九年级数学上册第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定第2课时正方形的判定作业课件新版北师大版 23页

第一章　特殊平行四边形 1.3　正方形的性质与判定 第2课时　正方形的判定 1 ．如果要证明平行四边形 ABCD 为正方形，那么我们需要在四边形 ABCD 是平行四边形的基础上，进一步证明 ( ) A ． AB ＝ BD 且 AC ⊥ BD B ．∠ A ＝ 90° 且 AB ＝ AD C ．∠ A ＝ 90° 且 AC ＝ BD D ． AC 和 BD 互相垂直平分 B 2 ．如图，在△ ABC 中，点 D ， E 分别是边 AB ， AC 的中点，将△ ADE 绕点 E 旋转 180° 得到△ CFE . (1) 求证：四边形 ADCF 是平行四边形； (2) 当△ ABC 满足什么条件时，四边形 ADCF 是正方形？请说明理由． 解： (1)∵△ CFE 是由△ ADE 绕点 E 旋转 180° 得到的，∴ A ， E ， C 三点共线， D ， E ， F 三点共线，且 AE ＝ CE ， DE ＝ FE ，故四边形 ADCF 是平行四边形 3 ．在四边形 ABCD 中， AC ， BD 相交于点 O ，下列条件能判定四边形 ABCD 是正方形的是 ( ) A ． OA ＝ OC ， OB ＝ OD B ． OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD C ． OA ＝ OC ， OB ＝ OD ， AC ＝ BD D ． OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD ， AC ⊥ BD D 4 ．如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成 ( ) A.22.5° 角 B ． 30° 角 C ． 45° 角 D ． 60° 角 C 5 ．如图，正方形 ABCD 的边长为 6 ，菱形 EFGH 的三个顶点 E ， G ， H 分别在正方形 ABCD 的边 AB ， CD ， DA 上，且 AH ＝ 2. 若 DG ＝ 2 ，求证：菱形 EFGH 为正方形． 证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ D ＝∠ A ＝ 90°.∵ 四边形 EFGH 是菱形，∴ HG ＝ HE .∵ DG ＝ AH ＝ 2 ，∴ Rt△ HDG ≌Rt△ EAH ，∴∠ DHG ＝∠ AEH . 又∵∠ AEH ＋∠ AHE ＝ 90° ，∴∠ DHG ＋∠ AHE ＝ 90° ，∴∠ GHE ＝ 90° ，∴菱形 EFGH 为正方形 6 ．已知矩形 ABCD ，下列条件中不能判定这个矩形是正方形的是 ( ) A ． AC ⊥ BD B ． AC ＝ BD C ． AC 平分∠ BAD D ．∠ ADB ＝∠ ABD B 7 ． ( 齐齐哈尔中考 ) 矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，请你添加一个适当的条件 __________________________ ，使其成为正方形． ( 只填一个即可 ) AB ＝ BC ( 答案不唯一 ) 8 ．如图，等边△ AEF 的顶点 E ， F 在矩形 ABCD 的边 BC ， CD 上，且∠ CEF ＝ 45°. 求证：矩形 ABCD 是正方形． 解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ B ＝∠ D ＝∠ C ＝ 90° ，∵△ AEF 是等边三角形，∴ AE ＝ AF ，∠ AEF ＝∠ AFE ＝ 60° ，∵∠ CEF ＝ 45° ，∴∠ CFE ＝∠ CEF ＝ 45° ，∴∠ AFD ＝∠ AEB ＝ 180° － 45° － 60° ＝ 75° ，∴△ AEB ≌△ AFD (AAS) ，∴ AB ＝ AD ，∴矩形 ABCD 是正方形 9 ． (2019 · 抚顺 ) 如图， AC ， BD 是四边形 ABCD 的对角线，点 E ， F 分别是 AD ， BC 的中点，点 M ， N 分别是 AC ， BD 的中点，连接 EM ， MF ， FN ， NE ，要使四边形 EMFN 为正方形，则需添加的条件是 ( ) A. AB ＝ CD ， AB ⊥ CD B ． AB ＝ CD ， AD ＝ BC C ． AB ＝ CD ， AC ⊥ BD D ． AB ＝ CD ， AD ∥ BC A 10 ． (2019 · 北京 ) 在矩形 ABCD 中， M ， N ， P ， Q 分别为边 AB ， BC ， CD ， DA 上的点 ( 不与端点重合 ) ，对于任意矩形 ABCD ，下面四个结论中： ① 存在无数个四边形 MNPQ 是平行四边形；②存在无数个四边形 MNPQ 是矩形；③存在无数个四边形 MNPQ 是菱形；④至少存在一个四边形 MNPQ 是正方形． 所有正确结论的序号是 _____________ ． ①②③ 11 ．如图，在四边形 ABCD 中， AB ＝ BC ，对角线 BD 平分∠ ABC ， P 是 BD 上一点，过点 P 作 PM ⊥ AD ， PN ⊥ CD . 垂足分别为 M ， N . (1) 求证：∠ ADB ＝∠ CDB ； (2) 若∠ ADC ＝ 90° ，求证：四边形 MPND 是正方形． 解： (1)∵ BD 平分∠ ABC ，∴∠ ABD ＝∠ CBD . 又∵ BA ＝ BC ， BD ＝ BD ，∴△ ABD ≌△ CBD (SAS) ，∴∠ ADB ＝∠ CDB 　 (2)∵ PM ⊥ AD ， PN ⊥ CD ，∴∠ PMD ＝∠ PND ＝ 90°. 又∵∠ ADC ＝ 90° ，∴四边形 MPND 是矩形．∵∠ ADB ＝∠ CDB ， PM ⊥ AD ， PN ⊥ CD ，∴ PM ＝ PN .∴ 四边形 MPND 是正方形 12 ．如图，在 ▱ ABCD 中， E ， M 分别为 AD ， AB 的中点， DB ⊥ AD ，延长 ME 交 CD 的延长线于点 N ，连接 AN ， DM . (1) 求证：四边形 AMDN 是菱形； (2) 若∠ DAB ＝ 45° ，判断四边形 AMDN 的形状，请直接写出答案． 解： (1)∵ E ， M 分别为 AD ， AB 的中点，∴ AE ＝ DE ， ME ∥ BD . 又∵ DB ⊥ AD ，∴ AD ⊥ ME .∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，∴ CD ∥ AB ，即 ND ∥ AM ，∴∠ DNE ＝∠ AME ，∠ NDE ＝∠ MAD . 又∵ AE ＝ DE ，∴△ NDE ≌△ MAE ，∴ ND ＝ AM ，∴四边形 AMDN 是平行四边形．又∵ AD ⊥ ME ，∴ ▱ AMDN 是菱形　 (2) 四边形 AMDN 是正方形，理由如下：∵ AD ⊥ MN ，∠ DAB ＝ 45° ，∴∠ EMA ＝∠ DAM ＝ 45° ，∴ AE ＝ EM ，∴ AD ＝ MN ，∴菱形 ABCD 是正方形 13 ． (1) 如图①，矩形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 O ，过点 D 作 DP ∥ OC ，且 DP ＝ OC ，连接 CP ，判断四边形 CODP 的形状，并说明理由； (2) 如图②，如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？请说明理由； (3) 如图③，如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？请说明理由． 解： (1) 菱形．理由：先证四边形 CODP 为平行四边形，再证 OD ＝ OC 即可　 (2) 矩形．理由：先证四边形 CODP 为平行四边形，再证∠ COD ＝ 90° 即可　 (3) 正方形．理由：先证四边形 CODP 为平行四边形，再证 OD ＝ OC ，∠ COD ＝ 90° 即可