2021年九年级数学中考一轮复习专题突破训练：几何压轴—圆的综合（三） 23页

2021 年九年级数学中考一轮复习专题突破训练： 几何压轴—圆的综合（三） 1．已知：如图，在△ABC 中，∠B＝∠C．以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E． （1）求证：DE 与⊙O 相切； （2）延长 DE 交 BA 的延长线于点 F，若 AB＝8，sinB＝ ，求线段 FA 的长． 2．如图，在⊙O 中，AB 为直径，过点 A 的直线 l 与⊙O 相交于点 C，D 是弦 CA 延长线上一 点，∠BAC、∠BAD 的角平分线与⊙O 分别相交于点 E、F，G 是 的中点，过点 G 作 MN ∥AE，与 AF、EB 的延长线分别交于点 M、N． （1）求证：MN 是⊙O 的切线； （2）若 AE＝24，AM＝18， ①求⊙O 的半径； ②连接 MC，则 tan∠MCD 的值为 ． 3．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝5，cosB＝ ，点 O 是边 BC 上的动点，以 OB 为半径的⊙O 与射线 BA 和边 BC 分别交于点 E 和点 M，联结 AM，作∠CMN＝∠BAM，射 线 MN 与边 AD、射线 CD 分别交于点 F、N． （1）当点 E 为边 AB 的中点时，求 DF 的长； （2）分别联结 AN、MD，当 AN∥MD 时，求 MN 的长； （3）将⊙O 绕着点 M 旋转 180°得到⊙O'，如果以点 N 为圆心的⊙N 与⊙O 和⊙O'都内切， 求⊙O 的半径长． 4．已知 AB 是⊙O 的一条弦，点 C 在⊙O 上，联结 CO 并延长，交弦 AB 于点 D，且 CD＝CB． （1）如图 1，如果 BO 平分∠ABC，求证： ＝ ； （2）如图 2，如果 AO⊥OB，求 AD：DB 的值； （3）延长线段 AO 交弦 BC 于点 E，如果△EOB 是等腰三角形，且⊙O 的半径长等于 2，求 弦 BC 的长． 5．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，点 D 为 BC 边的中点，以 AD 为直径作⊙O，分别与 AB，AC 交于点 E，F，过点 E 作 EG⊥BC 于 G． （1）求证：EG 是⊙O 的切线； （2）若 AF＝6，⊙O 的半径为 5，求 BE 的长． 6．如图，已知 AB 是半圆 O 的直径，AB＝6，点 C 在半圆 O 上．过点 A 作 AD⊥OC，垂足为点 D，AD 的延长线与弦 BC 交于点 E，与半圆 O 交于点 F（点 F 不与点 B 重合）． （1）当点 F 为 的中点时，求弦 BC 的长； （2）设 OD＝x， ＝y，求 y 与 x 的函数关系式； （3）当△AOD 与△CDE 相似时，求线段 OD 的长． 7．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AO 平分∠BAC，交 BC 于点 O．以 O 为圆心，OC 为半径 作⊙O，分别交 AO，BC 于点 E，F． （1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）延长 AO 交⊙O 于点 D，连接 CD，若 AD＝2AC，求 tanD 的值； （3）在（2）的条件下，设⊙O 的半径为 3，求 BC 的长． 8．如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是直径，过点 A 作直线 MN，且∠MAC＝∠ABC． （1）求证：MN 是⊙O 的切线． （2）设 D 是弧 AC 的中点，连结 BD 交 AC 于点 G，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，交 AC 于点 F． ①求证：FD＝FG． ②若 BC＝3，AB＝5，试求 AE 的长． 9．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，正方形 BEFG 中，点 E 在 AB 的延长线上，点 G 在 BC 上，点 O 在线段 AB 上，且 AO≥BO．以 OF 为半径的⊙O 与直线 AB 交于点 M，N． （1）如图 1，若点 O 为 AB 中点，且点 D，点 C 都在⊙O 上，求正方形 BEFG 的边长． （2）如图 2，若点 C 在⊙O 上，求证：以线段 OE 和 EF 为邻边的矩形的面积为定值，并 求出这个定值． （3）如图 3，若点 D 在⊙O 上，求证：DO⊥FO． 