九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系4船有触礁的危险吗5测量物体的高度习题课件北师大版 43页

4 船有触礁的危险吗 5 测量物体的高度 1. 能够将实际问题转化为数学问题 , 并能借助计算器进行三角函数的计算 .( 重点 ) 2. 会把实际问题转化为数学问题 .( 难点 ) 方位角 如图 , 以 O 为观测点 , 则观测方向 OA 是指 ___________,OB 是指 ___________,OC 是指 ___________,OD 是指 ___________( 西南 方向 ). 北偏东 60° 南偏东 30° 北偏西 70° 南偏西 45° 【 归纳 】 在水平面上 , 过观测点 O 作一条水平线 ( 向右为东方 ) 和 一条铅垂线 ( 向上为北方 ), 则从 O 点出发的 _____ 与 _________ _______ 的夹角叫做观测的方位角 . 视线 水平线或 铅垂线 ( 打 “ √ ” 或 “ × ” ) (1) 对于方位角 , 各观测点的南北方向线不一定平行 .( ) (2) 若从点 A 看点 B 在北偏东 60° 方向 , 则从点 B 看点 A 在南偏西 30° 方向 . 　 ( ) (3) 从不同位置观察同一物体 , 方位角一定不同 . 　 ( ) (4) 测量物体的高度时至少要知道三个数据 . 　 ( ) × × × × 知识点 1 与方位角有关的问题   【 例 1】 钓鱼岛及其附属岛屿是 中国固有领土 ,A,B,C 分别是钓 鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点 ( 如图 ), 点 C 在点 A 的北偏东 47° 方向 , 点 B 在点 A 的南偏东 79° 方 向 , 且 A,B 两点的距离约为 5.5km; 同时 , 点 B 在点 C 的南偏西 36° 方向 . 若一艘中国渔船以 30km/h 的 速度从点 A 驶向点 C 捕鱼 , 需要多长时间到达 ?( 结果保留小数点 后两位 )( 参考数据 :sin54°≈0.81,cos 54°≈0.59,tan47° ≈1.07,tan36°≈0.73,tan 11°≈0.19) 【 思路点拨 】 作 BD⊥AC 于点 D, 根据方位角分别求出∠ CAB 和∠ ACB 的度数 , 然后在 Rt△ABD 和 Rt△BCD 中分别求出 AD,CD 的长 , 再根据时间 = 路程 ÷ 速度 , 即可求出需要的时间 . 【 自主解答 】 作 BD⊥AC 于 D, ∠CAB=180°-47°-79°=54°, ∠ACB=47°-36° ＝ 11°. 在直角三角形 ABD 中， BD=AB sin 54°, AD=AB cos 54° ， 在直角三角形 BCD 中 , ≈ 5.5×0.59+5.5×0.81÷0.19≈26.69 ， 26.69÷30≈0.89(h). 答：大约需要 0.89 h 到达 . 【 总结提升 】 运用三角函数解决实际问题 “ 三步法 ” 知识点 2 测量物体的高度 【 例 2】 极具特色的“八卦楼” ( 又称“威镇阁” ) 是漳州的标志性建筑，它建立在一座平台上．为了测量“八卦楼”的高度 AB ，小华在 D 处用高 1.1 m 的测角仪 CD ，测得楼的顶端 A 的仰角为 22° ；再向前走 63 m 到达 F 处，又测得楼的顶端 A 的仰角为 39°( 如图是他设计的平面示意图 ) ．已知平台的高度 BH 约为 13 m ，请你求出“八卦楼”的高度约是多少？ ( 参考数据： ) 【 解题探究 】 1. 如果设 AG=x m ，你能用含 x 的式子表示出 CG 及 EG 的长吗？ 提示： 在 Rt△ACG 中， 在 Rt△AEG 中， 2. 你能找出等量关系，列出关于 x 的方程，并求出 AG 的长吗？ 提示： ∵ CG-EG=CE ． 3. 