中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义13 二次函数（教师版） 35页

专题 13 二次函数 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 二次函数的概念 概念：一般地，形如 ܾ （ ， ܾ ， 是常数， ）的函数，叫做二次函数。 注意：二次项系数 ，而 ܾ  ，   可以为零． 二次函数 u ࢈ 的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式，x 的最高次数是 2． ⑵ ， ܾ ， 是常数， 是二次项系数， ܾ 是一次项系数， 是常数项． 1．（2017·甘肃中考模拟）下列函数中，是二次函数的有（ ） ① 㘵 ⸲ ② 㘵 ③ 㘵 ⸲ ④ 㘵 ⸲ 㘵 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【详解】 ①y=1− x2=− x2+1，是二次函数； ②y= 㘵 ，分母中含有自变量，不是二次函数； ③y=x(1−x)=−x2+x，是二次函数； ④y=(1−2x)(1+2x)=−4x2+1，是二次函数. 二次函数共三个， 故答案选 C. 2．（2013·湖南中考真题）下列函数是二次函数的是（ ） A．y x 㘵 B．y ⸲ x 㘵 C．y x D．y 㘵 x ⸲ 【答案】C 【详解】 根据二次函数的定义，形如 y ax2 bx c（其中 a，b，c 是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，所给函数 中是二次函数的是 y x 。故选 C。 3．（2018·安徽中考模拟）下列函数不属于二次函数的是（ ） A． ⸲ 㘵 B．  21y x 12   C． 㘵 ⸲ D．  2 2y 2 x 3 2x   【答案】D 【详解】 把每一个函数式整理为一般形式， A、 ⸲ 㘵 =x2+x-2，是二次函数，正确； B、  21y x 12   = 㘵 x2+x+ 㘵 ，是二次函数，正确； C、 㘵 ⸲ ，是二次函数，正确； D、  2 2y 2 x 3 2x   =2x2+12x+18-2x2=12x+18，这是一个一次函数，不是二次函数， 故选 D. 4．（2018·上海中考模拟）下列函数中是二次函数的是（ ） A．y=2（x﹣1） B．y=（x﹣1）2﹣x2 C．y=a（x﹣1）2 D．y=2x2﹣1 【答案】D 【详解】 A、y=2x﹣2，是一次函数， B、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1，是一次函数， C、当 a=0 时，y=a（x﹣1）2 不是二次函数， D、y=2x2﹣1 是二次函数． 故选 D． 考查题型一 待定系数法求二次函数解析式 1．（2018·广东中考模拟）二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的自变量 x 与函数 y 的对应值如下表： x … －5 －4 －3 －2 －1 0 … y … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列说法正确的是( ) A．抛物线的开口向下 B．当 x＞－3 时，y 随 x 的增大而增大 C．二次函数的最小值是－2 D．抛物线的对称轴是直线 x＝－ 【答案】D 【详解】 将点(−4,0)、(−1,0)、(0,4)代入到二次函数 y=ax2+bx+c 中， 得： 㘵ͳ ⸲ ܾ ⸲ ܾ ,解得： 㘵 ܾ ， ∴二次函数的解析式为 y=x ²+5x+4. A. a=1>0，抛物线开口向上，A 不正确； B. − ܾ =− ,当 x ⩾ − 时，y 随 x 的增大而增大，B 不正确； C. y=x²+5x+4=(x+ ) ²− ,二次函数的最小值是− ，C 不正确； D. − ܾ =− ,抛物线的对称轴是 x=− ，D 正确. 故选 D. 2．（2018·上海中考模拟）已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如 下表： x … －1 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 那么关于它的图象，下列判断正确的是( ) A．开口向上 B．与 x 轴的另一个交点是(3，0) C．与 y 轴交于负半轴 D．在直线 x＝1 的左侧部分是下降的 【答案】B 【详解】 A、由表格知，抛物线的顶点坐标是（1，4）．故设抛物线解析式为 y=a（x﹣1）2+4． 将（﹣1，0）代入，得 a（﹣1﹣1）2+4=0， 解得 a=﹣2． ∵a=﹣2＜0， ∴抛物线的开口方向向下， 故本选项错误； B、抛物线与 x 轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴是 x=1，则抛物线与 x 轴的另一个交点是（3，0），故本 选项正确； C、由表格知，抛物线与 y 轴的交点坐标是（0，3），即与 y 轴交于正半轴，故本选项错误； D、抛物线开口方向向下，对称轴为 x=1，则在直线 x=1 的左侧部分是上升的，故本选项错误； 故选：B． 考查题型二 根据二次函数的定义求参数值 1．（2012·山东中考真题）抛物线 y ax bx ⸲ 经过点（2，4），则代数式 a b 㘵 的值为（ ） A．3 B．9 C． 㘵 D． ⸲ 㘵【答案】C 【详解】 ∵抛物线 y ax bx ⸲ 经过点（2，4），∴4 a b ⸲ ，即 a b 。 ∴ a b 㘵 ꀀ a b 㘵 㘵 㘵 。故选 C。 2．（2018·安徽中考模拟）已知函数 y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求 m 的值； （2）若这个函数是二次函数，则 m 的值应怎样？ 【答案】(1)、m=0；(2)、m≠0 且 m≠1. 【详解】 解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m=0 解得 m=0 或 m=1 又∵m﹣1≠0 即 m≠1； ∴当 m=0 时，这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0 解得 m1≠0，m2≠1 ∴当 m1≠0，m2≠1 时，这个函数是二次函数． 