2020年秋九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 10页

1 第 3 章　圆的基本性质 3.3　垂径定理 第 2 课时　垂径定理的逆定理 知识点 1　垂径定理的逆定理 1．如图 3－3－15 所示，填写你认为正确的结论． (1)若 MN⊥AB，垂足为 C，MN 为直径，则________，________，________； (2)若 AC＝BC，MN 为直径，AB 不是直径，则________，________，________； (3)若 MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；　 (4)若AM︵ ＝BM︵ ，MN 为直径，则_________， ____________，____________． 图 3－3－15 　　 图 3－3－16 2．如图 3－3－16，AB 为⊙O 的一条弦，OE 平分劣弧 AB，交 AB 于点 D，OA＝13，AB＝ 24，则 OD＝________. 3．如图 3－3－17，AB 是半圆 O 的直径，E 是弧 BC 的中点，OE 交弦 BC 于点 D.已知 BC＝ 12 cm, DE＝2 cm，则 AB 的长为________cm. 图 3－3－17 2 　　 图 3－3－18 4．如图 3－3－18，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，AB 与 CD 相交于点 M.从以下 4 个条件中 任取一个，其中能得到 CD⊥AB 的有(　　) ①AM＝BM；②OM＝CM；③AC︵ ＝BC︵ ； ④AD︵ ＝BD︵ . A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 5．如图 3－3－19，D 是⊙O 的弦 BC 的中点，A 是⊙O 上一点，OA 与 BC 相交于点 E，已 知 OA＝8，BC＝12.求线段 OD 的长． 图 3－3－19 知识点 2　垂径定理的逆定理的应用 6．如图 3－3－20， 图 3－3－20 3 一条公路弯道处是一段圆弧 AB，点 O 是这条弧所在圆的圆心，C 是AB︵ 的中点，OC 与 AB 相交于点 D.已知 AB＝120 m，CD＝20 m，那么这段弯道所在圆的半径为(　　) A．200 m B．200 3 m C．100 m D．100 3 m 7．如图 3－3－21，已知某桥的跨径为 40 m，拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为 8 m，求该桥的桥拱所在圆的半径． 图 3－3－21 8．如图 3－3－22，AB，AC 是⊙O 的两条弦，BC 与 AD 相交于点 E，AD 是⊙O 的一条直 径，BD︵ ＝CD︵ ，下列结论中不一定正确的是(　　) A.AB︵ ＝DB︵ B．BE＝CE C．BC⊥AD D．∠B＝∠C 图 3－3－22 　　　 图 3－3－23 9.如图 3－3－23，⊙O 的直径 AB 与弦 CD(不是直径)相交于点 E，且 CE＝DE，∠A＝30 °，OC＝4，那么 CD 的长为(　　) A．2 3 B．4 C．4 3 D．8 4 10．A，C 为半径是 3 的圆周上两点，B 为AC︵ 的中点，以线段 BA，BC 为邻边作菱形 ABCD， 顶点 D 恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为(　　) A. 5或 2 2 B. 5或 2 3 C. 6或 2 2 D. 6或 2 3 11．已知⊙O 的半径为 2，弦 BC＝2 3，A 是⊙O 上一点，且 AB＝AC，直线 AO 与 BC 相 交于点 D，则 AD 的长为________． 12．如图 3－3－24，AB，AC 是内接于⊙O 的两条弦，M，N 分别为AB︵ ，AC︵ 的中点，MN 分 别交 AB，AC 于点 E，F.判断三角形 AEF 的形状并给予证明． 图 3－3－24 13．2016 年国庆期间，台风“艾利”来袭，宁波余姚被雨水围攻．如图 3－3－25，当 地一拱桥为圆弧形，跨度 AB＝60 m，拱高 PM＝18 m，当洪水泛滥，水面跨度缩小到 30 m 时 要采取紧急措施，当时测量人员测得水面 A1B1 到拱顶的距离只有 4 m，问是否要采取紧急措 施？请说明理由． 图 3－3－25 5 14．如图 3－3－26 所示，隧道的截面由圆弧 AED 和矩形 ABCD 构成，矩形的长 BC 为 12 m，宽 AB 为 3 m，隧道的顶端 E(圆弧 AED 的中点)高出道路(BC)7 m. (1)求圆弧 AED 所在圆的半径； (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高 6.5 m，宽 2.3 m，问这辆货运卡车能 否通过该隧道？ 