一元二次方程测试 14页

‎《一元二次方程》‎ ‎　‎ 一、精心选一选：‎ ‎1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）‎ A．ax2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣‎1 ‎C．3（x+1）2=2（x+1） D． +﹣2=0‎ ‎2．用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（　　）‎ A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=‎2 ‎C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6‎ ‎3．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（　　）‎ A．36（1﹣x）2=36﹣25 B．36（1﹣2x）=‎25 ‎C．36（1﹣x）2=25 D．36（1﹣x2）=25‎ ‎4．若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是﹣2，则另一个根是（　　）‎ A．2 B．‎1 ‎C．﹣1 D．0‎ ‎5．若b（b≠0）是方程x2+cx+b=0的根，则b+c的值为（　　）‎ A．1 B．﹣‎1 ‎C．2 D．﹣2‎ ‎6．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（　　）‎ A．a≥1 B．a＞1且a≠‎5 ‎C．a≥1且a≠5 D．a≠5‎ ‎7．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（　　）‎ A．﹣2 B．﹣‎1 ‎C．0 D．1‎ ‎8．若方程x2+mx+1=0和方程x2﹣x﹣m=0有一个相同的实数根，则m的值为（　　）‎ A．2 B．‎0 ‎C．﹣1 D．无法确定 ‎9．用‎13m的铁丝网围成一个长边靠墙面积为‎20m2‎的长方形，求这个长方形的长和宽，设平行于墙的一边为xm，可得方程（　　）‎ A．x（13﹣x）=20 B． C． D．‎ ‎10．如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+（‎2m﹣1）x+m2+3=0的根，则m的值为（　　）‎ A．﹣3 B．‎5 ‎C．5或﹣3 D．﹣5或3‎ 14‎ 二、细心填一填：‎ ‎11．一元二次方程3x（x﹣2）=﹣4的一般形式是______，该方程根的情况是______．‎ ‎12．方程2﹣x2=0的解是______．‎ ‎13．配方x2﹣8x+______=（x﹣______）2．‎ ‎14．设a，b是方程x2+x﹣2013=0的两个不相等的实数根，则a2+‎2a+b的值为______．‎ ‎15．若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0，则此三角形的周长为______．‎ ‎16．科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美．某成年女士身高为‎153cm，下肢长为‎92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为______cm．（精确到‎0.1cm）‎ ‎　‎ 三、耐心答一答：‎ ‎17．用指定的方法解方程 ‎（1）（x+2）2﹣25=0（直接开平方法） （2）x2+4x﹣5=0（配方法）‎ ‎（3）（x+2）2﹣10（x+2）+25=0（因式分解法）（4）2x2﹣7x+3=0（公式法）‎ ‎18．当x取什么值时，代数式x（x﹣1）与（x﹣2）+1的值相等？‎ ‎19．已知关于x的一元二次方程5x2+kx﹣10=0一个根是﹣5，求k的值及方程的另一个根．‎ 14‎ ‎20．在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度h（m） 与打出后飞行的时间t（s）之间的关系是h=7t﹣t2．‎ ‎（1）经过多少秒钟，球飞出的高度为‎10m；‎ ‎（2）经过多少秒钟，球又落到地面．‎ ‎22．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0‎ ‎（1）当m取值范围是多少时，方程有两个实数根；‎ ‎（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．‎ ‎23．已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．‎ ‎24．在我校的周末广场文艺演出活动中，舞台上有一幅矩形地毯，它的四周镶有宽度相同的花边（如图）．地毯中央的矩形图案长‎8米、宽‎6米，整个地毯的面积是80平方米．求花边的宽．‎ 14‎ ‎25．某电脑销售商试销某一品牌电脑（出厂为3000元/台）以4000元/台销售时，平均每月可销售100台，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的市场调查，3月份调整价格后，月销售额达到576000元．已知电脑价格每台下降100元，月销售量将上升10台．‎ ‎（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率；‎ ‎（2）求3月份时该电脑的销售价格．‎ ‎26．