10．如图，AB 为⊙O 的直径，CD⊥AB 于点 E，F 是 CD 上一点，且 BF＝DF，延长 FB 至点 P， 连接 CP，使 PC＝PF，延长 BF 与⊙O 交于点 G，连结 BD，GD． （1）连结 BC，求证：CD＝GB； （2）求证：PC 是⊙O 的切线； （3）若 tanG＝ ，且 AE﹣BE＝ ，求 FD 的值． 参考答案 1．解：（1）连接 OD，则 OD＝OB， ∴∠B＝∠ODB， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC． ∴∠ODE＝∠DEC＝90°， ∴DE 是⊙O 的切线； （2）连接 AD， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝8，sinB＝ ， ∴AD＝AB•sinB＝ ， ∵∠ODB+∠ADO＝∠ADO+∠ADE＝90°， ∴∠BDO＝∠ADE， ∴∠B＝∠ADE， ∴sinB＝sin∠ADE＝ ＝ ， ∴AE＝ AD＝ × ＝ ， ∵OD∥AE， ∴△FAE∽△FOD， ∴ ， ∵AB＝8， ∴OD＝AO＝4， ∴ ＝ ∴FA＝ ． 2．（1）证明：如图 1，连接 GO、GA， ∵∠BAC、∠BAD 的角平分线与⊙O 分别相交于点 E、F， ∴∠MAE＝ （∠BAC+∠BAD）＝90°， ∵MN∥AE， ∴∠M＝180﹣∠MAE＝90°， ∵G 是 的中点， ∴ ＝ ， ∴∠FAG＝∠BAG， ∵OA＝OG， ∴∠OGA＝∠BAG， ∴∠OGA＝∠FAG， ∴OG∥AM， ∴∠MGO＝180﹣∠M＝90 ， ∵G 为半径的外端， ∴MN 是⊙O 的切线； （2）解：①如图 2，连接 GO 交延长交 AE 于点 P， ∵∠MGO＝∠M＝∠MAE＝90°， ∴四边形 MGPA 为矩形， ∴GP＝MA＝18，∠GPA＝90°， 即 OP⊥AE， ∴AP＝ AE＝12， 设 OA＝OG＝r，则 OP＝18﹣r， 在 Rt△OAP 中，∵OA2＝OP2+AP2， ∴r2＝（18﹣r）2+122， 解得：r＝13， 答：⊙O 的半径是 13； ②如图 3，过 M 作 MH⊥l，连接 BC，延长 NE 交 l 于 I，连接 GO 交延长交 AE 于 P， 由①知：OG＝13，PG＝18， ∴OP＝5， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB＝∠AEI＝90°， ∵∠BAE＝∠EAC， ∴∠ABE＝∠AIB， ∵AM∥NI， ∴∠MAH＝∠BIA＝∠ABE， ∴tan∠MAH＝tan∠ABE＝tan∠BIA＝ ，BI＝2BE＝20， ∵cos∠AMH＝ ，sin∠AMH＝ ，sin∠CBI＝ ＝ ， ∴MH＝ ＝ ，AH＝ ＝ ， CI＝20× ＝ ， ∴AC＝AI﹣CI＝26﹣ ＝ ， ∴HC＝AH+AC＝ + ＝ ， ∴tan∠MCD＝ ＝ ． 故答案为： ． 3．解：（1）如图 1 中，连接 EM． ∵BM 是⊙O 的直径， ∴∠BEM＝90°， ∵E 是 AB 的中点， ∴AE＝BE＝ ， ∵cos∠B＝ ＝ ， ∴BM＝ ， ∵EM⊥AB，EB＝EA， ∴MA＝MB＝ ， ∴∠B＝∠BAM， ∵AMC＝∠B+∠BAM＝∠AMF+∠CMF，∠CMN＝∠BAM， ∴∠AMF＝∠B＝∠CMN， ∵AD∥BC， ∴∠AFM＝∠AMF， ∴AF＝AM＝ ， ∴DF＝AD﹣AF＝5﹣ ＝ ． （2）如图 2 中， ∵AB＝DC，AD∥BC， ∴四边形 ABCD 是等腰梯形， ∴∠B＝∠C， ∵AD∥BC， ∴∠ADN＝∠C， 由（1）可知∠AMN＝∠B， ∴∠AMN＝∠ADN， ∴A，M，D，N 四点共圆， ∵AN∥DM， ∴∠ANM＝∠NMD， ∴ ＝ ， ∴AM＝DN， ∵AN∥DM， ∴四边形 AMDN 是等腰梯形， ∴MN＝AD＝5． （3）如图 3 中， ∵点 N 为圆心的⊙N 与⊙O 和⊙O'都内切， ∴NM⊥BC， ∵AD∥BC， ∴MN⊥AF， ∴∠AFM＝90° 由（1）可知：∠BAM＝∠CMN＝∠AFM， ∴∠BAM＝90°， ∴此时点 E 与 A 重合， ∵cosB＝ ＝ ， ∴BM＝ ， ∴⊙O 的半径为 ． 4．