2020年秋九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 11页

1 第 3 章 圆的基本性质 3.8 弧长及扇形的面积 第 2 课时 扇形面积的相关计算 知识点 1 扇形的面积 1．半径为 6，圆心角为 60°的扇形的面积是( ) A．3π B．6π C．9π D．12π 2．2017·温州已知扇形的面积为 3π，圆心角为 120°，则它的半径为________． 3．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，那么半径为 2 的“等边扇形”的面积为( ) A．π B．1 C．2 D.2 3 π 4．若扇形的面积为 15π cm2，半径为 5 3 cm，则这个扇形的圆心角的度数为________． 5．杭州市某中学的铅球场如图 3－8－11 所示，已知扇形 AOB 的面积是 36 m2，弧 AB 的长度为 9 m，那么半径 OA 为________m. 图 3－8－11 图 3－8－12 6．如图 3－8－12，在 3×3 的方格中(共有 9 个小方格)，每个小方格都是边长为 1 的 正方形，O，B，C 是格点，则扇形 OBC 的面积等于________(结果保留π)． 7．已知扇形的圆心角为 120°，面积为 25 3π cm2，求扇形的弧长． 2 知识点 2 弓形的面积 8．如图 3－8－13，一个圆心角为 90°的扇形，半径 OA＝2，那么图中阴影部分的面积 为________(结果保留π)． 图 3－8－13 图 3－8－14 9．如图 3－8－14，AB 是⊙O 的直径，弦 AC＝2，∠ABC＝30°，则图中阴影部分的面积 是________． 知识点 3 不规则图形的面积 10．如图 3－8－15，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，以点 B 为圆心， BC 的长为半径作弧，交 AB 于点 D，则阴影部分的面积是( ) A．2 3－2 3 π B．4 3－2 3 π C．2 3－4 3 π D.2 3 π 图 3－8－15 图 3－8－16 11．课本例 3 变式如图 3－8－16，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹 角为 120°，竹条 AB 的长为 25 cm，贴纸部分的宽 BD 为 15 cm，若纸扇两面贴纸，则一面 3 贴纸的面积为________cm2(结果保留π)． 12．如图 3－8－17，在⊙O 中，直径 AB＝2，CA⊥AB，BC 交⊙O 于点 D.若∠C＝45°， 则： (1)BD 的长是________； (2)求阴影部分的面积． 图 3－8－17 13．如图 3－8－18，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2 3，则阴影 部分的面积为( ) A．2π B．π C.π 3 D.2π 3 图 3－8－18 图 3－8－19 14．用等分圆周的方法，在半径为 1 的圆中画出如图 3－8－19 所示的图形，则图中阴 影部分的面积为________． 15．如图 3－8－20①，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图②所示的扇形 AOB. 已知 OA＝6，取 OA 的中点 C，过点 C 作 CD⊥OA 交AB︵于点 D，F 是AB︵上一点，若将扇形 BOD 沿 OD 翻折，点 B 恰好与点 F 重合．用剪刀沿着线段 BD，DF，FA 依次剪下，则剪下的纸片(阴 影图形)面积之和为__________． 4 图 3－8－20 16．如图 3－8－21 所示，已知菱形 ABCD 的边长为 1.5 cm，B，C 两点在扇形 AEF 的EF︵上， 求BC︵的长度及扇形 ABC 的面积． 图 3－8－21 17．如图 3－8－22①是某公园一块草坪上的自动旋转喷水装置，这种旋转喷水装置的 旋转角度为 240°，它的喷灌区是一个扇形．小涛同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积， 他测量出了相关数据，并画出了示意图(如图②)，A，B 两点的距离为 18 m，求这种装置能 够喷灌的草坪面积． 图 3－8－22 5 18．如图 3－8－23 所示，已知 AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB⊥CD 于点 E，OF⊥AC 于 点 F，BE＝OF. (1)求证：OF∥BC； (2)求证：△AFO≌△CEB； (3)若 EB＝5 cm，CD＝10 3 cm，设 OE＝x cm，求 x 的值及阴影部分的面积． 图 3－8－23 19．如图 3－8－24，在直角坐标系中放置一个边长为 1 的正方形 ABCD，将正方形 ABCD 沿 x 轴的正方向无滑动的在 x 轴上滚动，当点 A 离开原点后第一次落在 x 轴上时，点 A 运动 的路径线与 x 轴 图 3－8－24 围成图形的面积为( ) 6 A.π 2 ＋1 2 B.π 2 ＋1 C．π＋1 D．π＋1 2 7 详解详析 1．B 2．3 [解析] 设半径为 r，由题意，得120πr2 360 ＝3π，解得 r＝3. 3．C [解析] 根据扇形面积公式得 S＝1 2 lr＝1 2 r2＝2. 4．72° 5．8 [解析] S 扇形＝1 2 lR，∴1 2 ×9×R＝36， ∴R＝8. 6.5 4 π 7．