，∴m＋2<0，即m<－2，
∴只能取m＝－3.
∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，其顶点坐标为(0，0)，
∴m＝－3时，函数有最大值为0.
∴x>0时，y随x的增大而减小．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．二次函数y＝ax2与y＝－ax2的图象之间有何关系？
2．已知函数y＝ax2经过点(－1，3)．
(1)求a的值；
(2)当x<0时，y的值随x值的增大而变化的情况．
3．二次函数y＝－x2，当x1>x2>0，则y1与y2的关系是__y1＜y2__．
4．二次函数y＝ax2与一次函数y＝－ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是( B )
点拨精讲：1.二次函数y＝ax2的图象的画法是列表、描点、连线，列表时一般取5～7个点，描点时可描出一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点，连线将几个点用平滑的曲线顺次连接起来，抛物线的两端要无限延伸，要“出头”；
2．抛物线y＝ax2的开口大小与|a|有关，|a|越大，开口越小，|a|相等，则其形状相同．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(1)
1．会作函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，能比较它们的异同；理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
2．了解抛物线y＝ax2上下平移规律．
重点：会作函数的图象．
难点：能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P32～33“例2”及两个思考，理解y＝ax2＋k中a，k对二次函数图象的影响，完成填空．
总结归纳：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，其对称轴是y轴，顶点是(0，0)，开口方向由a的符号决定：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向__下__．当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．抛物线有最__低__点，函数y有最__小__值．当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．抛物线有最__高__点，函数y有最__大__值．
抛物线y＝ax2＋k可由抛物线y＝ax2沿__y__轴方向平移__|k|__单位得到，当k>0时，向__上__平移；当k<0时，向__下__平移．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)
1．在抛物线y＝x2－2上的一个点是( C )
A．(4，4) B．(1，－4)
C．(2，2) D．(0，4)
2．抛物线y＝x2－16与x轴交于B，C两点，顶点为A，则△ABC的面积为__64__．
点拨精讲：与x轴的交点的横坐标即当y等于0时x的值，即可求出两个交点的坐标．
3．画出二次函数y＝x2－1，y＝x2，y＝x2＋1的图象，观察图象有哪些异同？
点拨精讲：可从开口方向、对称轴、形状大小、顶点、位置去找．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)
探究1 抛物线y＝ax2与y＝ax2±c有什么关系？
解：(1)抛物线y＝ax2±c的形状与y＝ax2的形状完全相同，只是位置不同；
(2)抛物线y＝ax2向上平移c个单位得到抛物线y＝ax2＋c；
抛物线y＝ax2向下平移c个单位得到抛物线y＝ax2－c.
探究2 已知抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位后，所得抛物线为y＝－2x2＋4，试求a，c的值．
解：根据题意，得解得
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(13分钟)
1．函数y＝ax2－a与y＝ax－a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( D )
2．二次函数的图象如图所示，则它的解析式为( B )
A．y＝x2－4
B．y＝－x2＋3
C．y＝(2－x)2
D．y＝(x2－2)
3．二次函数y＝－x2＋4图象的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，4)，当x<0，y随x的增大而增大．
4．抛物线y＝ax2＋c与y＝－3x2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，5)，则其表达式为y＝－3x2＋5，它是由抛物线y＝－3x2向__上__平移__5__个单位得到的．
5．将抛物线y＝－3x2＋4绕顶点旋转180°，所得抛物线的解析式为y＝3x2＋4．
6．已知函数y＝ax2＋c的图象与函数y＝5x2＋1的图象关于x轴对称，则a＝__－5__，c＝__－1__．
点拨精讲：1.函数的图象与性质以及抛物线上下平移规律．(可结合图象理解)
2．抛物线平移多少个单位，主要看两顶点坐标，确定两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长，有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(2)
1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．
2．能正确说出y＝a(x－h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．
重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．
难点：能正确说出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P33～34“探究”与“思考”，掌握y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的关系，理解并掌握y＝a(x－h)2的相关性质，完成填空．
画函数y＝－x2、y＝－(x＋1)2和y＝－(x－1)2的图象，观察后两个函数图象与抛物线y＝－x2有何关系？它们的对称轴、顶点坐标分别是什么？
点拨精讲：观察图象移动过程，要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况．
总结归纳：二次函数y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，对称轴为直线x＝h．当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，抛物线有最低点，函数y有最小值；当a<0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，抛物线有最高点，函数y有最大值．抛物线y＝ax2向左平移h个单位，即为抛物线y＝a(x＋h)2(h>0)；抛物线y＝ax2向右平移h个单位，即为抛物线y＝a(x－h)2(h>0)．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)
1．教材P35练习题；
2．抛物线y＝－(x－1)2的开口向下，顶点坐标是(1，0)，对称轴是x＝1，通过向左平移1个单位后，得到抛物线y＝－x2.