你能求出 AH 的长吗？ 提示： ∵ GH=CD=1.1 m ，∴ AH=AG+HG=50.4+1.1=51.5(m). 4. 根据以上探究可求出 “ 八卦楼 ” 的高度： AB= ______ = ________ = _____ (m) ，即 “ 八卦楼 ” 的高度约 为 _____ m ． AH-BH 51.5-13 38.5 38.5 【 互动探究 】 本题中“八卦楼”的高度还可以怎样计算？ 提示： 还可以先算出 BG 的长，再用 AG-BG 即可求出 . 【 总结提升 】 与测量有关的常见图形与关系式 图 形 关 系 式 BD=CE, AC=BC · tanα, AE=AC+CE 图 形 关 系 式 BC=DC-BD =AD · (tanα-tanβ) 图 形 关 系 式 AB=DE=AE · tanβ, CD=CE+DE =AE(tanα+tanβ) 题组一： 与方位角有关的问题 1. 如图，轮船从 B 处以每 小时 50 n mile 的速度沿 南偏东 30° 方向匀速航行， 在 B 处观测灯塔 A 位于南偏东 75° 方向上，轮船航行半小时到达 C 处，在 C 处观测灯塔 A 位于北偏东 60° 方向上，则 C 处与灯塔 A 的距离是 ( ) 【 解析 】 选 D. 根据题意 ,∠1=∠2=30°, ∵∠ACD=60°,∴∠ACB=30°+60°=90°, ∵∠CBA=75°-30°=45°,∴△ABC 为等腰直角三角形 , ∵BC=50×0.5=25,∴AC=BC=25(n mile). 2. 已知儿童公园在小明家的正东方 , 超市在儿童公园的北偏西 40° 方向上 , 儿童公园到超市与小明家到超市的距离相等 , 则超市在小明家的 ( 　　 ) A. 南偏东 50° B. 南偏东 40° C. 北偏东 50° D. 北偏东 40° 【 解析 】 选 D. 如图所示 , 图中 A,B,C 分别为小明家、儿童公园、超市 , 可知 C 在 A 的北偏东 40° 方向上 , 即超市在小明家的北偏东 40° 方向 . 3.(2013 · 潍坊中考 ) 一渔船在海岛 A 南偏东 20° 方向的 B 处遇险 , 测得海岛 A 与 B 的距离为 20 海里 , 渔 船将险情报告给位于 A 处的救援船 后 , 沿北偏西 80° 方向向海岛 C 靠 近 . 同时 , 从 A 处出发的救援船沿南 偏西 10° 方向匀速航行 . 20 分钟后 , 救援船在海岛 C 处恰好追上渔船 , 那么救援船航行的速度为 ( 　　 ) 【 解析 】 选 D.∠ABC=80°-20°=60° ， ∠ CAB=20°+10°=30° ，∴∠ C=90°. 在 Rt△ACB 中， ( 海里 ) ， ∴救援船的速度为 ( 海里 / 小时 ). 4. 在一次夏令营活动中，小明同学从营地 A 出发，要到 A 地的北偏东 60° 方向的 C 处，他先沿正东方向走了 200 m 到达 B 地，再沿北偏东 30° 方向走，恰能到达目的地 C( 如图 ) ，那么，由此可知， B ， C 两地相距 ______m. 【 解析 】 由题干图 , 易求得∠ C=30°, 且∠ BAC=30°, 所以 BC=AB=200m. 答案 : 200 【 变式备选 】 如图 , 某渔船在海面上朝正东方向匀速航行 , 在 A 处观测到灯塔 M 在北偏东 60° 方向上 , 航行半小时后到达 B 处 , 此时观测到灯塔 M 在北偏东 30° 方向上 , 那么该船继续航行 　　　 分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置 . 【 解析 】 作 MN⊥AB 于 N. 由题意知∠ MAB=30°,∠MBN=60°, ∴∠BMA=∠BAM=30°. 设该船的速度为 x, 则 BM=AB=0.5x. Rt△BMN 中 ,∠MBN=60°, 故该船需要继续航行的时间为 0.25x÷x=0.25(h)=15(min). 