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  • 2021-11-10 发布

一元二次方程的知识点总结

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一元二次方程知识点的总结 知识结构梳理 ‎ ‎ ‎(1)含有 个未知数。‎ ‎ (2)未知数的最高次数是 ‎ ‎ 1、概念 (3)是 方程。‎ ‎ (4)一元二次方程的一般形式是 。‎ ‎ (1) 法,适用于能化为 的一元。‎ ‎ 二次方程 一元二次方程 ‎ (2) 法,即把方程变形为ab=0的形式,‎ ‎ 2、解法 (a,b 为两个因式), 则a=0或 ‎ ‎ (3) 法 ‎ (4) 法,其中求根公式是 ‎ ‎ ‎ ‎ 当 时,方程有两个不相等的实数根。‎ ‎ (5) 当 时,方程有两个相等的实数根。‎ ‎ 当 时,方程有没有的实数根。‎ ‎ 可用于解某些求值题 ‎ ‎ (1) ‎ ‎ 一元二次方程的应用 (2) ‎ ‎ (3) ‎ ‎ 可用于解决实际问题的步骤 (4) ‎ ‎ (5) ‎ ‎ (6) ‎ 知识点归类 建立一元二次方程模型 知识点一 一元二次方程的定义 如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边只含有一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫做一元二次方程。‎ 注意:一元二次方程必须同时满足以下三点:①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。‎ ‎③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时,需将方程化成一般形式。‎ 例 下列关于的方程,哪些是一元二次方程?‎ ‎⑴;⑵;(3);(4);(5)‎ 知识点二 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为(a,b,c是已知数,)。其中a,b,c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。‎ 注意:(1)二次项、二次项系数、一次项、一次项系数,常数项都包括它前面的符号。‎ ‎(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式。‎ ‎ (3)形如不一定是一元二次方程,当且仅当时是一元二次方程。‎ 例1 将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。‎ ‎(1); (2); (3)‎ 例2 已知关于的方程是一元二次方程时,则 ‎ 知识点三 一元二次方程的解 ‎ 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解,如:当时,所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。‎ 知识点四 建立一元二次方程模型 建立一元二次方程模型的步骤是:审题、设未知数、列方程。‎ 注意:(1)审题过程是找出已知量、未知量及等量关系;(2)设未知数要带单位;(3)建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。‎ 例 如图(1),有一个面积为150㎡的长方形鸡场,‎ 鸡场一边靠墙(墙长18m),另三边用竹篱笆围成,‎ 若竹篱笆的长为35m,求鸡场的长和宽各为多少? 鸡场 ‎(只设未知数,列出方程,并将它化成一般形式。) ‎ 因式分解法、直接开平方法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 如果两个因式的积等于0,那么这两个方程中至少有一个等于0,即若pq=0时,则p=0或q=0。‎ 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程的右边化为0;(2)将方程左边分解成两个一次因式的乘积。(3)令每个因式分别为0,得两个一元一次方程。(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。‎ 关键点:(1)要将方程右边化为0;(2)熟练掌握多项式因式分解的方法,常用方法有:提公式法,公式法(平方差公式,完全平方公式)等。‎ ‎ 例 用因式分解法解下列方程:‎ ‎(1); (2); (3)。‎ 知识点二 直接开平方法解一元二次方程 若,则叫做a的平方根,表示为,这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。‎ ‎(1)的解是;(2)的解是;(3)的解是。‎ 例 用直接开平方法解下列一元二次方程 ‎(1); (2); (3)‎ 知识点三 灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程 形如的方程,既可用因式分解法分解,也可用直接开平方法解。‎ 例 运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。‎ ‎(1); (2)‎ 知识点四 用提公因式法解一元二次方程 把方程左边的多项式(方程右边为0 时)的公因式提出,将多项式写出因式的乘积形式,然后利用“若pq=0时,则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法,称为提公因式法。‎ 如:,将原方程变形为,由此可得出 注意:在解方程时,千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子,否则可能丢失原方程的根。‎ 知识点五 形如“”的方程的解法。‎ 对于形如“”‎ 的方程(或通过整理符合其形式的),可将左边分解因式,方程变形为,则,即。‎ 注意:应用这种方法解一元二次方程时,要熟悉“”型方程的特征。‎ 例 解下列方程:(1); (2)‎ 配方法 知识点一 配方法 解一元二次方程时,在方程的左边加上一次项系数一半的平方,再减去这个数,使得含未知数的项在一个完全平方式里,这种方法叫做配方,配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了,这样解一元二次方程的方法叫做配方法。‎ 注意:用配方法解一元二次方程,当对方程的左边配方时,一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后,还要再减去这个数。‎ 例 用配方法解下列方程:‎ ‎(1); (2)‎ 知识点二 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤:‎ (1) 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方,再减去这个数;‎ (2) 把原方程变为的形式。