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)
探究1在直角坐标系中画出函数y＝(x＋3)2的图象．
(1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)根据图象回答，当x取何值时，y随x的增大而减小？当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y取最大值或最小值？
(3)怎样平移函数y＝x2的图象得到函数y＝(x＋3)2的图象？
解：(1)对称轴是直线x＝－3，顶点坐标(－3，0)；(2)当x<－3时，y随x的增大而减小；当x>－3时，y随x的的增大而增大；当x＝－3时，y有最小值；(3)将函数y＝x2的图象沿x轴向左平移3个单位得到函数y＝(x＋3)2的图象．
点拨精讲：二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点．
探究2 已知直线y＝x＋1与x轴交于点A，抛物线y＝－2x2平移后的顶点与点A重合．(1)求平移后的抛物线l的解析式；(2)若点B(x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线l上，且－－1时，y随x的增大而减小，又－y2.
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)
1．不画图象，回答下列问题：
(1)函数y＝3(x－1)2的图象可以看成是由函数y＝3x2的图象作怎样的平移得到的？
(2)说出函数y＝3(x－1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(3)函数有哪些性质？
(4)若将函数y＝3(x－1)2的图象向左平移3个单位得到哪个函数图象？
点拨精讲：性质从增减性、最值来说．
2．与抛物线y＝－2(x＋5)2顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式是y＝2(x＋5)2．
3．对于函数y＝－3(x＋1)2，当x>－1时，函数y随x的增大而减小，当x＝－1时，函数取得最大值，最大值y＝0．
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度得到y＝x2－2x＋1的图象，则b＝－6，c＝9．
点拨精讲：比较函数值的大小，往往可根据函数的性质，结合函数图象，能使解题过程简洁明了．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(3)
1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2＋k的图象．
2．能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．掌握抛物线y＝a(x－h)2＋k的平移规律．
重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2＋k的图象．
难点：能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y＝a(x－h)2＋k的平移规律．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P35～36“例3、例4”，掌握y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的关系，理解并掌握y＝a(x－h)2＋k的相关性质，完成填空．
总结归纳：一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的形状相同，位置不同，把抛物线y＝ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定：当h>0时，表明将抛物线向右平移h个单位；当k<0时，表明将抛物线向下平移|k|个单位．
抛物线y＝a(x－h)2＋k的特点是：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；对称轴是直线x＝h；顶点坐标是(h，k)．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟
1．教材P37练习题
2．函数y＝2(x＋3)2－5的图象是由函数y＝2x2的图象先向左平移3个单位，再向下平移5个单位得到的；
3．抛物线y＝－2(x－3)2－1的开口方向是向下，其顶点坐标是(3，－1)，对称轴是直线x＝3，当x>3时，函数值y随自变量x的值的增大而减小．
一、小组讨论：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)
探究1 填写下表：
解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
y＝－2x2
向下
y轴
(0，0)
y＝x2＋1
向上
y轴
(0，1)
y＝－5(x＋2)2
向下
x＝－2
(－2，0)
y＝3(x＋1)2－4
向上
x＝－1
(－1，－4)
点拨精讲：解这类型题要将不同形式的解析式统一为y＝a(x－h)2＋k的形式，便于解答．
探究2 已知y＝a(x－h)2＋k是由抛物线y＝－x2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a，h，k的值；(2)在同一坐标系中，画出y＝a(x－h)2＋k与y＝－x2的图象；(3)观察y＝a(x－h)2＋k的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x的增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察y＝a(x－h)2＋k的图象，
你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗？
解：(1)∵抛物线y＝－x2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线是y＝－(x－1)2＋2，∴a＝－，h＝1，k＝2；
(2)函数y＝－(x－1)2＋2与y＝－x2的图象如图；
(3)观察y＝－(x－1)2＋2的图象可知，当x<1时，y随x的增大而增大；x>1时，y随x的增大而减小；
(4)由y＝－(x－1)2＋2的图象可知，对于一切x的值，y≤2.