知识点 2：二次函数的图象和性质（重点） 二次函数的基本表现形式： ① ；② ；③ ⸲ 㐲 ；④ ⸲ 㐲 ；⑤ ܾ . 第一种：二次函数 u 的性质（最基础） 1.（2019·辽宁中考模拟）下列关于二次函数 22y x 的说法正确的是( ) A．它的图象经过点 ꀀ ⸲ 㘵ͳ ⸲ B．它的图象的对称轴是直线 C．当 0x  时， 随 的增大而减小 D．当 时， 有最大值为 0 【答案】C 【详解】 A. 它的图象经过点 ⸲ 㘵ͳ ，A 错误； B. 它的图象的对称轴是直线 ，B 错误； C. 当 㘠 时， 随 的增大而减小，正确； D. 当 时， 有最小值为 0,D 错误. 2．（2019·山东中考模拟）给出下列函数：①y＝2x﹣3；②y＝ 㘵 ；③y＝2x2；④y＝﹣3x+1．上述函数中符合 条件“当 x＞0 时，函数值 y 随自变量 x 增大而减小”的是（ ） A．①③ B．③④ C．②④ D．②③ 的符号 开口方 向 顶点坐标 对称 轴 性质 ⥐ 向上  ，   轴 ⥐ 时， 随 的增大而增大； 㘠 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 㘠 向下  ，   轴 ⥐ 时， 随 的增大而减小； 㘠 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ． 【答案】C 【详解】 ①y＝2x﹣2，当 x＞0 时，函数值 y 随自变量 x 增大而增大，故此选项错误； ②y＝ 㘵 ，当 x＞0 时，函数值 y 随自变量 x 增大而减小，故此选项正确； ③y＝2x2，当 x＞0 时，函数值 y 随自变量 x 增大而增大，故此选项错误； ④y＝﹣3x，当 x＞0 时，函数值 y 随自变量 x 增大而减小，故此选项正确； 故选 C． 第二种：二次函数 u 的性质 1．（2013·江苏中考模拟）关于二次函数 y＝2x2＋3，下列说法中正确的是 （ ） A．它的开口方向是向下 B．当 x＜－1 时，y 随 x 的增大而减小 C．它的顶点坐标是（2，3） D．当 x＝0 时，y 有最大值是 3 【答案】B 【详解】 A、∵a=2＞0，故它的开口方向是向上，故此选项错误； B、在 y 轴左侧，y 随 x 的增大而减小，故当 x＜﹣1 时，y 随 x 的增大而减小，正确； C、它的顶点坐标是（0，3），故此选项错误； D、当 x=0 时，y 有最小值是 3，故此选项错误； 故选：B． 2．（2017·黑龙江中考模拟）二次函数 ⸲ 的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的 是（ ） A．抛物线开口向下 B．抛物线与 轴有两个交点 C．抛物线的对称轴是直线 =1 D．抛物线经过点（2,3） 的符号 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 ⥐ 向上  ，   轴 ⥐ 时， 随 的增大而增大； 㘠 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 㘠 向下  ，   轴 ⥐ 时， 随 的增大而减小； 㘠 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ． 【答案】B 【详解】 A、a=2，则抛物线 y=2x2-3 的开口向上，所以 A 选项错误； B、当 y=0 时，2x2-3=0，此方程有两个不相等的实数解，即抛物线与 x 轴有两个交点，所以 B 选项正确； C、抛物线的对称轴为直线 x=0，所以 C 选项错误； D、当 x=2 时，y=2×4-3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以 D 选项错误， 故选 B． 3．（2019·山东中考真题）已知抛物线 y=-x2+1，下列结论： ①抛物线开口向上； ②抛物线与 x 轴交于点（-1，0）和点（1，0）； ③抛物线的对称轴是 y 轴； ④抛物线的顶点坐标是（0，1）； ⑤抛物线 y=-x2+1 是由抛物线 y=-x2 向上平移 1 个单位得到的． 其中正确的个数有（ ） A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 【答案】B 【详解】 ①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误； ②令 y=0，则-x2+1=0，解得 x1=1，x2=-1，所以，抛物线与 x 轴交于点（-1，0）和点（1，0），故本小题正 确； ③抛物线的对称轴 ⸲ ܾ =0，是 y 轴，故本小题正确； ④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确； ⑤抛物线 y=-x2+1 是由抛物线 y=-x2 向上平移 1 个单位得到，故本小题正确； 综上所述，正确的有②③④⑤共 4 个． 故选 B． 4．（2018·河北中考模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝﹣x2+2x．点 D（n，y1），E（3，y2）在抛 物线上，若 y1＜y2，则 n 的取值范围是（ ） A．n＞3 或 n＜﹣1 B．n＞3 C．n＜1 D．n＞3 或 n＜1 【答案】A 【详解】 解：∵抛物线 y＝﹣x2+2x 的对称轴为 x＝1， E（3，y2）关于对称轴对称的点（﹣1，y2）， ∵抛物线开口向下， ∴y1＜y2 时，n＞3 或 n＜﹣1， 故选：A． 第三种：二次函数 u − 的性质 1（2019·四川中考模拟）对于函数 y=-2（x-3）2，下列说法不正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴是 C．最大值为 0 D．与 y 轴不相交 【答案】D 【详解】 对于函数 y=-2(x-3)2 的图象， ∵a=-2＜0， ∴开口向下，对称轴 x=3，顶点坐标为(3，0)，函数有最大值 0， 故选项 A、B、C 正确， 选项 D 错误， 故选 D． 2（2019·湖北中考模拟）关于二次函数 y＝ 㘵 (x+1)2 的图象，下列说法正确的是( ) A．开口向下 B．