数学冀教版九年级上册教案23-1 平均数与加权平均数（2） 5页

- 1 - 23.1 平均数与加权平均数（2） 教学目标 【知识与能力】 1.理解加权平均数的意义,了解“权”的含义. 2.会计算一组数据的加权平均数. 3.能说出算术平均数和加权平均数的联系和区别,并能利用它们解决一些现实问题. 【过程与方法】 1.在实际问题情境中理解加权平均数的意义,体会数学与生活之间的密切联系. 2.通过利用平均数解决实际问题,发展数学应用能力. 3.通过探索算术平均数和加权平均数的联系和区别,发展求同和求异思维. 【情感态度价值观】 1.通过解决实际问题,体会数学与自然及人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学 的理解和学好数学的信心. 2.通过小组合作活动,培养学生的合作意识,激发学生学习兴趣,体验成功的快乐. 教学重难点 【教学重点】 加权平均数的计算及算术平均数与加权平均数的区别和联系. 【教学难点】 探索算术平均数和加权平均数的联系和区别. 课前准备 多媒体课件. 教学过程 一、新课导入： 导入一: 复习提问: 1.什么叫算术平均数? 2.如何求一组数据的平均数? 3.当一组数据中同一个数据出现多次时常采用什么简便方法计算? 【师生活动】 学生思考回答,教师点评. 导入二: 【课件展示】 在一次数学考试中,八年级(1)班和(2)班的考生人数和平均成绩如下表: 班级 1 班 2 班 人数 46 54 平均成绩/分 86 80 【问题】 1.表格中“86 分”所反映的实际意义是什么? 2.求这两个班的平均成绩. 【师生活动】 学生思考后小组合作交流,小组代表发言,教师展示学生可能出现的两种解法, - 2 - 引导学生对比、思考,得出正确的解法,教师导出新课. [设计意图] 通过复习算术平均数的概念,做好新旧知识的衔接,以贴近学生实际生活的实 例导入新课,渗透“权”的意义,激发学生的学习兴趣,体会数学与生活之间的密切联系,迈上 从“算术平均数”到“加权平均数”的一个台阶,让学生顺利完成新知识的构建,为本节课的 学习做好铺垫. 二、新知构建： [过渡语] 上节课我们学习了算术平均数,这节课我们继续探究一组数据中某些数据重 复出现时,怎样计算这组数据的平均数. 共同探究 加权平均数的概念 【课件展示】 假期里,小红和小惠结伴去买菜,三次购买的西红柿价格和数量如下表: 单价/(元/千克) 4 3 2 合 计 小红购买的数量 /kg 1 2 3 6 小惠购买的数量 /kg 2 2 2 6 从平均价格看,谁买的西红柿要便宜些? 思路一 【师生活动】 学生思考后小组合作交流解题思路,独立完成解答过程,小组代表展示,教师 点评. 【课件展示】 解: x 小红 = 4 × 1+3 × 2+2 × 3 1+2+3 = 16 6 ≈2.67(元/千克), x 小惠 = 4 × 2+3 × 2+2 × 2 2+2+2 = 18 6 =3(元/千克). 从平均价格看,小红买的西红柿要便宜些. 追加提问: 1.有的同学 认为每次购买单价 相同,购买总量 也相同,平均价格 应该也一样 ,都是 (4+3+2)÷3=3(元/千克).这样解答是否正确?为什么? 2.有的学生是这样思考的:购买的总量虽然相同,但小红花了16元,小惠花了18元,所以平均 价格不一样,小红买的西红柿要便宜些.这样的想法正确吗?为什么? 3.如果小红三次购买的数量分别为 2,1,3,小惠三次购买的数量分别为 1,3,2,她们购买的西 红柿的平均价格分别是多少? 4.通过上面的计算,小红和小惠每次购买西红柿的数量不同,所求的平均数是否相同? 【师生活动】 学生思考、计算、回答,教师点评,引导出“权”的概念. 思路二 【课件展示】 思考小亮和小明的下列说法,你认为他们谁说得对?为什么? 小 亮 的 说 法 : 每 次 购 买 单 价 相 同 , 购 买 总 量 也 相 同 , 平 均 价 格 应 该 也 一 样 , 都 是 (4+3+2)÷3=3(元/千克). 小明的说法:购买的总量虽然相同,但小红花了 16 元,小惠花了 18 元,所以平均价格不一样, 小红买的西红柿要便宜些. 【师生活动】 小组内合作交流,判断两个人的说法谁正确,教师对学生的回答进行点评,并 引导学生通过计算平均数比较谁买的西红柿更便宜,学生独立完成计算平均数的过程,教师 - 3 - 点评. 【课件展示】 小红购买不同单价的西红柿的数量不同,所以平均价格不是三个单价的平均 数.实际上,平均价格是总花费金额与购买总量的比,因此, x 小红 = 4 × 1+3 × 2+2 × 3 1+2+3 = 16 6 ≈2.67(元/ 千克), x 小惠 = 4 × 2+3 × 2+2 × 2 2+2+2 = 18 6 =3(元/千克). 从平均价格看,小红买的西红柿要便宜些. 追加思考: 1.如果小红三次购买的数量分别为 2,1,3,小惠三次购买的数量分别为 1,3,2,她们购买的西 红柿的平均价格分别是多少? 2.通过上面的计算,小红和小惠每次购买西红柿的数量不同,所求的平均数是否相同? 【师生活动】 学生思考、计算、回答,教师点评,引导出“权”的概念. [设计意图] 通过解决生活实际问题,引导学生思考重要性的差异对平均数的影响,为加权 平均数概念的形成做好铺垫,在探究过程中,充分发挥学生的主观能动性,让学生积极思考, 合作交流,在数学活动中逐步形成概念. 