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．将抛物线y＝－2x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式是y＝－2(x－3)2＋2．
点拨精讲：抛物线的移动，主要看顶点位置的移动．
2．若直线y＝2x＋m经过第一、三、四象限，则抛物线y＝(x－m)2＋1的顶点必在第二象限．
点拨精讲：此题为二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别．
3．把y＝2x2－1的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的解析式是y＝2(x－1)2－3．
4．已知A(1，y1)，B(－，y2)，C(－2，y3)在函数y＝a(x＋1)2＋k(a>0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y20时，开口向上，此时二次函数有最小值，当x>h时，y随x的增大而增大，当xh时，y随x的增大而减小；
用配方法将y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式，则h＝－，k＝；则二次函数的图象的顶点坐标是(－，)，对称轴是x＝－；当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大(最小)值，当a<0时，函数y有最大值，当a>0时，函数y有最小值．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
1．求二次函数y＝x2＋2x－1顶点的坐标、对称轴、最值，画出其函数图象．
点拨精讲：先将此函数解析式化成顶点式，再解其他问题，在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)
探究1 将下列二次函数写成顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，并写出其开口方向、顶点坐标、对称轴．
(1)y＝x2－3x＋21；(2)y＝－3x2－18x－22.
解：(1)y＝x2－3x＋21
＝(x2－12x)＋21
＝(x2－12x＋36－36)＋21
＝(x－6)2＋12
∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为(6，12)，对称轴是x＝6.
(2)y＝－3x2－18x－22
＝－3(x2＋6x)－22
＝－3(x2＋6x＋9－9)－22
＝－3(x＋3)2＋5
∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为(－3，5)，对称轴是x＝－3.
点拨精讲：第(2)小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解．
探究2 用总长为60 m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l是多少时，场地的面积S最大？
(1)S与l有何函数关系？
(2)举一例说明S随l的变化而变化？
(3)怎样求S的最大值呢？
解：S＝l(30－l)
＝－l2＋30l(0＜l＜30)
＝－(l2－30l)＝－(l－15)2＋225
画出此函数的图象，如图．
∴l＝15时，场地的面积S最大(S的最大值为225)．
点拨精讲：二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．y＝－2x2＋8x－7的开口方向是向下，对称轴是x＝2，顶点坐标是(2，1)；当x＝2时，函数y有最大值，其值为y＝1．
2．已知二次函数y＝ax2＋2x＋c(a≠0)有最大值，且ac＝4，则二次函数的顶点在第四象限．
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c，与y轴交点的坐标是(0，c)，当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴只有一个交点(即抛物线的顶点)，交点坐标是(－，0)；当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点，交点坐标是(，0)；当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，若抛物线与x轴的两个交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则y＝ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)．
点拨精讲：与y轴的交点坐标即当x＝0时求y的值；与x轴交点即当y＝0时得到一个一元二次方程，而此一元二次方程有无解，两个相等的解和两个不相等的解三种情况，所以二次函数与x轴的交点情况也分三种．
注意利用抛物线的对称性，已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可先用交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，x1，x2为两交点的横坐标．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
22．1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(2)
能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．
重难点：能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P39～40，自学“探究、归纳”，掌握用待定系数法求二次函数的解析式的方法，完成填空．
总结归纳：若知道函数图象上的任意三点，则可设函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，利用待定系数法求出解析式；若知道函数图象上的顶点，则可设函数的关系式为y＝a(x－h)2＋k，把另一点坐标代入式中，可求出解析式；若知道抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)，可设函数的关系式为y＝a(x－x1)(x－x2)，把另一点坐标代入式中，可求出解析式．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)
1．二次函数y＝4x2－mx＋2，当x<－2时，y随x的增大而减小；当x>－2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为22．
点拨精讲：可根据顶点公式用含m的代数式表示对称轴，从而求出m的值．
2．抛物线y＝－x2＋6x＋2的顶点坐标是(3，11)．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致如图所示，下列判断错误的是( D )
A．a<0 B．b>0 C．c>0 D．ac>0
第3题图 第4题图 第5题图
4．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P(3，0)，则a－b＋c的值为( A )
A．0 B．－1 C．1 D．2
点拨精讲：根据二次函数图象的对称性得知图象与x轴的另一交点坐标为(－1，0)，将此点代入解析式，即可求出a－b＋c的值．
5．如图是二次函数y＝ax2＋3x＋a2－1的图象，a的值是－1．
点拨精讲：可根据图象经过原点求出a的值，再考虑开口方向．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)
探究1 已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，求函数的关系式和对称轴．
解：设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，因为二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，则有
解得
∴函数的解析式为y＝x2－2x－3，其对称轴为x＝1.