经过原点 C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是(﹣1，0) 【答案】D 【详解】 的符号 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 ⥐ 向上 h ，   X=h ⥐ h 时， 随 的增大而增大； 㘠 㐲 时， 随 的增大而减小； 㐲 时， 有最小值 ． 㘠 向下 h ，   X=h ⥐ h 时， 随 的增大而减小； 㘠 㐲 时， 随 的增大而增大； 㐲 时， 有最大值 ． 二次函数 y＝ 㘵 (x+1)2 中 a= 㘵 >0，所以抛物线开口向上， 当 x=0 时，y= 㘵 ，所以图象不经过原点， 因为抛物线开口向上，所以在对称轴右侧的部分是上升的， 由解析式可知顶点坐标为(-1，0)， 所以选项 A、B、C 是错误的，D 是正确的， 故选 D. 3（2019·山东中考模拟）在平面直角坐标系中，二次函数 ꀀ ⸲ h （ ）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 二次函数 2( )y a x h  （ ）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在 x 轴上， 故选 D． 第四种：二次函数 u − 的性质 二次函数 ܾ 用配方法可化成： ⸲ 㐲 的形式，其中 h − ܾ ， − ܾ . 1.2019·广东中考模拟）关于抛物线 ꀀ ⸲ 㘵 㘵 ，下列说法错误．．的是（ ）． A．开口向上 B．与 轴只有一个交点 C．对称轴是直线 㘵 D．当 ⥐ 㘵 时， 随 的增大而增大 【答案】B 【详解】 的符号 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 ⥐ 向上 h ，   X=h ⥐ h 时， 随 的增大而增大； 㘠 㐲 时， 随 的 增大而减小； 㐲 时， 有最小值 ． 㘠 向下 h ，   X=h ⥐ h 时， 随 的增大而减小； 㘠 㐲 时， 随 的 增大而增大； 㐲 时， 有最大值 ． 解：A、 ＝ ＞ ，抛物线开口向上，所以 A 选项的说法正确； B、当 ＝ 时，即 （ ﹣ 㘵 ） 㘵 ＝ ，此方程没有实数解，所以抛物线与 x 轴没有交点，所以 B 选项的 说法错误； C、抛物线的对称轴为直线 ＝ 㘵 ，所以 C 选项的说法正确； D、抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线 ＝ 㘵 ，则当 ＞ 㘵 时，y 随 x 的增大而增大，所以 D 选项的说 法正确． 故选：B． 2.2019·广西中考模拟）将 ⸲ ͳ 㘵 化成 （ ⸲ 㐲 ） 的形式，则 㐲 的值是( ) A．-5 B．-8 C．-11 D．5 【答案】A 【详解】 解：∵y=x2-6x+1=（x-3）2-8， ∴（x-3）2-8=a（x-h）2+k， ∴a=1，h=3，k=-8， ∴h+k=3+（-8）=-5． 故选：A． 3（2019·江苏中考模拟）已知二次函数 y=（x﹣h）2+1（h 为常数），在自变量 x 的值满足 1≤x≤3 的情况下， 与其对应的函数值 y 的最小值为 5，则 h 的值为（ ） A．1 或﹣5 B．﹣1 或 5 C．1 或﹣3 D．1 或 3 【答案】B 【详解】 ∴①若 h＜1≤x≤3，x=1 时，y 取得最小值 5， 可得：（1﹣h）2+1=5， 解得：h=﹣1 或 h=3（舍）； ②若 1≤x≤3＜h，当 x=3 时，y 取得最小值 5， 可得：（3﹣h）2+1=5， 解得：h=5 或 h=1（舍）． 综上，h 的值为﹣1 或 5， 故选：B． 二次函数图象的平移 平移步骤：  将抛物线解析式转化成顶点式 ⸲ 㐲 ，确定其顶点坐标 㐲 ， ；  保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 㐲 ， 处，具体平移方法如下： 平移规律 在原有函数的基础上“ 㐲 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”． 【概括】左加右减，上加下减 1．（2019·辽宁中考模拟）将抛物线 向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，那么得到的抛物线 的解析式为（ ） A． V- 㘵 B． ⸲ 㘵 ⸲ 㘵 C． ⸲ 㘵 ⸲ 㘵 D． 23( 2) 3y x   【答案】A 【详解】 将抛物线 向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式 为 V- 㘵 ，故答案选 A． 2．（2017·邹平镇第三中学中考模拟）把抛物线 y＝－ 㘵 x2 向下平移 1 个单位长度，再向左平移 1 个单位长度， 得到的抛物线解析式为( ) A．y＝－ 㘵 (x＋1)2＋1 B．y＝－ 㘵 (x＋1)2－1 C．y＝－ 㘵 (x－1)2＋1 D．y＝－ 㘵 (x－1)2－1 【答案】B 【详解】 根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”，可直接求得平移后的抛物线的解析式为： － 㘵 （ x㘵 ） ⸲ 㘵 . 3．（2017·广东中考模拟）把抛物线 y＝x2＋4 先向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位，所得抛物线的表 达式为( ) A．y＝(x＋1)2＋7 B．y＝(x－1)2＋7 C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x＋1)2＋1 【答案】D 【详解】 把抛物线 先向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位所得新抛物线的解析式为： ꀀ 㘵 㘵 . 故选 D. 4．（2018·山东中考模拟）将二次函数 y=x2+2x﹣1 的图象沿 x 轴向右平移 2 个单位长度，得到的函数表达式 是（ ） A．y=（x+3）2﹣2 B．y=（x+3）2+2 C．y=（x﹣1）2+2 D．y=（x﹣1）2﹣2 【答案】D 【详解】 ∵y=x2+2x-1=（x+1）2-2， ∴二次函数 y=x2+2x-1 的图象沿 x 轴向右平移 2 个单位长度，得到的函数表达式是：y=（x+1-2）2-2=（x-1） 2-2， 故选 D． 5．（2019·浙江中考模拟）将抛物线 y＝2（x﹣4）2﹣1 先向左平移 4 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度， 平移后所得抛物线的解析式为（ ） A．