某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1（千克）与x的关系为y1=﹣x2+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2=at2+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：‎ t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y2‎ ‎21‎ ‎44‎ ‎69‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？‎ ‎（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多‎6千克？‎ ‎（说明：毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）‎ ‎　‎ 14‎ ‎《第21章 一元二次方程》‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、精心选一选：‎ ‎1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）‎ A．ax2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣‎1 ‎C．3（x+1）2=2（x+1） D． +﹣2=0‎ ‎【解答】解：A、a=0时，不是一元二次方程，错误；‎ B、原式可化为2x+1=0，是一元一次方程，错误；‎ C、原式可化为3x2+4x+1=0，符合一元二次方程的定义，正确；‎ D、是分式方程，错误．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．用配方法解方程：x2﹣4x+2=0，下列配方正确的是（　　）‎ A．（x﹣2）2=2 B．（x+2）2=‎2 ‎C．（x﹣2）2=﹣2 D．（x﹣2）2=6‎ ‎【解答】解：把方程x2﹣4x+2=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x=﹣2，‎ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4=﹣2+4，‎ 配方得（x﹣2）2=2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（　　）‎ A．36（1﹣x）2=36﹣25 B．36（1﹣2x）=‎25 ‎C．36（1﹣x）2=25 D．36（1﹣x2）=25‎ ‎【解答】解：第一次降价后的价格为36×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，‎ 为36×（1﹣x）×（1﹣x），‎ 则列出的方程是36×（1﹣x）2=25．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 14‎ ‎4．若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是﹣2，则另一个根是（　　）‎ A．2 B．‎1 ‎C．﹣1 D．0‎ ‎【解答】解：设方程的另一个根是x，‎ 依题意得，‎ 解之得x=1，‎ 即方程的另一个根是1．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．若b（b≠0）是方程x2+cx+b=0的根，则b+c的值为（　　）‎ A．1 B．﹣‎1 ‎C．2 D．﹣2‎ ‎【解答】解：把x=b代入方程x2+cx+b=0得到：b2+bc+b=0即b（b+c+1）=0，又∵b≠0，∴b+c=﹣1，‎ 故本题选B．‎ ‎　‎ ‎6．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（　　）‎ A．a≥1 B．a＞1且a≠‎5 ‎C．a≥1且a≠5 D．a≠5‎ ‎【解答】解：分类讨论：‎ ‎①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；‎ ‎②当a﹣5≠0即a≠5时，‎ ‎∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根 ‎∴16+4（a﹣5）≥0，‎ ‎∴a≥1．‎ ‎∴a的取值范围为a≥1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k的最大整数值是（　　）‎ A．﹣2 B．﹣‎1 ‎C．0 D．1‎ ‎【解答】解：∵a=1，b=﹣（2k﹣1），c=k2，方程有两个不相等的实数根 ‎∴△=b2﹣‎4ac=（2k﹣1）2﹣4k2=1﹣4k＞0‎ 14‎ ‎∴k＜‎ ‎∴k的最大整数为0．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．若方程x2+mx+1=0和方程x2﹣x﹣m=0有一个相同的实数根，则m的值为（　　）‎ A．2 B．‎0 ‎C．﹣1 D．无法确定 ‎【解答】解：由方程x2+mx+1=0得x2=﹣mx﹣1，由方程x2﹣x﹣m=0得x2=x+m．‎ 则有﹣mx﹣1=x+m，即x=﹣1．‎ 把x=﹣1代入方程x2+mx+1=0，‎ 得方程1﹣m+1=0，从而解得m=2．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．用‎13m的铁丝网围成一个长边靠墙面积为‎20m2‎的长方形，求这个长方形的长和宽，设平行于墙的一边为xm，可得方程（　　）‎ A．x（13﹣x）=20 B． C． D．‎ ‎【解答】解：平行于墙的一边为xm，那么垂直于墙的有2个边，等于（铁丝长﹣x）÷2，‎ ‎∴．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+（‎2m﹣1）x+m2+3=0的根，则m的值为（　　）‎ A．﹣3 B．‎5 ‎C．5或﹣3 D．