探究2 已知一抛物线与x轴的交点是A(3，0)，B(－1，0)，且经过点C(2，9)．试求该抛物线的解析式及顶点坐标．
解：设解析式为y＝a(x－3)(x＋1)，则有
a(2－3)(2＋1)＝9，
∴a＝－3，
∴此函数的解析式为y＝－3x2＋6x＋9，其顶点坐标为(1，12)．
点拨精讲：因为已知点为抛物线与x轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三点代入即可得一元一次方程，较之一般式得出的三元一次方程组简单．而顶点可根据顶点公式求出．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．已知一个二次函数的图象的顶点是(－2，4)，且过点(0，－4)，求这个二次函数的解析式及与x轴交点的坐标．
2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，且关于直线x＝对称，那么它的图象还必定经过原点．
3．如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
点拨精讲：二次函数解析式的三种形式：1.一般式y＝ax2＋bx＋c；2.顶点式y＝a(x－h)2＋k；3.交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．利用待定系数法求二次函数的解析式，需要根据已知点的情况设适当形式的解析式，可使解题过程变得更简单．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟)
22．2 二次函数与一元二次方程(1)
1．理解二次函数与一元二次方程的关系．
2．会判断抛物线与x轴的交点个数．
3．掌握方程与函数间的转化．
重点：理解二次函数与一元二次方程的关系；会判断抛物线与x轴的交点个数．
难点：掌握方程与函数间的转化．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P43～45.自学“思考”与“例题”，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，完成填空．
总结归纳：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．
二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2－4ac<0时，抛物线与x轴有0个交点．这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的三种情况：有两个不等的实数根，有两个相等实数根，没有实数根．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
1．观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？
方程x2＋x－2＝0的根是：x1＝－2，x2＝1；
方程x2－6x＋9＝0的根是：x1＝x2＝3；
方程x2－x＋1＝0的根是：无实根．
2．如图所示，你能直观看出哪些方程的根？
点拨精讲：此题充分利用二次函数与一元二次方程之间的关系，即函数y＝－x2＋2x＋3中，y为某一确定值m(如4，3，0)时，相应x值是方程－x2＋2x＋3＝m(m＝4，3，0)的根．
,第3题图)
3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根是x1＝x2＝1．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)
探究 已知二次函数y＝2x2－(4k＋1)x＋2k2－1的图象与x轴交于两点．求k的取值范围．
解：根据题意知b2－4ac>0，
即[－(4k＋1)]2－4×2×(2k2－1)>0，
解得k>－.
点拨精讲：根据交点的个数来确定判别式的范围是解题关键，要熟悉它们之间的对应关系．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(12分钟)
1．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是(－2，0)，(4，0)，抛物线的对称轴是x＝1．
点拨精讲：根据对称性来求．
2．画出函数y＝x2－2x＋3的图象，利用图象回答：
(1)方程x2－2x＋3＝0的解是什么？ (2)x取什么值时，函数值大于0?
(3)x取什么值时，函数值小于0?
点拨精讲：x2－2x＋3＝0的解，即求二次函数y＝x2－2x＋3中函数值y＝0时自变量x的值．
3．用函数的图象求下列方程的解．
(1)x2－3x＋1＝0； (2)x2－6x－9＝0；
(3)x2＋x－2＝0; (4)2－x－x2＝0.