y＝2x2+1 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x﹣8）2+1 D．y＝2（x﹣8）2﹣3 【答案】A 【详解】抛物线 y=2（x-4）2-1 先向左平移 4 个单位长度，得到的抛物线解析式为 y=2（x-4+4）2-1，即 y=2x2-1， 再向上平移 2 个单位长度得到的抛物线解析式为 y=2x2-1+2，即 y=2x2+1； 故选：A 抛物线 u ࢈ 的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（难点）  公式法： ܾ ܾ ⸲ܾ ， ∴顶点是（ ⸲ ܾ ， ⸲ܾ ），对称轴是直线 − ܾ .  配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 ⸲ 㐲 的形式，得到顶点为( 㐲 , )，对称 轴是直线 㐲 . 【抛物线的性质】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的 对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 抛物线 u ࢈ 中， uͳ࢈ͳ 与函数图像的关系（灵活掌握）  二次项系数 二次函数 ܾ 中， 作为二次项系数，显然 ． ⑴ 当 ⥐ 时，抛物线开口向上， 越大，开口越小，反之 的值越小，开口越大； ⑶ 当 㘠 时，抛物线开口向下， 越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大． 【总结起来】 u 决定了抛物线开口的大小和方向， u 的正负决定开口方向， u 的大小决定开口的大小．  一次项系数 ܾ在二次项系数 确定的前提下， ܾ 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在 ⥐ 的前提下， 当 ܾ ⥐ 时， ⸲ ܾ 㘠 ，即抛物线的对称轴在 轴左侧（a、b 同号）； 当 ܾ 时， ⸲ ܾ ，即抛物线的对称轴就是 轴； 当 ܾ 㘠 时， ⸲ ܾ ⥐ ，即抛物线对称轴在 轴的右侧（a、b 异号）． ⑵ 在 㘠 的前提下，结论刚好与上述相反，即 当 ܾ ⥐ 时， ⸲ ܾ ⥐ ，即抛物线的对称轴在 轴右侧（a、b 异号）； 当 ܾ 时， ⸲ ܾ ，即抛物线的对称轴就是 轴； 当 ܾ 㘠 时， ⸲ ܾ 㘠 ，即抛物线对称轴在 轴的左侧（a、b 同号）． 【总结起来】在 u 确定的前提下， ࢈ 决定了抛物线对称轴的位置．  常数项 ⑴ 当 ⥐ 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ； ⑶ 当 㘠 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负． 【总结起来】 决定了抛物线与 轴交点的位置． 总之，只要 u ， ࢈ ， 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 1（2018·天津中考模拟）如图，抛物线 y=ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线 x=1，如果关于 x 的方程 ax2+bx ﹣8=0（a≠0）的一个根为 4，那么该方程的另一个根为（ ） A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3 【答案】B 【详解】 ∵关于 x 的方程 ܾ ⸲ 有一个根为 4， ∴抛物线 ܾ ⸲ 与 x 轴的一个交点为（4，0）， 抛物线 ܾ 的对称轴为直线 㘵 ， 抛物线 ܾ ⸲ 的对称轴也是 x=1， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为 ⸲ ， ， ∴方程的另一个根为 ⸲ ． 故选 B． 2（2019·许昌实验中学中考模拟）如图是二次函数 2y=ax +bx+c 的部分图象，由图象可知不等式 ax bxc㘠的解集是（ ） A． ⸲ 㘵㘠x㘠 B． x⥐ C． x㘠 − 㘵 且 x⥐ D．x＜－1 或 x＞5 【答案】D 【详解】 利用二次函数的对称性，可得出图象与 x 轴的另一个交点坐标，结合图象可得出 ax bxc㘠 的解集： 由图象得：对称轴是 x=2，其中一个点的坐标为（5，0）， ∴图象与 x 轴的另一个交点坐标为（－1，0）。 由图象可知： ax bxc㘠 的解集即是 y＜0 的解集， ∴x＜－1 或 x＞5。故选 D。 3（2019·广东中考模拟）已知函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，则关于 x 的方程 ax2+bx+c﹣4＝0 的根的情 况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【详解】 ∵函数的顶点的纵坐标为 4， ∴直线 y＝4 与抛物线只有一个交点， ∴方程 ax2+bx+c﹣4＝0 有两个相等的实数根， 故选 A． 考查题型三 二次函数函数值大小的判断方法 1．（2019·湖北中考真题）已知点 ⸲ 㘵ͳm ͳ 㘵ͳm ͳ ͳm ⸲ ⥐ 在同一个函数的图象上，这个函数可 能是（ ） A． ＝ B． ⸲ C． ＝ D． ＝﹣ 【答案】D 【详解】 ⸲ 㘵ͳm ͳ 㘵ͳm 点 与点 关于 轴对称； 由于 ＝ ， ＝ ⸲ 的图象关于原点对称，因此选项 ͳ 错误； ＞ ， m ﹣ ＜ m ； 由 㘵ͳm ͳ ͳm ⸲ 可知，在对称轴的右侧， 随 的增大而减小， 对于二次函数只有 㘠 时，在对称轴的右侧， 随 的增大而减小， 选项正确 故选 ． 2．（2019·江苏中考模拟）已知二次函数 ꀀ ⸲ ，当 㘵 时，函数值为 㘵 ；当 时，函数 值为 ，若 㘵 ⸲ ⥐ ⸲ ，则下列表达式正确的是（ ） A． 㘵 ⥐ B． 㘵 ⸲ ⥐ C． ꀀ㘵 ⸲ ⥐ D． ꀀ㘵 ⥐ 【答案】C 【详解】 解：①a＞0 时，二次函数图象开口向上， ∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|， ∴y1＞y2， a（y1﹣y2）＞0， ②a＜0 时，二次函数图象开口向下， ∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|， ∴y1＜y2， a（y1﹣y2）＞0， 综上所述，表达式正确的是 a（y1﹣y2）＞0． 