（1）证明：如图 1 中， ∵BO 平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠CBO， ∵OB＝OA＝OC， ∴∠A＝∠ABO，∠C＝∠OBC， ∴∠A＝∠C， ∵OB＝OB， ∴△OBA≌△OBC（AAS）， ∴AB＝BC， ∴ ＝ ． （2）解：如图 2 中，作 DM⊥OB 于 M，DN⊥OA 于 N，设 OM＝a． ∵OA⊥OB， ∴∠MON＝∠DMO＝∠DNO＝90°， ∴四边形 DMON 是矩形， ∴DN＝OM＝a， ∵OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠A＝∠ABO＝45°， ∵OC＝OB，CD＝CB， ∴∠C＝∠OBC，∠CDB＝∠CBD， ∵∠C+∠CDB+∠CBD＝180°， ∴3∠C+90°＝180°， ∴∠C＝30°， ∴∠CDB＝∠CBD＝75°， ∵∠DMB＝90°， ∴∠MDB＝∠DBM＝45°， ∴DM＝BM，∠ODM ＝30°， ∴DM＝ OM＝ a，DN＝ DM＝ a，AD＝ DN＝ a， ∴ ＝ ＝ ． （3）解：如图 3﹣1 中，当 BO＝BE 时， ∵CD＝CB， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴∠A+∠AOD＝∠OBA+∠OBC， ∵∠A＝∠ABO， ∴∠AOD＝∠OBC＝∠C， ∵AOD＝∠COE， ∴∠C＝∠COE＝∠CBO， ∵∠C＝∠C， ∴△OCE∽△BCO， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴EC2+2EC﹣4＝0， 解得 EC＝﹣1+ 或﹣1﹣ （舍弃）， ∴BC＝ +1． 如图 3﹣2 中，当 EO＝EB 时，同法可证△OEB 是等腰直角三角形， ∴EO＝EB＝EC＝ OB＝ ， ∴BC＝2 ， ∵∠OEB＝∠C+∠COE＞∠OBE， ∴OE≠OB， 综上所述，BC 的值为 +1 或 2 ． 5．（1）证明：如图，连接 EF， ∵∠BAC＝90°， ∴EF 是⊙O 的直径， ∴OA＝OE， ∴∠BAD＝∠AEO， ∵点 D 是 Rt△ABC 的斜边 BC 的中点， ∴AD＝BD， ∴∠B＝∠BAD， ∴∠AEO＝∠B， ∴OE∥BC， ∵EG⊥BC， ∴OE⊥EG， ∵点 E 在⊙O 上， ∴EG 是⊙O 的切线； （2）∵⊙O 的半径为 5， ∴EF＝2OE＝10， 在 Rt△AEF 中，AF＝6， 根据勾股定理得，AE＝ ＝8， 由（1）知 OE∥BC， ∵OA＝OD， ∴BE＝AE＝8． 6．解：（1）如图 1，联结 OF，交 BC 于点 H． ∵F 是 中点， ∴OF⊥BC，BC＝2BH． ∴∠BOF＝∠COF． ∵OA＝OF，OC⊥AF， ∴∠AOC＝∠COF， ∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°， 在 Rt△BOH 中，sin∠BOH＝ ＝ ， ∵AB＝6， ∴OB＝3， ∴BH＝ ， ∴BC＝2BH＝3 ； （2）如图 2，联结 BF． ∵AF⊥OC，垂足为点＝D， ∴AD＝DF． 又∵OA＝OB， ∴OD∥BF，BF＝2OD＝2x． ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴y＝ ． （3）△AOD∽△CDE，分两种情况：①当∠DCE＝∠DOA 时，AB∥CB，不符合题意，舍去． ②当∠DCE＝∠DAO 时，联结 OF． ∵OA＝OF，OB＝OC， ∴∠OAF＝∠OFA，∠OCB＝∠OBC． ∵∠DCE＝∠DAO， ∴∠OAF＝∠OFA＝∠OCB＝∠OBC． ∵∠AOD＝∠OCB+∠OBC＝2∠OAF， ∴∠OAF＝30°， ∴OD＝ ． 即线段 OD 的长为 ． 7．证明：（1）如图，过点 O 作 OM⊥AB， ∵AO 平分∠BAC，OM⊥AB，∠ACB＝90°， ∴OC＝OM， ∴OM 为⊙O 半径，且 OM⊥AB， ∴AB 是⊙O 切线． （2）解：∵DE 是⊙O 的直径， ∴∠DCE＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠DCE＝∠ACB， ∴∠DCO＝∠ACE， ∵OC＝OD， ∴∠D＝∠DCO， ∴∠ACE＝∠D，且∠A＝∠A， ∴△ACE∽△ADC， ∴ ， ∵AD＝2AC， ∴tan∠D＝ ； （3）∵△ACE∽△ADC， ∴ ， ∴AC2＝AD（AD﹣6），且 2AC＝AD， ∴AD＝8， ∴AC＝4， ∵AO＝AO，OC＝OM， ∴Rt△AOM≌Rt△AOC（HL）， ∴AM＝AC＝4， ∵∠B＝∠B，∠OMB＝∠ACB＝90° ∴△OBM∽△ABC， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴BM＝ ， ∴AB＝4+ ＝ ， ∴BC＝ ＝ ＝ ． 