﹣5或3‎ ‎【解答】解：由勾股定理可得：AO2+BO2=25，‎ 又有根与系数的关系可得：AO+BO=﹣‎2m+1，AO•BO=m2+3‎ ‎∴AO2+BO2=（AO+BO）2﹣2AO•BO=（﹣‎2m+1）2﹣2（m2+3）=25，‎ 14‎ 整理得：m2﹣‎2m﹣15=0，‎ 解得：m=﹣3或5．‎ 又∵△＞0，‎ ‎∴（‎2m﹣1）2﹣4（m2+3）＞0，解得m＜﹣，‎ ‎∴m=﹣3，‎ 故本题选A．‎ ‎　‎ 二、细心填一填：‎ ‎11．一元二次方程3x（x﹣2）=﹣4的一般形式是　3x2﹣6x+4=0　，该方程根的情况是　无实数根　．‎ ‎【解答】解：3x（x﹣2）=﹣4，‎ ‎3x2﹣6x+4=0，‎ ‎∵△=（﹣6）2﹣4×3×4=﹣12＜0，‎ ‎∴无实数根．‎ 故答案为：3x2﹣6x+4=0；无实数根．‎ ‎　‎ ‎12．方程2﹣x2=0的解是　　．‎ ‎【解答】解：移项，得x2=2‎ 开方，得x=±．‎ ‎　‎ ‎13．配方x2﹣8x+　16　=（x﹣　4　）2．‎ ‎【解答】解：∵所给代数式的二次项系数为1，一次项系数为﹣8，等号右边正好是一个完全平方式，‎ ‎∴常数项为（﹣8÷2）2=16，‎ ‎∴x2﹣8x+16=（x﹣4）2．‎ 故答案为16；4．‎ ‎　‎ ‎14．设a，b是方程x2+x﹣2013=0的两个不相等的实数根，则a2+‎2a+b的值为　2012　．‎ ‎【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2013=0的两个不相等的实数根，‎ ‎∴a2+a﹣2013=0，‎ 14‎ ‎∴a2+a=2013，‎ 又∵a+b=﹣=﹣1，‎ ‎∴a2+‎2a+b=（a2+a）+（a+b）=2013﹣1=2012．‎ 故答案为：2012．‎ ‎　‎ ‎15．若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0，则此三角形的周长为　6，10，12　．‎ ‎【解答】解：解方程x2﹣6x+8=0得x1=4，x2=2；‎ 当4为腰，2为底时，4﹣2＜4＜4+2，能构成等腰三角形，周长为4+2+4=10；‎ 当2为腰，4为底时4﹣2=2＜4+2不能构成三角形，‎ 当等腰三角形的三边分别都为4，或者都为2时，构成等边三角形，周长分别为6，12，故△ABC的周长是6或10或12．‎ ‎　‎ ‎16．科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美．某成年女士身高为‎153cm，下肢长为‎92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为　‎6.7　cm．（精确到‎0.1cm）‎ ‎【解答】答：设高跟鞋鞋跟的高度为x，‎ 根据题意列方程得：（92+x）÷（153+x）≈0.618，‎ 解得x≈6.69，精确到‎0.1cm为，‎6.7cm．‎ ‎　‎ 三、耐心答一答：‎ ‎17．用指定的方法解方程 ‎（1）（x+2）2﹣25=0（直接开平方法）‎ ‎（2）x2+4x﹣5=0（配方法）‎ ‎（3）（x+2）2﹣10（x+2）+25=0（因式分解法）‎ ‎（4）2x2﹣7x+3=0（公式法）‎ ‎【解答】解：（1）（x+2）2﹣25=0（直接开平方法）‎ x+2=±5‎ ‎∴x1=3，x2=﹣7．‎ ‎（2）x2+4x﹣5=0（配方法）‎ ‎（x+2）2=9‎ 14‎ x+2=±3‎ ‎∴x1=﹣5，x2=1；‎ ‎（3）（x+2）2﹣10（x+2）+25=0（因式分解法）‎ ‎（x+2﹣5）（x+2﹣5）=0‎ ‎∴x1=x2=3；‎ ‎（4）2x2﹣7x+3=0（公式法）‎ x=‎ x1=3，x2=．‎ ‎　‎ ‎18．当x取什么值时，代数式x（x﹣1）与（x﹣2）+1的值相等？‎ ‎【解答】解：根据题意得：‎ x（x﹣1）=（x﹣2）+1，‎ ‎3x（x﹣1）=2（x﹣2）+6，‎ ‎3x2﹣3x=2x﹣4+6，‎ ‎3x2﹣3x﹣2x+4﹣6=0，‎ ‎3x2﹣5x﹣2=0，‎ ‎（3x+1）（x﹣2）=0，‎ ‎3x+1=0或x﹣2=0，‎ x1=﹣，x2=2．‎ ‎　‎ ‎19．已知关于x的一元二次方程5x2+kx﹣10=0一个根是﹣5，求k的值及方程的另一个根．‎ ‎【解答】解：根据二次方程根与系数的关系，可得x1•x2=﹣2，x1+x2=﹣，‎ 而已知其中一根为﹣5，有（﹣5）•x2=﹣2，可得x2=，‎ 又有x1+x2=﹣，解可得k=23；‎ 答：k=23，另一根为．‎ ‎　‎ 14‎ ‎20．在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度h（m） 与打出后飞行的时间t（s）之间的关系是h=7t﹣t2．‎ ‎（1）经过多少秒钟，球飞出的高度为‎10m；‎ ‎（2）经过多少秒钟，球又落到地面．‎ ‎【解答】解：（1）把h=10代入函数解析式h=7t﹣t2得，‎ ‎7t﹣t2=10，‎ 解得t1=2，t2=5，‎ 答：经过2秒或5秒，球飞出的高度为‎10m；‎ ‎（2）把h=0代入函数解析式h=7t﹣t2得，‎ ‎7t﹣t2=0，‎ 解得t1=0（为球开始飞出时间），t2=7（球又落到地面经过的时间），‎ 答：经过7秒钟，球又落到地面．‎ ‎　‎ ‎21．阅读下面的例题：‎ 解方程：x2﹣|x|﹣2=0‎ 解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．‎ ‎（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=﹣2‎ ‎∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2．‎ 请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3=0，则此方程的根是　x1=﹣3，x2=2　．