故选：C． 3．（2019·河南中考模拟）点 㘵 − 㘵ͳ㘵 ， ͳ ， ͳ 均在二次函数 ⸲ 的图象上，则 㘵 ， ， 的大小关系是______． 【答案】 㘵 ⥐ 【详解】 解： − ， 对称轴为 㘵 ， ͳ ， ͳ 在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小， 㘠 ， ⥐ ， 根据二次函数图象的对称性可知， 㘵 − 㘵ͳ㘵 与 ͳ㘵 关于对称轴对称， 故 㘵 ⥐ ， 故答案为： 㘵 ⥐ ． 考查题型四 求抛物线顶点、对称轴的方法 1．（2019·浙江中考模拟）关于抛物线 㘵 ꀀ ，下列说法正确的是（ ） A．对称轴是直线 ， 有最小值是 B．对称轴是直线 ⸲ 㘵 ， 有最大值是 C．对称轴是直线 ， 有最大值是 D．对称轴是直线 ⸲ 㘵 ， 有最小值是 【答案】D 【详解】 解：抛物线 y= 㘵 （x+2）2+3 的图像开口向上 ∵函数图像对称轴为直线 x=-2， ∴x=-2 时有最小值 3， 故选：D． 2．（2016·浙江中考模拟）对于二次函数 y＝（x﹣1）2+2 的图象，下列说法正确的是（ ） A．开口向下 B．顶点坐标是（1，2） C．对称轴是 x＝﹣1 D．与 x 轴有两个交点 【答案】B 【详解】 A、y=（x﹣1）2+2，知 a=1＞0，因此图象的开口向上，此选项错误； B、y=（x﹣1）2+2 顶点坐标是（1，2），此选项正确； C、对称轴是直线 x=1，此选项错误； C、（x﹣1）2+2=0，（x﹣1）2=﹣2，此方程无解，与 x 轴没有交点，故本选项错误． D、由 y=（x﹣1）2+2=x2-2x+3，可得△=b2-4ac=4-12=-8，没有交点，故本选项错误. 故选：B 3．（2019·江苏中考模拟）关于函数 y＝﹣（x+2）2﹣1 的图象叙述正确的是（ ） A．开口向上 B．顶点（2，﹣1） C．与 y 轴交点为（0，﹣1） D．对称轴为直线 x＝﹣2 【答案】D 【详解】 函数 ⸲ ꀀ ⸲ 㘵 ， 该函数图象开口向下，故选项 A 错误， 顶点坐标为 − ͳ − 㘵 ，故选项 B 错误， 当 时， ⸲ ，即该函数与 y 轴的交点坐标为 ͳ ⸲ ，故选项 C 错误， 对称轴是直线 − ，故选项 D 正确， 故选：D 4．（2019·山东中考模拟）抛物线 m m 㘵 （ m 为非零实数）的顶点坐标为_____________. 【答案】 − 㘵ͳ㘵 − m【详解】y=mx2+2mx+1 =m(x2+2x)+1 =m(x2+2x+1-1)+1 =m(x+1)2 +1-m， 所以抛物线的顶点坐标为（-1，1-m）， 故答案为（-1，1-m）. 考查题型五 抛物线对称性的应用 1．（2018·普定县白岩镇白岩中学中考模拟）将抛物线 y=x2﹣1 向下平移 8 个单位长度后与 x 轴的两个交点 之间的距离为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】将抛物线 y=x2-1 向下平移 8 个单位长度， 其解析式变换为：y=x2-9 而抛物线 y=x2-9 与 x 轴的交点的纵坐标为 0， 所以有：x2-9=0 解得：x1=-3，x2=3， 则抛物线 y=x2-9 与 x 轴的交点为（-3，0）、（3，0）， 所以，抛物线 y=x2-1 向下平移 8 个单位长度后与 x 轴的两个交点之间的距离为 6 故选 B 2（2018·山东中考模拟）若二次函数 ͳ 的图象与 轴只有一个交点，那么 m 的值为（ ） A．0 B．0 或 2 C．2 或﹣2 D．0，2 或﹣2 【答案】D 【详解】 当函数为一次函数时，则 m=0；当函数为二次函数时，则 ꀀm − mꀀ 㘵 m 㘵 ，解得：m=±2．综上 所述，m=0 或 2 或－2． 3．（2014·黑龙江中考真题）如图，抛物线 y=ax2+2x+c 经过点 A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的顶点为点 D，对称轴与 x 轴交于点 E，连接 BD，求 BD 的长． 注：抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ）． 【答案】（1）抛物线解析式为 y=﹣x2+2x+3； （2）BD= ． 【详解】 （1）∵抛物线 y=ax2+2x+c 经过点 A（0，3），B（﹣1，0）， ∴将 A 与 B 坐标代入得： ， 解得： ， 则抛物线解析式为 y=﹣x2+2x+3； （2）由 D 为抛物线顶点，得到 D（1，4）， ∵抛物线与 x 轴交于点 E， ∴DE=4，OE=1， ∵B（﹣1，0）， ∴BO=1， ∴BE=2， 在 Rt△BED 中，根据勾股定理得：BD= ． 考查题型六 二次函数图象特征与系数关系的应用方法 1．（2019·陕西中考模拟）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像经过点（0,m）、（4、m）、（1，n），若 n＜m，则 （ ） A．a＞0 且 4a+b=0 B．a＜0 且 4a+b=0 C．a＞0 且 2a+b=0 D．a＜0 且 2a+b=0 【答案】A 【详解】 ∵图像经过点（0,m）、（4、m） ∴对称轴为 x=2， 则 ⸲ ܾ , ∴4a+b=0 ∵图像经过点（1，n），且 n＜m ∴抛物线的开口方向向上， ∴a＞0， 故选 A. 2．（2019·广东中考模拟）如图是二次函数 y＝ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A(﹣5，0)，对称轴为直 线 x＝﹣2，给出四个结论：①abc＞0；②4a+b＝0；③若点 B(﹣3，y1)、C(﹣4，y2)为函数图象上的两点， 则 y2＜y1；④a+b+c＝0．其中，正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 由图象可知：开口向下，故 a＜0， 抛物线与 y 轴交点在 x 轴上方，故 c＞0， ∵对称轴 x＝﹣ ܾ ＜0， ∴b＜0， ∴abc＞0，故①正确； ∵对称轴为 x＝﹣2， ∴﹣ ܾ ＝﹣2， ∴b＝4a， ∴4a﹣b＝0，故②不正确； 当 x＜﹣2 时， 此时 y 随 x 的增大而增大， ∵﹣3＞﹣4， ∴y1＞y2，故③正确； ∵图象过点 A(﹣5，0)，对称轴为直线 x＝﹣2， ∴点 A 关于 x＝﹣2 对称点的坐标为：(1，0) 令 x＝1 代入 y＝ax2+bx+c， ∴y＝a+b+c＝0，故④正确 故选：C． 