形成概念 [过渡语] 通过上边计算平均数的方法,我们可以归纳加权平均数的概念. 【课件展示】 已知 n 个数 x1,x2,…,xn,若 w1,w2,…,wn 为一组正数,则把 11+22+ … + 1+2+ … + 叫做 n 个数 x1,x2,…,xn 的加权平均数,w1,w2,…,wn 分别叫做这 n 个数的权重,简称为权. 教师提问: 1.在“共同探究”中,加权平均数是多少?哪些数是权? (小红购买的西红柿平均价格约为 2.67 元/千克,它是数 4,3,2 的加权平均数,三个数的权分 别为 1,2,3) 2.你能举出用加权平均数计算平均数的生活实例吗? 【师生活动】 学生小组合作交流,创设不同的求平均数的生活情境,小组代表展示问题后, 其他学生完成解答,教师进行点评,以鼓励学生的参与为主. [设计意图] 教师设计开放性题目,学生通过合作交流,共同创设问题情境,体会“权”对平 均数的影响,加深学生对加权平均数的理解,提高学生的发散性思维,达到学生数学能力的提 升. 例题讲解 【课件展示】 (教材 7 页例 1)某学校为了鼓励学生积极参加体育锻炼,规定体育科目学期成绩满分 100 分,其中平时表现(早操、课外体育活动)、期中考试和期末考试成绩按比例 3∶2∶5 计 入学期总成绩.甲、乙两名同学的各项成绩如下: 学生 平时表现/ 分 期中考试/ 分 期末考试/ 分 甲 95 90 85 乙 80 95 88 分别计算甲、乙的学期总成绩. 【师生活动】 学生独立完成后,小组内交流答案,小组代表板书解答过程,教师在巡视过程 中帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评. 【课件展示】 解:三项成绩按 3∶2∶5 的比例确定,就是分别用 3,2,5 作为三项成绩的权,用加权平均数作 - 4 - 为学期总成绩. 甲的学期总成绩为 95 × 3+90 × 2+85 × 5 3+2+5 =89(分), 乙的学期总成绩为 80 × 3+95 × 2+88 × 5 3+2+5 =87(分). 【思考】 1.分配的“权”不同,甲、乙二人的总成绩是否发生变化? 2.算术平均数和加权平均数的区别和联系是什么? 【师生活动】 学生小组合作交流,教师对有困难的学生进行引导思考,对学生的回答进行点 评并补充完整. 【课件展示】 算术平均数与加权平均数的区别和联系: 区别:由于权的不同导致结果不同,所以权的差异对结果有影响. 联系:算术平均数是加权平均数各项的权都相等的一种特殊情况. [设计意图] 通过计算加权平均数解决实际问题,让学生再次体会到“权”的重要性,发展数 学应用能力,培养学生归纳总结能力. 做一做 【课件展示】 某电视节目主持人大赛要进行专业素质、综合素质、外语水平和临场应变能 力四项测试,各项测试均采用 10 分制,两名选手的各项测试成绩如下表所示: 测试 项目 专业 素质 综合 素质 外语 水平 临场应 变能力 测试成 绩/分 甲 9.0 8.5 7.5 8.8 乙 8.0 9.2 8.4 9.0 (1)如果按四项测试成绩的算术平均数排名次,名次是怎样的? (2)如果规定按专业素质、综合素质、外语水平和临场应变能力四项测试的成绩各占 60%,20%,10%,10%计算总成绩,名次有什么变化? 【师生活动】 学生独立完成后,小组内交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小 组代表板书解答过程,教师点评. (板书) 解:(1)甲、乙各项成绩的算术平均数分别为: x 甲 = 9 . 0+8 . 5+7 . 5+8 . 8 4 =8.45(分), x 乙 = 8 . 0+9 . 2+8 . 4+9 . 0 4 =8.65(分). 比较算术平均数,乙排名第一,甲排名第二. (2)甲、乙的加权平均成绩分别为: x 甲=9.0×60%+8.5×20%+7.5×10%+8.8×10%=8.73(分), x 乙=8.0×60%+9.2×20%+8.4×10%+9.0×10%=8.38(分). 比较加权平均数,甲排名第一,乙排名第二. 提问: 1.按照算术平均数和加权平均数的计算方法分别求平均数,对排名有影响吗? - 5 - 2.按算术平均数排名和加权平均数排名有什么区别? 【师生活动】 学生思考回答,教师点评并补充,让学生理解权的意义. 归纳: 按测试成绩的算术平均数排名次,实际上是将四项测试成绩同等看待.而按加权平均数排名 次,则是对每项成绩分配不同的权,体现每项成绩的重要程度不同.如专业素质成绩的权重为 60%,说明专业素质对主持人最重要.当各数据的重要程度不同时,一般采用加权平均数作为 一组数据的代表值. [设计意图] 通过做一做,进一步理解加权平均数的意义,体会权的重要性,加深对加权平均 数和算术平均数的区别的理解和掌握,提高学生应用意识. [知识拓展] 1.数据中的“权”反映数据的相对“重要程度”,其表现形式有:数据所占的百分比、各个数 据所占的比值,数据出现的次数.权越大,该数据所占的比重越大,反之则越小. 2.算术平均数是加权平均数的一种特例.加权平均数的实质是考虑不同权重的平均数,当加 权平均数的各项权相同时,就变成了算术平均数. 三、课堂小结 1.加权平均数的概念. 2.权的意义:权代表重要程度. 3.算术平均数与加权平均数的区别和联系. 4.计算加权平均数. 5.加权平均数在实际问题中的应用.