解：∵扇形的圆心角为 120°，面积为 25 3π cm2， ∴120π×R2 360 ＝ 25 3π ， ∴πR＝5， ∴l＝120πR 180 ＝10 3 cm. 即扇形的弧长为10 3 cm. 8．π－2 [解析] ∵S 扇＝nπr2 360 ＝90×π×22 360 ＝π，S△AOB＝1 2 OA·OB＝1 2 ×2×2＝2， ∴阴影部分的面积＝S 扇－S△AOB＝π－2. 9.4π－3 3 3 [解析] 连结 OC，过点 C 作 CH⊥AB 于点 H. ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∵∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4，∠AOC＝2∠B＝60°，∴∠BOC＝120°，CH＝ 3， ∴S 弓形＝S 扇形 OBC－S△BOC＝120π·OB2 360 －1 2 OB·CH＝4π 3 －1 2 ×2× 3＝4π－3 3 3 . 8 10．A [解析] ∵在 Rt△ABC 中，∠A＝30°，BC＝2， ∴AB＝4，∠B＝60°，∴AC＝2 3， ∴S 阴影＝S△ABC－S 扇形 CBD＝1 2 ×2 3×2－60π×22 360 ＝2 3－2 3 π. 11．175π [解析] 设 AB＝R，AD＝r， 则 S 贴纸＝1 3 πR2－1 3 πr2＝1 3 π(R2－r2)＝1 3 π(R＋r)(R－r)＝1 3 ×(25＋10)×(25－10)π＝ 175π(cm2)． 即一面贴纸的面积为 175π cm2. 12．解：(1) 2 (2)连结 AD. ∵AB 是⊙O 的直径，∴AD⊥BC. 又∵∠C＝45°，AC⊥AB，∴∠B＝45°， ∴△ACD，△ABD 均是等腰直角三角形， ∴AD＝BD＝ 2， ∴弓形 BD 的面积＝弓形 AD 的面积， ∴阴影部分的面积＝△ADC 的面积＝1 2 ×( 2)2＝1. 13．D [解析] 如图，连结 OD. ∵CD⊥AB， ∴CE＝DE＝1 2 CD＝ 3(垂径定理)， 故 S△OCE＝S△ODE， 即可得阴影部分的面积等于扇形 OBD 的面积． 9 又∵∠CDB＝30°， ∴∠COB＝60°(圆周角定理)， ∴OC＝2. ∵OC＝OD，CD⊥OB， ∴∠BOD＝∠COB＝60°， ∴S 扇形 OBD＝60π×22 360 ＝2π 3 ，即阴影部分的面积为2π 3 .故选 D. 14．π－3 3 2 [解析] 如图，连结 OA，OP，AP，则△OAP 的面积是 3 4 ，扇形 POA 的面 积是60π×12 360 ＝π 6 ， ∴弓形 OA 的面积和弓形 AP 的面积都是π 6 － 3 4 ， ∴阴影部分的面积是 3×2× π 6 － 3 4 ＝π－3 3 2 . 15．9π－27 [解析] 由题意，得∠DOB＝30°， ∴△DOB 的面积为1 2 ×6×3＝9. ∴剪下的纸片(阴影图形)面积之和为π×62 4 －3×9＝9π－27. 16∵四边形 ABCD 是菱形且边长为 1.5 cm， ∴AB＝BC＝1.5 cm. 又∵B，C 两点在扇形 AEF 的EF︵上， ∴AB＝BC＝AC＝1.5 cm， ∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC＝60°， 10 ∴BC︵的长＝60π×1.5 180 ＝π 2 (cm)， S 扇形 ABC＝1 2 lR＝1 2 ×π 2 ×1.5＝3 8 π(cm2)． 17．解：如图，过点 O 作 OC⊥AB 于点 C. ∵OC⊥AB，AB＝18 m， ∴AC＝1 2 AB＝9 m. ∵OA＝OB，∠AOB＝360°－240°＝120°， ∴∠AOC＝1 2 ∠AOB＝60°. 在 Rt△OAC 中，OA2＝OC2＋AC2， 又∵OC＝1 2 OA， ∴r＝OA＝6 3 m， ∴S＝240 360 πr2＝72π(m2)． 18．(1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. 又∵OF⊥AC 于点 F，∴∠AFO＝90°， ∴∠ACB＝∠AFO， ∴OF∥BC. (2)证明：由(1)知，∠CAB＋∠ABC＝90°. ∵AB⊥CD， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE＋∠BCE＝90°， 11 ∴∠CAB＝∠BCE. 又∵∠AFO＝∠CEB，OF＝BE， ∴△AFO≌△CEB. (3)∵AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB⊥CD 于点 E， ∴∠OEC＝90°，EC＝1 2 CD＝1 2 ×10 3＝5 3(cm)． 在 Rt△OCE 中， OE＝x cm，OB＝OC＝(5＋x)cm. 由勾股定理，得 OC2＝EC2＋OE2，即(5＋x)2＝(5 3)2＋x2，解得 x＝5， 即 OE＝5 cm，OC＝10 cm. 在 Rt△OCE 中， OC＝2OE，故∠OCE＝30°， ∴∠COE＝60°. 由圆的轴对称性可知阴影部分的面积为 S 阴影＝2(S 扇形 OBC－S△OEC) ＝2×(60π×102 360 －1 2 ×5 3×5) ＝(100π 3 －25 3)cm2. 19．C [解析] 如图所示，点 A 运动的路径线与 x 轴围成图形的面积＝S 扇形 BAA1＋S 扇形 CA1A2 ＋S 扇形 DA2A3＋2S△A1BC＝90π×12 360 ＋90π×（ 2）2 360 ＋90π×12 360 ＋ 2×1 2 ×1×1 ＝π＋1.