4．（2013·广西中考真题）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac； ②abc＞0；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0，其中结论正确的是 ．（填正确结论的序号） 【答案】①②⑤ 【详解】 ①由图知：抛物线与 x 轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac。故①正确。 ②抛物线开口向上，得：a＞0； 抛物线的对称轴为 − ܾ 㘵 ，b=﹣2a，故 b＜0； 抛物线交 y 轴于负半轴，得：c＜0； 所以 abc＞0。故②正确。 ③∵抛物线的对称轴为 − ܾ 㘵 ，b=﹣2a，∴2a+b=0，故 2a﹣b=0。故③错误。 ④根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax2﹣2ax+c（a≠0）； 由函数的图象知：当 x=﹣2 时，y＞0；即 4a﹣（﹣4a）+c=8a+c＞0，故④错误。 ⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）； 当 x=﹣1 时，y＜0，所以当 x=3 时，也有 y＜0，即 9a+3b+c＜0。故⑤正确。 综上所述，结论正确的有①②⑤。 知识点三 抛物线与 轴的交点 二次函数 ܾ 的图像与 轴的两个交点的横坐标 㘵 、 ，是对应一元二次方程 ܾ 的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点 ⥐ 抛物线与 轴相交； ②有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切； ③没有交点 㘠 抛物线与 轴相离. 考查题型七 利用二次函数与 x 轴的交点判断字母的值范围的方法 1．（2018·湖北中考真题）已知二次函数 y=x2﹣x+ 㘵 m﹣1 的图象与 x 轴有交点，则 m 的取值范围是（ ） A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2 【答案】A 【详解】∵二次函数 y=x2﹣x+ 㘵 m﹣1 的图象与 x 轴有交点， ∴△=(-1) 2-4×1×( 㘵 m-1)≥0， 解得：m≤5， 故选 A． 考查题型八 二次函数与一元二次方程、不等式综合应用的方法 1．（2012·江苏中考模拟）若二次函数 ꀀ − m − 㘵 ，当 㘵 时，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值 范围是（ ） A． m 㘵 B． m ⥐ 㘵 C． m 㘵 D． m 㘵【答案】C 【详解】 ∵二次函数的解析式 y=（x-m）2-1 的二次项系数是 1， ∴该二次函数的开口方向是向上； 又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，-1）， ∴该二次函数图象在 x＜m 上是减函数，即 y 随 x 的增大而减小，且对称轴为直线 x=m， 而已知中当 x≤1 时，y 随 x 的增大而减小， ∴x≤1， ∴m≥1． 故选 C． 2．（2017·江苏中考模拟）若二次函数 y=（x﹣m）2﹣1，当 x≤3 时，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范 围是（ ） A．m=3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3 【答案】C 【详解】 ∵a=1>0， ∴在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小， ∵y=（x﹣m）2﹣1 的对称轴是 x=m， ∴m≥3. 故选 C. 3．（2019·四川中考真题）如图，抛物线 ܾ ꀀ 过点 ꀀ ⸲ 㘵ͳ ， ꀀͳ ，且顶点在第一象限， 设 ܾ ，则 M 的取值范围是___． 【答案】− ͳ 㘠 㘠 ͳ . 【详解】 将 ꀀ − 㘵ͳ 与 (0,2) 代入 ܾ ， ∴ − ܾ ， ， ∴ ܾ ， ∵− ܾ ⥐ ， 㘠 ， ∴ ܾ ⥐ ， ∴ ⥐ − ， ∴− 㘠 㘠 ， ∴ ꀀ ͳ ͳ ͳꀀ 㘵∴− ͳ 㘠 㘠 ͳ ， 故答案为：− ͳ 㘠 㘠 ͳ . 考查题型九 二次函数与其他函数结合的应用方法 1．（2019·内蒙古中考模拟）在同一直角坐标系中，一次函数 y=ax+c 和二次函数 y=ax2+c 的图象大致为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：∵一次函数和二次函数都经过 y 轴上的（0，c）， ∴两个函数图象交于 y 轴上的同一点，故 B 选项错误； 当 a＞0 时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故 C 选项错误； 当 a＜0 时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故 A 错误，D 选项正确； 故选：D． 2．（2018·安徽中考模拟）二次函数 ꀀ m 的图象如图，则一次函数 m 的图象经过 （ ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】C 【详解】 ∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣ m ＞0， ＜0。∴ m ＜0， ∴一次函数 m 的图象经过二、三、四象限。故选 C。 3.（2018·山东中考模拟）已知二次函数 y＝(x+m)2﹣n 的图象如图所示，则一次函数 y＝mx+n 与反比例函 数 y＝ m 的图象可能是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由二次函数的图象，得﹣m＞0，﹣n＜0， 化简，得 m＜0，n＞0， y＝mx+n 图象经过一二四象限，y＝ m 图象位于二四象限， 故选：D． 4．