点拨精讲：(3分钟)：本节课所学知识：1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程之间的关系，当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2＋bx＋c＝m的根．
2．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点为(x0，0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
3．有下列对应关系：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的位置关系
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况
b2－4ac的值
有两个公共点
有两个不相等的实数根
b2－4ac>0
只有一个公共点
有两个相等的实数根
b2－4ac＝0
无公共点
无实数根
b2－4ac<0
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
22．2 二次函数与一元二次方程(2)
1．会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解．
2．熟练掌握函数与方程的综合应用．
3．能利用函数知识解决一些简单的实际问题．
重点：根据函数图象观察方程的解和不等式的解集．
难点：观察抛物线与直线相交后的函数值、自变量的变化情况．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P46.理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，完成填空．
总结归纳：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标实质上是抛物线与直线y＝0组成的方程组的解；抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点坐标实质上是的解；抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线的交点坐标实质上是的解．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)
1．若二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为( D )
A．k＜4 B．k≤4
C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
2．已知二次函数y＝x2－2ax＋(b＋c)2，其中a，b，c是△ABC的边长，则此二次函数图象与x轴的交点情况是( A )
A．无交点 B．有一个交点
C．有两个交点 D．交点个数无法确定
3．若二次函数y＝x2＋mx＋m－3的图象与x轴交于A，B两点，则A，B两点的距离的最小值是( C )
A．2 B．0
C．2 D．无法确定
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)
探究1 将抛物线y＝x2＋2x－4向右平移2个单位，又向上平移3个单位，最后绕顶点旋转180°.(1)求变换后新抛物线对应的函数解析式；(2)若这个新抛物线的顶点坐标恰为x的整式方程x2－(4m＋n)x＋3m2－2n＝0的两根，求m，n的值．
解：(1)y＝x2＋2x－4＝(x＋1)2－5，
由题意可得平移旋转后的抛物线解析式为y＝－(x－1)2－2＝－x2＋2x－3；
(2)该抛物线顶点坐标为(1，－2)，设方程两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝4m＋n＝－1，x1·x2＝3m2－2n＝－2，即解得或
点拨精讲：熟练运用二次函数平移规律解决问题，二次函数与一元二次方程的转化，以及运用一元二次方程根与系数的关系也是解决问题的常用之法．
探究2 如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是x＞3或x＜－1．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．若二次函数y＝ax2－x＋c的图象在x轴的下方，则a，c满足关系为( A )
A．a＜0且4ac＞1 B．a＜0且4ac＜1
C．a＜0且4ac≥1 D．a＜0且4ac≤1
2．若二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图，关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解x1＝3，则另一个解x2＝－1．
点拨精讲：可根据抛物线的对称性求解．
3．二次函数y＝x2－8x＋15的图象与x轴交于A，B两点，点C在该函数的图象上运动，若S△ABC＝2，求点C的坐标．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
22．3 实际问题与二次函数(1)
1．经历探索实际问题中两个变量的变化过程，使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路．
2．初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题．
重难点：用抛物线知识解决实际问题．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P49～50，自学“探究1”，能根据几何图形及相互关系建立二次函数关系式，体会二次函数这一模型的意义．
总结归纳：图象是抛物线的，可设其解析式为y＝ax2＋bx＋c或y＝a(x－h)2＋k，再寻找条件，利用二次函数的知识解决问题；实际问题中没有坐标系，应建立适当的坐标系，再根据图象和二次函数的知识解决实际问题．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)
1．用长16 m的绳子围成如图所示的矩形框，使矩形框的面积最大，那么这个矩形框的最大面积是_m2．
2．如图，点C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( A )
A．当C是AB的中点时，S最小
B．当C是AB的中点时，S最大
C．当C为AB的三等分点时，S最小
D．当C是AB的三等分点时，S最大
第2题图 第3题图
3．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4 cm，当水渠深x为时，横断面面积最大，最大面积是．
点拨精讲：先列出函数的解析式，再根据其增减性确定最值．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)
探究1 某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01 m)
解：由题意可知4y＋×2πx＋6x＝15，化简得y＝，设窗户的面积为S m2，则S＝πx2＋2x×＝－3x2＋x，∵a＝－3<0，∴S有最大值．∴当x＝1.25 m时，S最大值≈4.69(m2)，即当x＝1.25 m时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积是4.69 m2.
点拨精讲：中间线段用x的代数式来表示，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内．
探究2 如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？
解：设矩形纸较短边长为a，设DE＝x，则AE＝a－x，那么两个正方形的面积和y为y＝x2＋(a－x)2＝2x2－2ax＋a2，当x＝－＝a时，y最小值＝2×(a)2－2a×a＋a2＝a2.
