人教版九年级数学上册第二十四章圆直线和圆的位置关系切线长定理课件 36页

第二十四章 圆 人教版 九年级数学上册 切线长定理 导入新课 情境引入 同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一 瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？ 讲授新课 切线长定理及应用一 互动探究 问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线 (如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的 切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？ P O B A O. P A B P 1.切线长的定义： 切线上一点到切点 之间的线段的长叫作这 点到圆的切线长． A O ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分 别是圆外一点和切点，可以度量． 2.切线长与切线的区别在哪里？ 知识要点 问题2 PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设 圆上与点A重合的点为B． Ø OB是☉O的一条半径吗？ Ø PB是☉O的切线吗？ （利用图形轴对称性解释） Ø PA、PB有何关系？ Ø ∠APO和∠BPO有何关系？ O. P A B PO 切线长定理: 过圆外一点作圆的两条 切线，两条切线长相等.圆 心与这一点的连线平分两条 切线的夹角. PA、PB分别切☉O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 几何语言: 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.注意 知识要点 O. P 已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点. 求证：PA=PB，∠APO=∠BPO. 证明：∵PA切☉O于点A， ∴ OA⊥PA. 同理可得OB⊥PB. ∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 推理验证 A B 想一想：若连结两切点A、B，AB交 OP于点M.你又能得出什么新的结论? 并给出证明. OP垂直平分AB. 证明：∵PA，PB是⊙ O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB. O. P A B M 想一想：若延长PO交⊙ O于点C， 连结CA、CB，你又能得出什么 新的结论?并给出证明. 证明：∵PA，PB是⊙ O的切线,点A，B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. ∴PC=PC. ∴ △PCA ≌ △PCB， ∴AC=BC. CA=CB O. P A B C 典例精析 例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA与⊙ O分别相切与点E、F、G、H. 求证：AB+CD=AD+BC. · A B C D O证明：∵AB、BC、CD、DA与⊙ O 分别相切与点E、F、G、H， E F G H ∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. ∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH. ∴AB+CD=AD+BC. 例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如 下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到 相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相 切且测得PA=5cm，求铁环的半径． 解析：欲求半径OP，取圆的圆 心为O，连OA，OP，由切线性 质知△OPA为直角三角形，从 而在Rt△OPA中由勾股定理易求 得半径． O 在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°， O Q 解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆 心为O，连接OP、OA. ∵AP、AQ为⊙ O的切线，∴AO为 ∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO. 又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°， ∴∠PAO＝∠QAO＝60°. =5 3cm.OP 即铁环的半径为 5 3cm. P PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= ; （2）若∠BPA=60 °,则OP= . 5 6 练一练 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的 三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才 能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 三角形的内切圆及作法二 互动探究 问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎 样的位置关系？ O O O O 最大的圆与三角 形三边都相切 三角形角平分线的这个 性质，你还记得吗？ 问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？ (1) 如果半径为r的☉I与△ABC的三边都相切，那么圆 心I应满足什么条件？ (2) 在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？ 圆心I到三角形三边的距离相等，都等于r. 三角形三条角平分线交 于一点，这一点与三角 形的三边距离相等. 圆心I应是三角形的三条 角平分线的交 . 为什么呢？ 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆. A B C O MN D 作法： 1.作∠B和∠C的平分线BM和 CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作 圆O. ☉O就是所求的圆. 做一做 1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. B A C I ☉I是△ABC的内切圆，点 I是△ABC的内心，△ABC是 ☉I的外切三角形. 知识要点 三角形的内心的性质三 B A C I 问题1 如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段OA， OB ,OC有什么特点？ 互动探究 线段OA，OB ,OC 分别是∠A，∠B， ∠C的平分线. B A C I 问题2 如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂 足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什 么关系？ E F G IE=IF=IG 知识要点 u三角形内心的性质 三角形的内心在三角形的角平分线上. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. B A C I E F G IA，IB，IC是△ABC的角 平分线，IE=IF=IG. 例3 如图，△ABC中，∠ B=43°，∠C=61 °，点I是 △ABC的内心，求∠ BIC的度数. 解：连接IB，IC. A B C I ∵点I是△ABC的内心， ∴IB，IC分别是∠ B，∠C的平分线， 在△IBC中， 180 ( )BIC IBC ICB      1180 ( ) 2 B C     1180 (43 61 ) 2      128 .  例4 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等 边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上 底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边 三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径. 该木模可以抽象为几何如下几何图形. C A B r O D 解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD. ∵圆O是△ABC的内切圆, ∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线 ∵ △ABC是等边三角形, ∴ ∠OAB=∠OBA=30o ∵OD⊥AB，AB=3cm， ∴AD=BD= AB=1.5(cm)1 2 ∴OD=AD· tan30o= (cm) 3 2 答:圆柱底面圆的半径为 cm.3 2 例5 △ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于 点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求 AF、BD、CE的长. 想一想：图中你能找出哪些相等 的线段？理由是什么？ B A C E D F O 解: 设AF=xcm，则AE=xcm. ∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)， BF=BD=AB-AF=13-x(cm). 由 BD+CD=BC，可得 (13-x)+(9-x)=14， ∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm). 方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转 化集中到某条边上，从而建立方程. 解得 x=4. A C E D F O 比一比 名称 确定方法 图形 性质 外心：三 角形外接 圆的圆心 内心：三 角形内切 圆的圆心 三角形三边 中垂线的交 点 1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三 角形的内部． 三角形三条 角平分线的 交点 1.到三边的距离相 等； 2.OA、OB、OC分 别平分∠BAC、 ∠ABC、∠ACB 3.内心在三角形内 部． A B O A B C O 1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外 接圆半径. 解：如图，由题意可知BC=6cm, ∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC. ∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD为直角三角形. tan30 3cm.OD BD ∴ 2 3cm. cos30 BDBD   内切圆半径 外接圆半径 练一练 变式： 求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R 的比. sin∠OBD  sin30° r R  OD OB  .1 2 A B CO D E F O 2.设△ABC的面积为S，周长为L， △ABC内切圆 的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？ 1 1 1 2 2 2 S AB OF AC OE BC OD  g g g 1 1( ) . 2 2 AB AC BC r Lr    A B C O c D E r 3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边 为c，则其内切圆的半径r为___________（以含a、 b、c的代数式表示r）. 2 a b cr    解析：过点O分别作AC，BC， AB的垂线，垂足分别为D，E，F. F 则AD=AC-DC=b-r, BF=BC-CE=a-r, 因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c, 所以a-r+b-r=c, 所以 . 2 a b cr    2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= . 1.如图，PA、PB是☉O的两条切线，切点分别是A、B， 如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO= ,PB= . P 第1题 第2题 当堂练习 20 ° 4 110 ° （3）若∠BIC=100 °，则∠A = 度. （2）若∠A=80 °，则∠BIC = 度.130 20 3.如图，在△ABC中，点I是内心， （1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，∠BIC=_____. A B C I （4）试探索： ∠A与∠BIC之间存在怎样的数 量关系？ 120° 190 . 2 BIC A    4.如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是 AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于 E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC. 证明：连接OD， ∵AC切⊙ O点D，∴OD⊥AC， ∴∠ODC=∠B=90°. 在Rt△OCD和Rt△OCB中， OD＝OB ，OC＝OC ∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL）， ∴∠DOC=∠BOC. ∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED， ∵∠DOB=∠ODE+∠OED， ∴∠BOC=∠OED， ∴DE∥OC． 方法二： 证明：连接BD， ∵AC切⊙ O于点D，AC切⊙ O于点B， ∴DC=BC，OC平分∠DCB. ∴OC⊥BD. ∵BE为⊙ O的直径，∴DE⊥BD. ∴DE∥OC． 5.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和 △ABC的外接圆相交于点D. 求证：DI＝DB. 证明：连接BI. ∵I是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD， ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴∠BID=∠IBD， ∴BD=ID．