（2019·安徽中考模拟）二次函数 y＝a(x﹣m)2﹣n 的图象如图，则一次函数 y＝mx+n 的图象经过( ) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】A 【详解】 解：观察函数图象，可知：m＞0，n＞0， ∴一次函数 y＝mx+n 的图象经过第一、二、三象限． 故选：A． 知识点四 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路（重点）  三点式（带入） 1，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（ ，0），B（ ，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。 2，已知抛物线 y=a(x-1)２+4 ， 经过点 A（2，3），求抛物线的解析式。  顶点式（顶点坐标（- ܾ ， ⸲ܾ ）） 1，已知抛物线 y=x2-2ax+a2+b 顶点为 A（2，1），求抛物线的解析式。 2，已知抛物线 y=4(x+a)2-2b 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。  交点式（带入） 1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线 y=(x-a)(x-b)的解析式。 2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线 y= 㘵 a(x-2a)(x-b)的解析式。  定点式 1， 在直角坐标系中，不论 a 取何值，抛物线 ⸲ 㘵 ⸲ ⸲ 经过 x 轴上一定点 Q，直线 ꀀ ⸲ 经过点 Q,求抛物线的解析式。 2.抛物线 y= x2 +(2m-2)x-4m 与 x 轴的交点一定经过直线 y=mx+m+4，求抛物线的解析式。 解：抛物线与 X 轴相交，Y=0 x2+(2m-2)X-4m=0 x2-2X+2mx-4m=0 X(X-2)+2m(X-2)=0 (X-2)(X+2m)=0 所以 x=2 必过（2,0） 代入直线 得 m=- Y= x2- 㘵㘵 x+ 3，抛物线 y=ax2+ax-2 过直线 y=mx-2m+2 上的定点 A，求抛物线的解析式。 直线 y=mx-2m+2 y=m(x-2)+2 直线经过定点，则与 m 的取值无关，所以 x-2=0 y=2 即定点坐标为 A（2,2） 所抛物线 y=ax2+ax-2 过(2,2) 2=6a-2 6a=4 a= 知识点五 通过二次函数解决实际问题 考查题型十 借助抛物线图像解决实际问题 1．（2019·山东中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h (单位： m )与小球运动时间 (单位： s )之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是 40m ；②小球抛出 3 秒后，速度越来 越快；③小球抛出 3 秒时速度为 0；④小球的高度 㐲 m 时， 㘵 ．其中正确的是( ) A．①④ B．①② C．②③④ D．②③ 【答案】D 【详解】 ①由图象知小球在空中达到的最大高度是 40m ；故①错误； ②小球抛出 3 秒后，速度越来越快；故②正确； ③小球抛出 3 秒时达到最高点即速度为 0；故③正确； ④设函数解析式为：h − ， 把 ͳ 代入得 ⸲ ，解得 ⸲ ， ∴函数解析式为 h − − ， 把 h 代入解析式得， ⸲ ⸲ ， 解得： 或 㘵 ， ∴小球的高度 h m 时， 㘵 或 ，故④错误； 故选：D． 2．（2018·重庆中考模拟）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动， 当球运动的水平距离为 2.5m 时，达到最大高度 3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为 3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A．此抛物线的解析式是 y=﹣ 㘵 x2+3.5 B．篮圈中心的坐标是（4，3.05） C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0） D．篮球出手时离地面的高度是 2m 【答案】A 【详解】 解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴可设抛物线的函数关系式为 y=ax2+3.5． ∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5， ∴a=﹣ 㘵 ， ∴y=﹣ 㘵 x2+3.5． 故本选项正确； B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05）， 故本选项错误； C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5）， 故本选项错误； D、设这次跳投时，球出手处离地面 hm， 因为（1）中求得 y=﹣0.2x2+3.5， ∴当 x=﹣2.5 时， h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m． ∴这次跳投时，球出手处离地面 2.25m． 故本选项错误． 故选：A． 考查题型十一 利用直角坐标系解决实际问题 1．（2017·甘肃中考模拟）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在图（1）位置时，拱顶（拱 桥洞的最高点）离水面 2 m，水面宽 4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣0.5x2 D．y=0.5x2 【答案】C 【详解】 由题意可得，设抛物线解析式为：y=ax2，由图意知抛物线过（2，–2），故–2=a×22，解得：a=–0.5，故 解析式为 y=﹣0.5x2 ，选 C． 2．