答案 : 15 5.(2013 · 黄石中考 ) 高考英语听力测试期间 , 需要杜绝考点周 围的噪音 . 如图 , 点 A 是某市一高考考点 , 在位于 A 考点南偏西 15° 方向距离 125 米的 C 点处有一消防队 . 在听力考试期间 , 消防 队突然接到报警电话 , 告知在位于 C 点北偏东 75° 方向的 F 点处 突发火灾 , 消防队必须立即赶往救火 . 已知消防车的警报声传播 半径为 100 米 , 若消防车的警报声对听力测试造成影响 , 则消防 车必须改道行驶 . 试问 : 消防车是否需要改道行驶 ? 说明理由 . ( 取 1.732) 【 解析 】 作 AB⊥CF, 垂足为 B ，由题意知∠ ACF=75°-15°=60°, 在 Rt△ABC 中， =108.25( 米 ), ∵108.25 ＞ 100,∴ 消防车不需要改道行驶 . 题组二： 测量物体的高度 1.(2013· 绵阳中考 ) 如图，在两建筑物 之间有一旗杆，高 15 米，从 A 点经过旗 杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角 C 点， 且俯角 α 为 60° ，又从 A 点测得 D 点的俯 角 β 为 30° ，若旗杆底端 G 为 BC 的中点， 则矮建筑物的高 CD 为 ( ) A.20 米 B. 米 C. 米 D. 米 【 解析 】 选 A. 过 D 作 DE 垂直于 AE ，如图 . 因为 AB⊥BC,GF⊥BC,GB=GC,GF=15 米 , 所以 AB=CE=30 米 . 在 Rt△GFC 中 ,∠FCG=60° ， GF=15 米 , 所以 ( 米 ), 所以 米 . 在 Rt△ADE 中 , ( 米 ) ， 所以 CD=CE-DE=20( 米 ). 2. 数学实践探究课中，老师布置同学 们测量学校旗杆的高度．小民所在的 学习小组在距离旗杆底部 10 m 的地方， 用测角仪测得旗杆顶端的仰角为 60° ， 则旗杆的高度是 ______m ． 【 解析 】 设旗杆高度为 x m ，所以 解得 答案： 【 名师点拨 】 解决实际问题列方程时常用的等量关系 利用三角函数解决实际问题时，常要列方程求解 , 列方程时常用的等量关系有： ①勾股定理 . ② 相似三角形的性质 . ③ 三角函数的定义等 . 3. 周末，小强在广场放风筝，如图， 小强为了计算风筝离地的高度，他 测得风筝的仰角为 60° ，已知风筝 线 BC 的长为 10 m ，小强的身高 AB 为 1.55 m ，请你帮小强画出测量示意图，并计算出风筝离地面的 高度． ( 结果精确到 1 m ，参考 ) 【 解析 】 如图，过点 C 作 CE∥AB ，交地面于点 E ，过点 B 作 BD⊥CE ，垂足为 D ，则∠ CDB ＝ 90° ，∠ CBD ＝ 60° ， DE ＝ AB ＝ 1.55 m ， ∴在 Rt△BCD 中， ∴风筝离地面的高度 CE ＝ CD+DE = +1.55≈5×1.73+1.55≈10(m). 答：风筝离地面的高度约为 10 m ． 4.(2013 · 乐山中考 ) 如图 , 山顶有一铁塔 AB 的高度为 20 米 , 为测量山的高度 BC, 在山脚点 D 处测得塔顶 A 和塔基 B 的仰角分别为 60° 和 45°, 求山的高度 BC.( 结果保留根号 ) 【 解析 】 ∵∠C=90° ，∠ BDC=45° ，则 CD=CB, 又∵∠ CDA=60° ， 整理得： 解得： 米 . 答：山的高度 BC 为 米 . 【 想一想错在哪？ 】 如图，甲楼 AB 的高度为 20 m ， 自甲楼楼顶 A 处，测得乙楼顶端 C 处的仰角为 30° ，测得乙楼 底部 D 处的俯角为 45° ，求乙楼 CD 的高度 .( 结果精确到 0.1 m ， ) 提示： 仰角和俯角都是视线与水平线的夹角，本题中的仰角不 是∠ C.