2020年秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程 4页

第2章 　一元二次方程 ‎2.4　一元二次方程根与系数的关系 知识点 1　直接利用一元二次方程根与系数的关系求两根之和与两根之积 ‎1．若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1x2的值是(　　)‎ A．－2　　　 B．－‎3　　　‎ C．2　　　 D．3‎ ‎2．2016·来宾已知x1，x2是方程x2＋3x－1＝0的两个实数根，那么下列结论正确的是(　　)‎ A．x1＋x2＝－1 B．x1＋x2＝－3‎ C．x1＋x2＝1 D．x1＋x2＝3‎ ‎3．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积．‎ ‎(1)x2＋3x＋1＝0; (2)3x2－2x－1＝0；‎ 知识点 2　利用一元二次方程根与系数的关系求方程中字母及代数式的值 ‎4．教材习题2.4第4题变式已知关于x的一元二次方程x2－6x＋6＝0的两个实数根为x1，x2，则x12＋x22＝________．‎ ‎5．若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一个根为(　　)‎ A．－2 B．‎2 C．4 D．－3‎ ‎6．2017·玉林已知关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.‎ ‎(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；‎ ‎(2)当t为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由．‎ ‎7．已知一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，则x12x2＋x1x22的值为(　　)‎ A．－3 B．‎3 C．－6 D．6‎ ‎8．2017·烟台若x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，且x1＋x2＝1－x1x2，则m的值为(　　)‎ A．－1或2 B．1或－2‎ C．－2 D．1‎ ‎9．2017·淄博已知α，β是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，则α2＋αβ－3α的值为________．‎ ‎10．教材习题2.4第4题变式2017·南充已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0.‎ ‎(1)求证：方程有两个不相等的实数根；‎ ‎(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12＋x22－x1x2＝7，求m的值．‎ 4‎ ‎ ‎ ‎11．已知x1，x2是关于x的一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．‎ ‎(1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．‎ ‎　　　　‎ ‎ ‎ 4‎ ‎1．B　[解析] ∵x1x2＝，∴x1x2＝－3.故选B.‎ ‎2．B　[解析] ∵x1，x2是方程的两个根，‎ ‎∴x1＋x2＝－＝－3.故选B.‎ ‎3．解：设方程的两根为x1，x2.‎ ‎(1)x1＋x2＝－3，x1x2＝1.‎ ‎(2)x1＋x2＝，x1x2＝－.‎ ‎4．24‎ ‎5．A　[解析] 设一元二次方程的另一个根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得－1＋x1＝－3，解得x1＝－2.故选A.‎ ‎6．解：(1)证明：在方程x2－(t－1)x＋t－2＝0中，Δ＝b2－‎4ac＝[－(t－1)]2－4×1×(t－2)＝t2－6t＋9＝(t－3)2≥0，‎ ‎∴对于任意实数t，方程都有实数根．‎ ‎(2)设方程的两根分别为m，n，‎ ‎∵方程的两个根互为相反数，‎ ‎∴m＋n＝t－1＝0，解得t＝1，‎ ‎∴当t＝1时，方程的两个根互为相反数．‎ ‎7．A　[解析] ∵一元二次方程x2－3x－1＝0的两个根分别是x1，x2，‎ ‎∴x1＋x2＝3，x1·x2＝－1，‎ ‎∴x12x2＋x1x22＝x1x2·(x1＋x2)＝(－1)×3＝－3.故选A.‎ ‎8．D　[解析] ∵x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个根，∴x1＋x2＝‎2m，x1x2＝m2－m－1.∵x1＋x2＝1－x1x2，∴‎2m＝1－(m2－m－1)，即m2＋m－2＝0，解得m1＝－2，m2＝1.∵方程x2－2mx＋m2－m－1＝0有实数根，∴Δ＝b2－‎4ac＝(－‎2m)2－4(m2－m－1)＝‎4m＋4≥0，解得m≥－1，∴m＝1.故选D.‎ ‎9．0　[解析] 根据题意得α＋β＝3，αβ＝－4，所以原式＝a(α＋β)－3α＝3α－3α＝0.‎ ‎10．解：(1)证明：∵x2－(m－3)x－m＝0，‎ ‎∴Δ＝b2－‎4ac＝[－(m－3)]2－4×1×(－m)＝m2－‎2m＋9＝(m－1)2＋8＞0，‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根．‎ ‎(2)∵x2－(m－3)x－m＝0，方程的两个实数根为x1，x2，且x12＋x22－x1x2＝7，‎ ‎∴(x1＋x2)2－3x1x2＝7，‎ ‎∴(m－3)2－3×(－m)＝7，‎ 解得m1＝1，m2＝2，即m的值是1或2.‎ ‎11．解：(1)存在．‎ 根据题意，得Δ＝(2a)2－4a(a－6)＝24a≥0，解得a≥0.∵a－6≠0，∴a≠6.‎ 由一元二次方程根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ ‎∵－x1＋x1x2＝4＋x2，∴x1＋x2＋4＝x1x2，‎ 即－＋4＝，解得a＝24.‎ 经检验，a＝24是方程－＋4＝的解，∴a＝24.‎ 4‎ ‎(2)∵原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－＋＋1＝，为负整数，‎ ‎∴6－a的值为－1，－2，－3，－6，‎ ‎∴a的值为7，8，9，12.‎ 4‎