（2019·山西中考模拟）如图所示的是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，若水面下降 2m， 则水面宽度增加（ ） A． m B． m C． ⸲ m D． m【答案】C 【详解】 解：以 AB 所在的直线为 x 轴，向右为正方向，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，向上为正方向，建立如图所 示的平面直角坐标系， 抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为（0，2）， 设顶点式 y=ax2+2，代入 A 点坐标（-2，0）， 得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为 y=-0.5x2+2， 把 y=-2 代入抛物线解析式得出：-2=-0.5x2+2， 解得：x=±2 ， 所以水面宽度增加到 4 米，比原先的宽度当然是增加了（4 -4）米， 故选：C． 考查题型十二 利用二次函数求最大面积 1．（2017·江西南昌二中中考模拟）中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另 外三边用长为 30 米的篱笆围成，已知墙长为 18 米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米. (1)若苗圃园的面积为 72 平方米，求 x； (2)若平行于墙的一边长不小于 8 米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有，求出最大值和最小 值；如果没有，请说明理由； (3)当这个苗圃园的面积不小于 100 平方米时，直接写出 x 的取值范围. 【答案】(1) x=12；(2)苗圃园的面积最大为 112.5 平方米，最小为 88 平方米；(3) 6≤x≤10. 【详解】 解：(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x)米．依题意可列方程 x(30－2x)＝72，即 x2－15x＋36＝0． 解得 x1＝3，x2＝12． 又∵30－2x≤18，即 x≥6， ∴x=12 (2)依题意，得 8≤30－2x≤18．解得 6≤x≤11． 面积 S＝x(30－2x)＝－2(x－ 㘵 )2＋ (6≤x≤11)． ①当 x＝ 㘵 时，S 有最大值，S 最大＝ ； ②当 x＝11 时，S 有最小值，S 最小＝11×(30－22)＝88． (3)令 x(30－2x)＝100，得 x2－15x＋50＝0 ． 解得 x1＝5，x2＝1 ∴x 的取值范围是 5≤x≤10． 考查题型十三 利用二次函数求最大利润 1．（2013·辽宁中考真题）某商场购进一批单价为 4 元的日用品．若按每件 5 元的价格销售，每月能卖出 3 万件；若按每件 6 元的价格销售，每月能卖出 2 万件，假定每月销售件数 y（件）与价格 x（元/件）之间 满足一次函数关系． （1）试求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？ 【答案】（1） − 㘵 （2）当销售价格定为 6 元时，每月的利润最大，每月的最大利润为 40000 元 【详解】解：（1）由题意，可设 y=kx+b， 把（5，30000），（6，20000）代入得： k ܾ ͳk ܾ ，解得： − 㘵 ܾ 。 ∴y 与 x 之间的关系式为： − 㘵 。 （2）设利润为 W，则 − − 㘵 − 㘵 − 㘵x − 㘵 − ͳ ， ∴当 x=6 时，W 取得最大值，最大值为 40000 元。 答：当销售价格定为 6 元时，每月的利润最大，每月的最大利润为 40000 元。 考查题型十四 利用二次函数解决运动中的几何问题 1．（2019·云南中考模拟）如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝6cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 向 点 B 以 1cm/s 的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动，若 P，Q 两点分别从 A，B 两点同时出发，P 点到达 B 点运动停止，则△PBQ 的面积 S 随出发时间 t 的函数关系图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由题意可得：PB＝3﹣t，BQ＝2t， 则△PBQ 的面积 S＝ 㘵 PB•BQ＝ 㘵 （3﹣t）×2t＝﹣t2+3t， 故△PBQ 的面积 S 随出发时间 t 的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下． 故选：C． 2．（2019·河南中考模拟）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P、Q 分别是 CD、AD 的中点，动点 E 从点 A 向点 B 运动，到点 B 时停止运动；同时，动点 F 从点 P 出发，沿 P→D→Q 运动，点 E、F 的运动速度相同．设 点 E 的运动路程为 x，△AEF 的面积为 y，能大致刻画 y 与 x 的函数关系的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 当 F 在 PD 上运动时，△AEF 的面积为 y= 㘵 AE•AD=2x（0≤x≤2）， 当 F 在 DQ 上运动时，△AEF 的面积为 y= 㘵 AE•AF= 1 ( 2)2 x x  = 21 2 x x （2＜x≤4）， 图象为： 故选 A． 3．（2019·河南中考模拟）如图，在 中， ，AB=10cm,BC=8cm，点 P 从点 A 沿 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度运动，同时点 Q 从点 C 沿 CB 向点 B 以 2cm/s 的速度运动（点 Q 运动到点 B 停止）。则四边形 PABQ 的面积 y( m )与运动时间 x(s)之间的函数图象为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm， ∴AC= − =6cm, 设运动时间为 x（0≤x≤4），则 PC=（6-x）cm，CQ=2xcm， ∴S 四边形 PABQ=S△ABC-S△CPQ = 㘵 AC∙BC- 㘵 PC∙CQ = 㘵 ×6×8- 㘵 ×（6-x）×2x =x2-6x+24 =（x-3）2+15. 根据函数解析式可得函数图象应为：C.