8．（1）证明：∵AB 是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠ABC＝90°； ∵∠MAC＝∠ABC， ∴∠MAC+∠CAB＝90°，即 MA⊥AB， ∴MN 是⊙O 的切线； （2）①证明：∵D 是弧 AC 的中点， ∴∠DBC＝∠ABD， ∵AB 是直径， ∴∠CBG+∠CGB＝90°， ∵DE⊥AB， ∴∠FDG+∠ABD＝90°， ∵∠DBC＝∠ABD， ∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD， ∴FD＝FG； ②解：连接 AD、CD，作 DH⊥BC，交 BC 的延长线于 H 点． ∵∠DBC＝∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB， ∴DE＝DH， 在 Rt△BDE 与 Rt△BDH 中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL）， ∴BE＝BH， ∵D 是弧 AC 的中点， ∴AD＝DC， 在 Rt△ADE 与 Rt△CDH 中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）． ∴AE＝CH． ∴BE＝AB﹣AE＝BC+CH＝BH，即 5﹣AE＝3+AE， ∴AE＝1． 9．解：（1）如图 1，连接 OC， ∵四边形 ABCD 和四边形 BEFG 为正方形， ∴AB＝BC＝1，BE＝EF，∠OEF＝∠ABC＝90°， ∵点 O 为 AB 中点， ∴OB＝ AB＝ ， 设 BE＝EF＝x，则 OE＝x+ ， 在 Rt△OEF 中，∵OE2+EF2＝OF2， ∴ ， 在 Rt△OBC 中，∵OB2+BC2＝OC2， ∴ ＝OC2， ∵OC，OF 为⊙O 的半径， ∴OC＝OF， ∴ ， 解得：x＝ ， ∴正方形 BEFG 的边长为 ； （2）证明：如图 2，连接 OC， 设 OB＝y，BE＝EF＝x， 同（1）可得，OE2+EF2＝OF2，OB2+BC2＝OC2， ∴OF2＝x2+（x+y）2，OC2＝y2+12 ∵OC，OF 为⊙O 的半径， ∴OC＝OF， ∴x2+（x+y）2＝y2+12， ∴2x2+2xy＝1， ∴x2+xy＝ ， 即 x（x+y）＝ ， ∴EF×OE＝ ， ∴以线段 OE 和 EF 为邻边的矩形的面积为定值，这个定值为 ． （3）证明：连接 OD，设 OA＝a，BE＝EF＝b，则 OB＝1﹣a，则 OE＝1﹣a+b， ∵∠DAO＝∠OEF＝90°， ∴DA2+OA2＝OD2，OE2+EF2＝OF2， ∴12+a2＝OD2，（1﹣a+b）2+b2＝OF2， ∵OD＝OF， ∴12+a2＝（1﹣a+b）2+b2， ∴（b+1）（a﹣b）＝0， ∵b+1≠0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， ∴OA＝EF， 在 Rt△AOD 和 Rt△EFO 中， ， ∴Rt△AOD≌Rt△EFO（HL）， ∴∠FOE＝∠ODA， ∵∠DAO＝90°， ∴∠ODA+∠AOD＝90°， ∴∠FOE+∠AOD＝90°， ∴∠DOF＝90°， ∴DO⊥FO． 10．解：（1）∵BF＝DF， ∴∠BDF＝∠DBF， 在△BCD 与△DGB 中， ， ∴△BCD≌△DGB（AAS）， ∴CD＝GB； （2）如图 1，连接 OC， ∵∠COB＝2∠CDB，∠CFB＝∠CDB+∠DBF＝2∠CDB， ∴∠COB＝∠CFB， ∵PC＝PF， ∴∠COB＝∠CFB＝∠PCF， ∵AB⊥CD， ∴∠COB+∠OCE＝90°， ∴∠PCF+∠OCE＝∠PCO＝90°， ∴OC⊥CP， ∵OC 是半径， ∴PC 是⊙O 的切线； （3）如图 2，连接 AD， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AB⊥CD， ∴ ＝ ， ∴∠BDE＝∠A＝∠G， ∵tanG＝ ， ∴tanA＝ ，即 AE＝3DE， 同理可得：DE＝3BE， ∴AE﹣BE＝3DE﹣ DE＝ ， 解得：DE＝ ， ∴CD＝2DE＝2 ， ∴BE＝ ＝ ， ∴BD＝ ＝ ， ∵∠BCD＝∠FDB，∠BDC＝∠FBD， ∴△BCD∽△FDB， ∴ ， ∵BC＝BD， ∴FD＝ ＝ ＝ ．