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- 2021-11-11 发布
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专题分类突破二 抛物线中几何图形的最值问题
(见B本9页)
, 类型 1 线段的最值问题)
例1图
【例1】 如图所示,线段AB=10,点P在线段AB上,在AB的同侧分别以AP,BP为边长作正方形APCD和BPEF,点M,N分别是EF,CD的中点,则MN的最小值是__5__.
变式 某种电缆在空中架设时,两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y=x2的形状.今在一个坡度为1∶5的斜坡上,沿水平距离间隔50米架设两个离地面高度为20米的塔柱(如图),这种情况下在竖直方向上,下垂的电缆与地面的最近距离是( B )
变式图
A.12.75米 B.13.75米 C.14.75米 D.17.75米
, 类型 2 线段和差的最值问题
【例2】 如图所示,已知抛物线y=-x2+px+q的对称轴为直线x=-3,过其顶点M的一条直线y=kx+b与该抛物线的另一个交点为N(-1,1).若要在y轴上找一点P,
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使得PM+PN最小,则点P的坐标为( A )
A.(0,2) B. C. D.
例2图
变式图
变式 如图所示,二次函数y=-x2-3x+4的图象交x轴于A,B,交y轴于点C.点P是抛物线的对称轴上一动点,若|PA-PC|的值最大,则点P的坐标为 .
, 类型 3 面积的最值问题
【例3】 正方形OABC的边长为4,对角线相交于点P,抛物线l经过O,P,A三点,点E是正方形内抛物线l上的动点.则△OAE与△OCE面积之和的最大值是__9__.
例3图
变式图
变式 如图所示,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).
(1)a=__-__,b=__3__;
(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.
解:(1)将A(2,4)与B(6,0)代入y=ax2+bx,
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得解得
变式答图
(2)如图,过A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连结CD,CB,过C作CE⊥AD,CF⊥x轴,垂足分别为E,F,
S△OAD=OD·AD=×2×4=4;
S△ACD=AD·CE=×4×(x-2)=2x-4;
S△BCD=BD·CF=×4×=-x2+6x,
则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x-4-x2+6x=-x2+8x,
∴S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2<x<6).
∵S=-x2+8x=-(x-4)2+16,
∴当x=4时,四边形OACB的面积S有最大值,最大值为16.
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1.2017·泸州中考已知抛物线y=x2+1具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴
第1题图
的距离始终相等,如图,点M的坐标为(,3),P是抛物线y=x2+1上一动点,则△PMF周长的最小值是( C )
A.3 B.4 C.5 D.6
第2题图
2.如图所示,抛物线y=-x2-2x+3 的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
(1)写出A,B,C三点的坐标:A(__-3__,__0__),B(__1__,__0__),C(__0__,__3__).
(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A,B重合),过点M作x轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q,过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边,当矩形PMNQ的周长最大时,求△AEM的面积.
解:(2)由抛物线y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4可知,
对称轴为直线x=-1,
设点M的横坐标为m,则PM=-m2-2m+3,MN=(-m-1)×2=-2m-2,
∴矩形PMNQ的周长=2(PM+MN)=2(-m2-2m+3-2m-2)
=-2m2-8m+2=-2(m+2)2+10,
∴当m=-2时矩形的周长最大.
∵点A(-3,0),C(0,3),可求得直线AC的函数表达式为y=x+3,
当x=-2时,y=-2+3=1,则点E(-2,1),
∴EM=1,AM=1,∴S=AM·EM=.
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第3题图
3.2017·东营中考如图所示,直线y=-x+分别与x轴、y轴交于B,C两点,点A在x轴上,∠ACB=90°,抛物线y=ax2+bx+经过A,B两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是直线BC上方抛物线上的一点,过点M作MH⊥BC于点H,作MD∥y轴交BC于点D,求△DMH周长的最大值.
解:(1)∵直线y=-x+分别与x轴、y轴交于B,C两点,
∴B(3,0),C(0,),
∴OB=3,OC=,∴BC=2,
∴∠CBO=30°,∠BCO=60°,
∵∠ACB=90°,∴∠ACO=30°,∴AO=1,∴A(-1,0).
∵抛物线y=ax2+bx+经过A,B两点,
∴解得
∴抛物线解析式为y=-x2+x+.
(2)∵MD∥y轴,MH⊥BC,
∴∠MDH=∠BCO=60°,则∠DMH=30°,
∴DH=DM,MH=DM,
∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM,
∴当DM有最大值时,其周长有最大值,
∵点M是直线BC上方抛物线上的一点,
∴可设M,则D,
∴DM=-t2+t+-=-t2+t=-+,
∴当t=时,DM有最大值,最大值为,
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此时DM=×=,即△DMH周长的最大值为.
第4题图
4.已知:抛物线l1:y=-x2+bx+3交x轴于点A,B(点A在点B的左侧),交y轴于点C,其对称轴为x=1,抛物线l2经过点A,与x轴的另一个交点为E(5,0),交y轴于点D.
(1)求抛物线l2的函数表达式;
(2)M为抛物线l2上一动点,过点M作直线MN∥y轴,交抛物线l1于点N,求点M自点A运动至点E的过程中,线段MN长度的最大值.
解:(1)∵抛物线l1:y=-x2+bx+3的对称轴为x=1,
∴-=1,解得b=2,∴抛物线l1的解析式为y=-x2+2x+3,
令y=0,可得-x2+2x+3=0,解得x=-1或x=3,
∴A点坐标为(-1,0),∵抛物线l2经过A,E两点,
∴可设抛物线l2的解析式为y=a(x+1)(x-5),
又∵抛物线l2交y轴于点D,
∴-=-5a,解得a=,
∴y=(x+1)(x-5)=x2-2x-,
∴抛物线l2的函数表达式为y=x2-2x-.
(2)由题意可设M,
∵MN∥y轴,∴N(x,-x2+2x+3),
令-x2+2x+3=x2-2x-,解得x=-1或x=.
①当-1<x≤时,MN=(-x2+2x+3)-=-x2+4x+=-+,
显然,-1<≤,∴当x=时,MN有最大值;
②当<x≤5时,MN=-(-x2+2x+3)=x2-4x-=-,
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显然,当x>时,MN随x的增大而增大,
∴当x=5时,MN有最大值,×-=12.
综上可知在点M自点A运动至点E的过程中,线段MN长度的最大值为12.
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