图 3－3－26 6 详解详析 1．(1)AC＝BC　AN︵ ＝BN︵ 　AM︵ ＝BM︵ (2)MN⊥AB　AN︵ ＝BN︵ 　AM︵ ＝BM︵ (3)MN 过圆心　AN︵ ＝BN︵ 　AM︵ ＝BM︵ (4)AN︵ ＝BN︵ 　AC＝BC　MN⊥AB [解析] (1)由垂径定理可知； (2)由结论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧； (4)平分弧的直径垂直平分弧所对的弦． 2．5　3.20 4．C 5．解：连结 OB. ∵OD 过圆心，且 D 是弦 BC 的中点， ∴OD⊥BC，BD＝ 1 2BC＝6. ∵在 Rt△BOD 中，OD2＋BD2＝OB2. OB＝OA＝8，BD＝6， ∴OD＝2 7(负值已舍去)． 6．C　[解析] 如图，连结 OA. ∵C 是AB︵ 的中点，OC 与 AB 相交于点 D， 7 ∴AB⊥OC，AD＝ 1 2AB＝ 1 2×120＝60(m)． 在 Rt△AOD 中，有 OA2＝AD2＋OD2， 设 OA＝r m，则 OD＝r－CD＝(r－20)m， ∴r2＝602＋(r－20)2，解得 r＝100. 7．解：如图，设桥的跨径为 AB，拱高为 CD，桥拱所在圆的圆心为 O，连结 OD，易得 C，D，O 三点在同一直线上，且 OC⊥AB.由题意得 AB＝40 m，CD＝8 m，则 AD＝BD＝ 1 2AB＝20 m，OD＝OC－CD. 设该桥的桥拱所在圆的半径为 R m， 则在 Rt△AOD 中， 由勾股定理得 R2＝202＋(R－8)2， 解得 R＝29，即桥拱所在圆的半径为 29 m. 8．A 9．C　[解析] ∵⊙O 的直径 AB 与弦 CD(不是直径)相交于点 E，且 CE＝DE， ∴AB⊥CD. ∵∠A＝30°， ∴∠COB＝60°， ∴OE＝ 1 2OC＝2， ∴CE＝ 42－22＝2 3， ∴CD＝4 3.故选 C. 10．D　[解析] 分两种情况讨论：如图①所示，当对角线 BD＝2 时，连结 OA，AC，AC 交 BD 于点 E，则 AE⊥BD，BE＝ED＝1，OE＝2，根据勾股定理，得 AE2＝OA2－OE2＝9－4＝5，AD2 ＝AE2＋ED2＝6，∴AD＝ 6，即菱形的边长为 6；如图②所示，当对角线 BD＝4 时，同理， 有 OE＝OD＝1，由勾股定理，得 AE2＝OA2－OE2＝9－1＝8， AD2＝AE2＋ED2＝12，∴ AD＝2 8 3，即菱形的边长为 2 3.综上可知，该菱形的边长为 6或 2 3. 11．1 或 3　[解析] 如图所示： ∵⊙O 的半径为 2，弦 BC＝2 3，A 是⊙O 上一点，且 AB＝AC，∴AB︵ ＝AC︵ ， ∴AD⊥BC，∴BD＝ 1 2BC＝ 3. 在 Rt△OBD 中，∵BD2＋OD2＝OB2， 即( 3)2＋OD2＝22，解得 OD＝1， ∴当如图①所示时，AD＝OA－OD＝2－1＝1； 当如图②所示时，AD＝OA＋OD＝2＋1＝3. 故答案为 1 或 3. 12．解：△AEF 是等腰三角形． 证明：如图，连结 OM，ON，分别交 AB，AC 于点 P，Q. ∵M，N 分别为AB︵ ，AC︵ 的中点， 9 ∴OM⊥AB，ON⊥AC， ∴∠MPE＝∠NQF＝90°， ∴∠PEM＝90°－∠M，∠QFN＝90°－∠N. ∵OM＝ON，∴∠M＝∠N， ∴∠PEM＝∠QFN. 又∵∠AEF＝∠PEM，∠AFE＝∠QFN， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF， 即△AEF 是等腰三角形． 13．解：不需要采取紧急措施． 理由：如图，设圆弧所在圆的圆心为 O，连结 OA，OA1，OM，易知 O，M，P 三点共线， 设 OP 交 A1B1 于点 N. ∵AM＝ 1 2AB＝30 m，PM＝18 m， ∴在 Rt△AOM 中，AO2＝302＋(AO－18)2，解得 AO＝34(m)． ∵PN＝4 m， ∴NO＝34－4＝30(m)， ∴A1N＝ A1O2－NO2＝ 342－302＝16(m)， ∴A1B1＝2A1N＝32 m>30 m， ∴不需要采取紧急措施． 14．解：(1)如图①，设圆弧 AED 所在圆的圆心为点 O，半径为 R m，连结 OE 交 AD 于点 F，连结 OA，OD. 由垂径定理的逆定理，得 OF 垂直平分 AD，AF＝6 m，OF＝R－(7－3)＝(R－4)cm. 在 Rt△AOF 中，由勾股定理，得 AF2＋OF2＝OA2， 10 即 62＋(R－4)2＝R2， 解得 R＝6.5， 即圆弧 AED 所在圆的半径为 6.5 m. 　　 (2)如图②， 由题意易知 GH＝2.3 m，GH⊥OE，圆弧AED︵ 所在圆的半径 OH＝6.5 m. 在 Rt△OGH 中，由勾股定理，得 OG＝ 6.52－2.32≈6.08(m)， 点 G 与 BC 的距离为 7－6.5＋6.08＝6.58(m)＞6.5 m，故这辆货运卡车能通过该隧道．