即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小．
点拨精讲：此题要充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x米．
①用含x的式子表示横向甬道的面积；
②当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；
③根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
点拨精讲：想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形．
点拨精讲：解答抛物线形实际问题的一般思路：1.把实际问题中的已知条件转化为数学问题；2.建立适当的平面直角坐标系，把已知条件转化为坐标系中点的坐标；3.求抛物线的解析式；4.利用抛物线解析式结合图象解决实际问题．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
22．3 实际问题与二次函数(2)
能根据实际问题建立二次函数的关系式，并探求出在何时刻，实际问题能取得理想值，增强学生解决具体问题的能力．
重点：用函数知识解决实际问题．
难点：如何建立二次函数模型．
一、自学指导．(10分钟)
1．自学：自学课本P50，自学“探究2”，理解求实际问题中的最值与二次函数最值之间的关系，完成填空．
总结归纳：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值．用二次函数的知识解决实际问题时，关键是先将实际问题抽象成数学问题，即先建立二次函数关系，然后再利用二次函数的图象及性质进行解答．在二次函数y＝a(x－h)2＋k中，若a>0，当x＝h时，函数y有最小值，其值为y＝k；若a<0，当x＝h时，函数y有最大值，其值为y＝k．
点拨精讲：遇到一般式，可先化成顶点式，再求最值；自变量有取值范围的还要考虑在范围内的最值．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)
1．已知二次函数y＝x2－4x＋m的最小值是2，那么m的值是6．
2．边长为10 cm的正方形铁片，中间剪去一个边长是x cm的小正方形，剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)之间的函数关系是y＝－x2＋100(0＜x＜10)．
3．服装店将进价为100元的服装按x元出售，每天可销售(200－x)件，若想获得最大利润，则x应定为150元．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)
探究 某经销店代销一种材料，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元)．
(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
(2)求出y与x的函数关系式；(不要求写出x的取值范围)
(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
(4)王强说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
解：(1)45＋×7.5＝60(吨)；
(2)y＝(x－100)(45＋×7.5)，
化简，得y＝－x2＋315x－24000；
(3)y＝－x2＋315x－24000＝－(x－210)2＋9075
此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．
(4)我认为，王强说得不对．
理由：当月利润最大时，x为210元，而月销售额W＝x(45＋×7.5)＝－(x－160)2＋19200，当x为160元时，月销售额W最大，∴当x为210元时，月销售额W不是最大．∴王强说得不对．
点拨精讲：要分清每一吨的利润、销售量与售价的关系；分清最大利润与最大销售额之间的区别．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)
1．若抛物线y＝－x2＋bx＋c的最高点为(1，3)，则b＝________，c＝________．
2．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？
3．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位的租出，若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出；以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床位每晚应提高多少元？
点拨精讲：在根据实际问题建立函数模型时，要考虑自变量的取值范围．(3分钟)
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟)
22．3 实际问题与二次函数(3)
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题．
重难点：用抛物线知识解决实际问题．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P51，自学“探究3”，学会根据实际问题，建立适当的坐标系和二次函数关系，完成填空．
总结归纳：建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：①根据题意建立适当的平面直角坐标系；②把已知条件转化为点的坐标；③合理设出函数关系式；④利用待定系数法求出函数关系式；⑤根据求得的关系式进一步分析、判断，并进行有关的计算．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)
1．一个运动员打高尔夫球，如果球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y＝(x－30)2＋10，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( A )
A．10 m B．20 m C．30 m D．40 m
2．某工厂大门是一个抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高处各有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，如图所示，则厂门的高(水泥建筑物厚度不计，精确到0.1米)为( B )
A．6.8米 B．6.9米 C．7.0米 D．7.1米
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究 小红家门前有一座抛物线形拱桥，如图，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，水面下降1 m时，水面宽度增加多少？
解：由题意建立如图的直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax2，∵抛物线经过点A(2，－2)，∴－2＝4a，∴a＝－，
即抛物线的解析式为y＝－x2，当水面下降1 m时，点B的纵坐标为－3.将y＝－3代入二次函数解析式y＝－x2，得－3＝－x2，∴x＝±，∴此时水面宽度为2|x|＝2 (m)．即水面下降1 m时，水面宽度增加了(2－4) m.
点拨精讲：用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系；抛物线的解析式假设恰当会给解决问题带来方便．
二、跟踪练习：
学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(11分钟)
1．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20 m，拱顶距离水面4 m.
(1)在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；
(2)在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，求出将d表示为h的函数解析式；
(3)设正常水位时桥下的水深为2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？
点拨精讲：以桥面所在直线为x轴，以桥拱的对称轴所在直线为y轴建立坐标系．设抛物线的解析式为y＝ax2，则点B的坐标为(10，－4)，即可求出解析式．
2．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y＝－x2＋3x＋1的一部分，如图．
(1)求演员弹跳离地面的最大高度；
(2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
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