- 1.25 MB
- 2021-11-11 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
1.3
正方形的性质与判定
第一章 特殊平行四边形
第
1
课时 正方形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1.了解正方形
的
定义及其与平行四边形的关系
.
2.探索并证明正方形
的性质定理
.(重点)
3.应用正方形
的性质定理解决相关问题
.(难点)
学习目标
活动
:
观察这些图片,你什么发现?正方形四条边有什么关系?四个角呢?
导入新课
正方形的定义
一
活动
1
:
准备一张矩形的纸片,按照下图折叠
,
然后展开,得到一个四边形
.
问题
1
:
折叠后得到的特殊四边形是什么四边形?
正方形
讲授新课
活动
2
:
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角,观察这时菱形框架的形状
.
问题
2
:
经过变化后得到特殊四边形是什么四边形?
有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
.
正方形
正方形的性质探究和证明
二
A
B
C
D
填一填:
角:
边:
对角线:
对称性:
四个角都是直角
.
四条边相等
.
对角线相等且互相垂直平分
.
a
a
a
a
轴对称图形(
4
条对称轴)
.
1.
正方形的四个角都是直角
,
四条边相等
.
2.
正方形的对角线相等且互相垂直平分
.
定理
已知:如右图
,
四边形
ABCD
是正方形
.
求证:正方形
ABCD
四边相等
,
四个角都是直角
.
A
B
C
D
证明:∵四边形
ABCD
是正方形
.
∴∠
A
=90°
,
AB
=
AC
.
(正方形的定义)
又∵正方形是平行四边形
.
∴
正方形是矩形
,
(矩形的定义)
正方形是菱形
.(
菱形的定义
)
∴∠
A
=∠
B
=∠
C
=∠
D
=
90°
,
AB
=
BC
=
CD
=
AD
.
定理证明
已知:如右图
,
四边形
ABCD
是正方形
.
对角线
AC
、
BD
相交于点
O
.
求证
:
AO
=
BO
=
CO
=
DO
,
AC
⊥
BD
.
A
B
C
D
O
请同学们动手完成以上证明?
提示:
可以先通过证明来得到正方形是矩形、菱形,然后利用矩形和菱形的定理来完成该题
.
想一想:
正方形是矩形吗?是菱形吗?
矩形
菱形
正方形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形
,
也是特殊的矩形
,
也是特殊的菱形
.
所以平行四边形、矩形、菱形有的性质
,
正方形都有
.
归纳
归纳结论
正方形
对角线
边
边
对角线
对角线
角
对边平行且相等
相互平分
相等
四个角相等都是
90°
相互垂直且
平分对角
四边相等
对称性
轴对称图形(
4
条对称轴)
例
1
:
如图在正方形
ABCD
中
,
E
为
CD
上一点,
F
为
BC
边延长线上一点
,
且
CE
=
CF
.
BE
与
DF
之间有怎样的关系?请说明理由
.
正方形性质定理的应用
三
典例精析
解:
BE
=
DF
,
且
BE
⊥
DF
.理由如下:
(1)∵四边形
ABCD
是正方形.
∴
BC
=
DC
,
∠
BCE
=90° .
(正方形的四条边都相等
,
四个角都是直角)
∴∠
DCF
=180°
-
∠
BCE
=180°
-
90°=90°.
A
B
D
C
F
E
A
B
D
F
E
∴∠
BCE
=∠
DCF
.
又∵
CE
=
CF
.
∴△
BCE
≌
△
DCF
.
∴
BE
=
DF
.
(2)
延长
BE
交
DE
于点
M
,
∵
△
BCE
≌
△
DCF
,
∴∠
CBE
=
∠
CDF
.
∵∠
DCF
=90°
,
∴∠
CDF
+
∠
F
=90°.∴∠
CBE
+
∠
F
=90°
,
∴∠
BMF
=90°.
∴
BE
⊥
DF
.
C
M
例
2
:
如图,已知四边形
ABCD
是正方形
,
对角线
AC
与
BD
相交于点
O
,
MN
∥
AB
,
且分别于
OA
,
OB
相交于点
M
,
N
.
求证
:(
1
)
BM
=
CN
;
(
2
)
BM
⊥
CN
.
A
B
C
D
O
M
N
证明:(1)∵
MN
∥
AB
.
∴∠1
=∠2
=∠3
=∠4
=
45°.
∴
OM
=
ON
.
∵
OA
=
OB
,
∴
OA
-
OM
=
OB
-
ON
,
AM
=
BN
.
又∵∠
2
=∠
NBC
,
AB
=
BC
.
∴
△
ABM
≌
△
BCN
(
SAS
) ∴
BM
=
CN
.
1
2
3
4
A
B
C
D
O
M
N
(2)
延长
CN
交线段
MB
于点
Q
.
∵
△
ABM
≌
△
BCN
.
∴
∠
6=
∠
8.
∵∠
OCB
=∠
ABO
=45°.
∴
∠
5=
∠
7.
又∵∠
ONC
=
∠
QNB
.
∴
180°
-
∠5
-
∠
ONC
= 180°
-
∠7
-
∠
QNB
,
∠
CON
=∠
NQB
= 90°.
∴
BM
⊥
CN
.
Q
5
7
6
8
1
.在正方形
ABC
中
,
∠
ADB
=
,
∠
DAC
=
,
∠
BOC
=
.
2.
在正方形
ABCD
中,
E
是对角线
AC
上一点,且
AE=AB
,则∠
EBC
的度数是
.
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
45°
90°
22.5°
第
1
题
第
2
题
45°
当堂练习
3.
如图,已知正方形
ABCD
,
以
AB
为边向正方形外作等边△
ABE
,
连结
DE
、
CE
,
求∠
DEC
的度数
.
D
A
E
B
C
解:∵△
ABE
是等边三角形
.
∴
AB
=
AE
=
BE
,
∠
ABE
=∠
BEA
=∠
EAB
=60°.
又∵四边形
ABCD
是正方形
.
∴
AD
=
BC
=
AE
=
BE
,
∠
DAB
=
∠
ABC
=90°.
∴∠
DAE
=
∠
CBE
=150°.
∴∠
AED
=
∠
EDA
=
∠
CEB
=∠
BCE
=15°.
∴∠
DEC
=
∠
AEB
-
∠
AED
-
∠
CEB
=30°.
1.
四个角都是直角
2.
四条边都相等
3.
对角线相等且互相垂直平分
正方形
性质
定义
有一组邻相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
课堂小结