2020九年级数学下册 第26章实践与探索同步练习 5页

‎26.3　实践与探索 第2课时　二次函数实物或几何模型 知|识|目|标 ‎1．通过模拟、问题变式等，能把实物中的距离、高度、长度等问题转化为二次函数的问题，并加以解决．‎ ‎2．通过销售问题中的成本价、销售价、利润等关系，建立二次函数模型，借助二次函数的性质探究出最佳方案．‎ 目标一　能解决抛物线形实物模型问题 例1 教材问题2针对训练 如图26－3－4①所示是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1 m，拱桥的跨度为10 m，桥洞与水面的最大距离是5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中(如图②)．‎ ‎(1)求抛物线所对应的函数关系式；‎ ‎(2)求两盏景观灯之间的水平距离．‎ 图26－3－4‎ 5‎ ‎【归纳总结】利用二次函数解决拱桥类问题的步骤：‎ ‎(1)恰当地建立平面直角坐标系；‎ ‎(2)将已知条件转化为点的坐标；‎ ‎(3)合理地设出所求函数的关系式；‎ ‎(4)代入已知条件或点的坐标求出关系式；‎ ‎(5)利用关系式求解问题．‎ 目标二　能用二次函数探究销售中的最佳方案 例2 高频考题 超市的售货员小王对该超市苹果的销售情况进行了统计，每千克进价为2元的苹果每天的销售量y(千克)和当天的售价x(元/千克)之间满足y＝－20x＋200(3≤x≤5)，若要使销售该种苹果当天的利润达到最高，则其售价应为(　　)‎ A．5元/千克 B．4元/千克 C．3.5元/千克 D．3元/千克 例3 高频考题 为满足市场需求，某超市在端午节来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．‎ ‎(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围)；‎ ‎(2)当每盒售价定为多少元时，每天的销售利润P(元)最大？最大利润是多少？‎ ‎(3)为稳定物价，有关管理部门规定：这种粽子每盒的售价不得高于58元．如果超市想要每天销售粽子获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少需要销售粽子多少盒？‎ ‎【归纳总结】用二次函数探究销售中的最佳方案：‎ 此类问题一般是先利用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品的利润×‎ 5‎ 销售数量”建立利润与价格之间的函数关系式(一般是二次函数)，求出这个函数图象的顶点坐标，从而可得最大利润．同时还要注意实际问题中自变量的取值范围．‎ 知识点　二次函数在实际问题中的应用(2)‎ ‎1．抛物线形的实物在生活中也相当常见，如抛物线形的桥梁、隧道、涵洞等．解决问题的关键是根据实际情况建立平面直角坐标系，并把实物的尺寸转化成点的坐标，再根据具体情况应用二次函数的基本知识解决相关问题．‎ ‎2．根据实际生活中的问题列出二次函数关系式，如商品利润问题，应用二次函数的知识进行最优化决策．‎ ‎[点拨]注意：用二次函数探究销售中的最佳方案时，一定要考虑获取最佳方案时，自变量的取值是否在自变量的取值范围内．‎ 某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售价每千克不得高于60元，不得低于30元．当销售单价为x元/千克时，日销售量为(－2x＋200)千克．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元，则当销售单价为多少时，该公司日获利W(元)最大？最大获利是多少元？‎ 解：W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2x2＋260x－6450＝－2(x－65)2＋2000.‎ ‎∴当x＝65时，W最大，W最大值＝2000，‎ 即当销售单价为65元/千克时，该公司日获利最大，最大获利是2000元．‎ 找出以上解答过程中的错误，并进行改正．‎ 5‎ 教师详解详析 ‎【目标突破】‎ 例1　[解析] 本题已经建立了平面直角坐标系，于是：(1)依题意可以求得抛物线的顶点坐标，这样可以用顶点式设出抛物线所对应的函数关系式；(2)由于桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯，也就是说两盏景观灯的纵坐标都是4，这样利用(1)中求得的抛物线所对应的函数关系式得到一个一元二次方程，求解即可．‎ 解：(1)由题意可知抛物线的顶点坐标为(5，5)，与y轴的交点坐标是(0，1)．‎ 设抛物线所对应的函数关系式是y＝a(x－5)2＋5.‎ 把(0，1)代入y＝a(x－5)2＋5，得a＝－.‎ 所以所求抛物线对应的函数关系式为y＝－(x－5)2＋5(0≤x≤10)．‎ ‎(2)由已知条件得两盏景观灯的纵坐标都是4，‎ 所以4＝－(x－5)2＋5，‎ 即(x－5)2＝，解得x1＝，x2＝.‎ 因为－＝5(m)，‎ 所以两盏景观灯之间的水平距离为5 m.‎ 例2　[解析] A　设销售这种苹果所获得的利润为w元，‎ 则w＝(x－2)(－20x＋200)‎ ‎＝－20x2＋240x－400‎ ‎＝－20(x－6)2＋320，‎ ‎∴当x＜6时，w随x的增大而增大．‎ ‎∵3≤x≤5，‎ ‎∴当x＝5时，w取得最大值，即当售价为5元/千克时，销售该种苹果当天的利润达到最高．‎ 例3　解：(1)由题意，得y＝700－20(x－45)＝－20x＋1600.‎ ‎(2)P＝(x－40)(－20x＋1600)＝－20x2＋2400x－64000＝－20(x－60)2＋8000.‎ ‎∵x≥45，a＝－20＜0，‎ ‎∴当x＝60时，P最大值＝8000，‎ 即当每盒售价定为60元时，每天的销售利润P(元)最大，最大利润是8000元．‎ ‎(3)由－20(x－60)2＋8000＝6000，‎ 解得x1＝50，x2＝70.‎ ‎∵抛物线P＝－20(x－60)2＋8000的开口向下，‎ ‎∴当50≤x≤70时，该超市每天销售粽子的利润不低于6000元．‎ 又∵x≤58，‎ ‎∴50≤x≤58.‎ ‎∵在y＝－20x＋1600中，k＝－20＜0，‎ ‎∴y随x的增大而减小，‎ ‎∴当x＝58时，y最小值＝－20×58＋1600＝440，‎ 即超市每天至少需要销售粽子440盒．‎ 5‎ ‎【总结反思】‎ ‎[反思] ∵30≤x≤60，‎ ‎∴抛物线顶点的横坐标65不在自变量的取值范围内，‎ ‎∴W的最大值不是顶点的纵坐标．‎ 改正如下：由函数的增减性可知，当x＝60时，W有最大值，‎ W最大值＝－2×(60－65)2＋2000＝1950，‎ 即当销售单价为60元/千克时，该公司日获利最大，最大获利是1950元．‎ 5‎