‎ ‎【解答】解：（1）当x≥3时，原方程化为x2﹣（x﹣3）﹣3=0，‎ 即x2﹣x=0‎ 解得x1=0（不合题意，舍去），x2=1（不合题意，舍去）；‎ ‎（2）当x＜3时，原方程化为x2+x﹣3﹣3=0‎ 即x2+x﹣6=0，‎ 解得x1=﹣3，x2=2．‎ 所以原方程的根是x1=﹣3，x2=2．‎ ‎　‎ ‎22．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0‎ ‎（1）当m取值范围是多少时，方程有两个实数根；‎ ‎（2）为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．‎ 14‎ ‎【解答】解：（1）由题意知：△=b2﹣‎4ac=[﹣2（m+1）]2﹣‎4m2‎=[﹣2（m+1）+‎2m][﹣2（m+1）﹣‎2m]=﹣2（﹣‎4m﹣2）=‎8m+4≥0，‎ 解得m≥．‎ ‎∴当m≥时，方程有两个实数根．‎ ‎（2）选取m=0．（答案不唯一，注意开放性）‎ 方程为x2﹣2x=0，‎ 解得x1=0，x2=2．‎ ‎　‎ ‎23．已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．‎ ‎【解答】解：∵x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△=b2﹣‎4ac=0，且c﹣b≠0，即c≠b．‎ ‎∴4（b﹣a）2﹣4（c﹣b）（a﹣b）=0，‎ 则4（b﹣a）（b﹣a+c﹣b）=0，‎ ‎∴（b﹣a）（c﹣a）=0，‎ ‎∴b﹣a=0或c﹣a=0，‎ ‎∴b=a，或c=a．‎ ‎∴此三角形为等腰三角形．‎ ‎　‎ ‎24．在我校的周末广场文艺演出活动中，舞台上有一幅矩形地毯，它的四周镶有宽度相同的花边（如图）．地毯中央的矩形图案长‎8米、宽‎6米，整个地毯的面积是80平方米．求花边的宽．‎ ‎【解答】解：设花边的宽为x米，‎ 根据题意得（2x+8）（2x+6）=80，‎ 解得x1=1，x2=﹣8，‎ 14‎ x2=﹣8不合题意，舍去．‎ 答：花边的宽为‎1米．‎ ‎　‎ ‎25．某电脑销售商试销某一品牌电脑（出厂为3000元/台）以4000元/台销售时，平均每月可销售100台，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的市场调查，3月份调整价格后，月销售额达到576000元．已知电脑价格每台下降100元，月销售量将上升10台．‎ ‎（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率；‎ ‎（2）求3月份时该电脑的销售价格．‎ ‎【解答】解：（1）设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x，‎ 由题意得：400000（1+x）2=576000，‎ ‎1+x=±1.2，x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）‎ ‎∴1月份到3月份销售额的月平均增长率为20%；‎ ‎（2）设3月份电脑的销售价格在每台4000元的基础上下降y元，‎ 由题意得：（4000﹣y）（100+0.1y）=576000，‎ y2﹣3000y+1760000=0，（y﹣800）（y﹣2200）=0，‎ ‎∴y=800或y=2200，‎ 当y=2200时，3月份该电脑的销售价格为4000﹣2200=1800＜3000不合题意舍去．‎ ‎∴y=800，3月份该电脑的销售价格为4000﹣800=3200元．‎ ‎∴3月份时该电脑的销售价格为3200元．‎ ‎　‎ ‎26．某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1（千克）与x的关系为y1=﹣x2+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2=at2+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：‎ t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y2‎ ‎21‎ ‎44‎ ‎69‎ ‎（1）求a、b的值；‎ 14‎ ‎（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？‎ ‎（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多‎6千克？‎ ‎（说明：毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计）‎ ‎【解答】解：（1）根据表中的数据可得 ‎．‎ 答：a、b的值分别是1、20；‎ ‎（2）甲级干果和乙级干果n天售完这批货．‎ ‎﹣n2+40n+n2+20n=1140‎ n=19，‎ 当n=19时，y1=399，y2=741，‎ 毛利润=399×8+741×6﹣1140×6=798（元），‎ 答：卖完这批干果获得的毛利润是798元．‎ ‎（3）设从第m天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多‎6千克，则甲、乙级干果的销售量为m天的销售量减去m﹣1天的销售量，‎ 即甲级水果第m天所卖出的干果数量：（﹣m2+‎40m）﹣[﹣（m﹣1）2+40（m﹣1）]=﹣‎2m+41．‎ 乙级水果第m天所卖出的干果数量：（m2+‎20m）﹣[（m﹣1）2+20（m﹣1）]=‎2m+19，‎ ‎（‎2m+19）﹣（﹣‎2m+41）≥6，‎ 解得：m≥7，‎ 答：第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多‎6千克．‎ ‎　‎ 14‎