‎ (3) 若,用直接开平方法求出的值,若n﹤0,原方程无解。‎ 例 解下列方程:‎ 知识点三 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 当一元二次方程的形式为时,用配方法解一元二次方程的步骤:(1)先把二次项的系数化为1:方程的左、右两边同时除以二项的系数;‎ ‎ (2) 移项:在方程的左边加上一次项系数的一半的平方,再减去这个数,把原方程化为的形式;‎ ‎(3)若,用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。‎ 例 用配方法解下列方程:‎ ‎(1); (2)‎ 公式法 知识点一 一元二次方程的求根公式 一元二次方程的求根公式是:‎ 用求根公式法解一元二次方程的步骤是:(1)把方程化为的形式,确定的值(注意符号);(2)求出的值;(3)若,则把及的值代人求根公式,求出。‎ 例 用公式法解下列方程 ‎(1); (2); (3)‎ 知识点二 选择适合的方法解一元二次方程 ‎ 直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式,右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程 因式分解要求方程右边必须是0,左边能分解因式;‎ 公式法是由配方法推导而来的,要比配方法简单。‎ 注意:一元二次方程解法的选择,应遵循先特殊,再一般,即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法,不能用这两种特殊方法时,再选用公式法,没有特殊要求,一般不采用配方法,因为配方法解题比较麻烦。‎ 例 用适当的方法解下列一元二次方程:‎ ‎(1);(2);(3)‎ 知识点三 一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式 △=‎ 运用根的判别式,不解方程,就可以判定一元二次方程的根的情况:‎ (1) ‎△=﹥0方程有两个不相等的实数根;‎ (2) ‎△==0方程有两个相等的实数根;‎ (3) ‎△=﹤0方程没有实数根;‎ 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤:①把所有一元二次方程化为一般形式;②确定的值;③计算的值;④根据的符号判定方程根的情况。‎ 例 不解方程,判断下列一元二次方程根的情况:‎ ‎(1);(2);(3)‎ 知识点四 根的判别式的逆用 在方程中,‎ ‎(1)方程有两个不相等的实数根﹥0‎ ‎(2)方程有两个相等的实数根=0‎ ‎ (3)方程没有实数根﹤0‎ 注意:逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围,但不能忽略二次项系数不为0这一条件。‎ 例 为何值时,方程的根满足下列情况:‎ ‎(1)有两个不相等的实数; (2)有两个相等的实数根; (3)没有实数根;‎ 知识点五 一元二次方程的根与系数的关系 若是一元二次方程的两个根,则有, ‎ 根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系:‎ ‎(1) (2)‎ ‎(3);‎ ‎(4)││==‎ 例 已知方程的两根为,不解方程,求下列各式的值。‎ ‎(1); (2)。‎ 知识点六 根据代数式的关系列一元二次方程 ‎ 利用一元二次方程解决有关代数式的问题时,要善于用一元二次方程表示题中的数量关系(即列出方程),然后将方程整理成一般形式求解,最后作答。‎ 例 当取什么值时,代数式与代数式的值相等?‎ 一元二次方程的应用 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤 (1) 审题,(2)设未知数,(3)列方程,(4)解方程,(5)检验,(6)作答。‎ 关键点:找出题中的等量关系。‎ 知识点二 用一元二次方程解与增长率(或降低率)有关得到问题 增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法:(1)若基数为a,增长率为,则一次增长后的值为,两次增长后的值为;(2)若基数为a,降低率为,则一次降低后的值为,两次降低后的值为。‎ 例 某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨,设这两年的年平均增长率为,列出关于的方程为 ‎ 知识点三 用一元二次方程解与市场经济有关的问题 与市场经济有关的问题:如:营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有:(1)每件利润=销售价-成本价;(2)利润率=(销售价—进货价)÷进货价×100%;(3)销售额=售价×销售量 例 某商店如果将进货价为8 元的商品每件10元售出,每天可售200件,现在采取提高售价,减少进货价的方法增加利润,已知这种商品每涨价0.5元,其销量减少10件。‎ ‎(1)要使每天获得700 元,请你帮忙确定售价。‎ ‎(2)当售价定为多少时,能使每天获得的利润最多?并求出最大利润。‎ 第二章 一元二次方程(补充)‎ ‎※只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为(a、b、c为 常数,a≠0)的形式,这样的方程叫一元二次方程。‎ ‎※把(a、b、c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,a为二次项系数;b为一次项系数;c为常数项。‎ ‎※解一元二次方程的方法:①配方法 <即将其变为的形式>‎ ‎②公式法 (注意在找abc时须先把方程化为一般形式)‎ ‎③分解因式法 把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。(主要包括“提公因式”和“十字相乘”)‎ ‎※根与系数的关系:当b2-4ac>0时,方程有两个不等的实数根;‎ 当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;‎ 当b2-4ac<0时,方程无实数根。‎ ‎※如果一元二次方程的两根分别为x1、x2,则有:。‎ ‎※一元二次方程的根与系数的关系的作用:‎ ‎(1)已知方程的一根,求另一根;‎ ‎(2)不解方程,求二次方程的根x1、x2的对称式的值,特别注意以下公式:‎ ‎① ② ③‎ ‎④ ⑤ ‎ ‎⑥ ⑦其他能用或表达的代数式。‎ ‎(3)已知方程的两根x1、x2,可以构造一元二次方程:‎ ‎(4)已知两数x1、x2的和与积,求此两数的问题,可以转化为求一元二次方程 的根 ‎※在利用方程来解应用题时,主要分为两个步骤:①设未知数(在设未知数时,大多数情况只要设问题为x;但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑);②寻找等量关系(一般地,题目中会含有一表述等量关系的句子,只须找到此句话即可根据其列出方程)。‎ ‎※处理问题的过程可以进一步概括为: ‎