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- 2021-11-11 发布
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人教
数
学
第七章 图形的变化
第
33
讲 用坐标表示图形变换
要点梳理
1
.
平面直角坐标系
在平面内具有
而且
的两条数轴
,
就构成了平面直角坐标系
,
简称坐标系.建立了直角坐标系的平面叫坐标平面
,
x
轴与
y
轴把坐标平面分成四个部分
,
称为四个象限
,
按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.
公共原点
互相垂直
要点梳理
各象限内和坐标轴上的点的坐标规律
第一象限:
(
+
,
+
)
;
第二象限:
(
-
,
+
)
;
第三象限:
(
-
,
-
)
;
第四象限:
(
+
,
-
)
;
x
轴正方向:
(
+
,
0)
;
x
轴负方向:
(
-
,
0)
;
y
轴正方向:
(0
,
+
)
;
y
轴负方向:
(0
,
-
)
;
x
轴上的点的纵坐标为
0
;
y
轴上的点的横坐标为
0
;
原点坐标为
(0
,
0)
.
要点梳理
2
.
建立了坐标系的平面
,
有序实数对与坐标平面内的点
.
3
.
对称点坐标的规律
(1)
坐标平面内
,
点
P
(
x
,
y
)
关于
x
轴
(
横轴
)
的对称点
P
1
的坐标为
;
(2)
坐标平面内
,
点
P
(
x
,
y
)
关于
y
轴
(
纵轴
)
的对称点
P
2
的坐标为
;
(3)
坐标平面内
,
点
P
(
x
,
y
)
关于原点的对称点
P
3
的坐标为
.
可用口诀记忆:关于谁轴对称谁不变
,
关于原点对称都要变.
一一对应
(
x
,
-
y
)
(-
x
,
y
)
(-
x
,
-
y
)
要点梳理
4
.
平移前后
,
点的坐标的变化规律
(1)
点
(
x
,
y
)
左移
a
个单位长度:
(
x
-
a
,
y
)
;
(2)
点
(
x
,
y
)
右移
a
个单位长度:
(
x
+
a
,
y
)
;
(3)
点
(
x
,
y
)
上移
a
个单位长度:
(
x
,
y
+
a
)
;
(4)
点
(
x
,
y
)
下移
a
个单位长度:
(
x
,
y
-
a
)
.
可用口诀记忆:正向右负向左
,
正向上负向下.
一个思想
本讲中比较广泛地应用数形结合的思想来研究问题.数形结合
,
直观形象
,
为分析问题和解决问题创造了有利条件
,
如用点的位置解答相关问题是典型的数形结合思想的应用.
四种定位方法
(1)
方位角定位法;
(2)
方向角距离定位法;
(3)
数轴法;
(4)
直角坐标系法.
1
.
(
2014
·
南通
)
点
P(2
,
-
5)
关于
x
轴对称的点的坐标为
(
)
A
.
(
-
2
,
5)
B
.
(2
,
5)
C
.
(
-
2
,
-
5) D
.
(2
,
-
5)
B
2
.
(
2014
·
绵阳
)
线段
EF
是由线段
PQ
平移得到的,
点
P(
-
1
,
4)
的对应点为
E(4
,
7)
,
则点
Q(
-
3
,
1)
的对应点
F
的坐标为
(
)
A
.
(
-
8
,
-
2)
B
.
(
-
2
,
-
2)
C
.
(2
,
4)
D
.
(
-
6
,
-
1)
C
3
.
(
2014·
海南
)
如图
,
△
ABC
与
△
DEF
关于
y
轴对称
,
已知
A
(
-
4
,
6
)
,
B
(
-
6
,
2
)
,
E
(
2
,
1
)
,
则点
D
的坐标为
(
)
A
.
(
-
4
,
6
)
B
.
(
4
,
6
)
C
.
(
-
2
,
1
)
D
.
(
6
,
2
)
B
4
.
(
2014
·
聊城
)
如图
,在平面直角坐标系中,将
△
ABC
绕点
P
旋转
180°
,得到
△
A
1
B
1
C
1
,
则点
A
1
,
B
1
,
C
1
的坐标分别为
(
)
A
.
A
1
(
-
4
,
-
6)
,
B
1
(
-
3
,
-
3)
,
C
1
(
-
5
,
-
1)
B
.
A
1
(
-
6
,
-
4)
,
B
1
(
-
3
,
-
3)
,
C
1
(
-
5
,
-
1)
C
.
A
1
(
-
4
,
-
6)
,
B
1
(
-
3
,
-
3)
,
C
1
(
-
1
,
-
5)
D
.
A
1
(
-
6
,
-
4)
,
B
1
(
-
3
,
-
3)
,
C
1
(
-
1
,
-
5)
A
5
.
(
2014
·
漳州
)
如图
,
在
5
×
4
的方格纸中
,
每个小正方形边长为
1
,
点
O
,
A
,
B
在方格纸的交点
(
格点
)
上
,
在第四象限内的格点上找点
C
,
使
△
ABC
的面积为
3
,
则这样的点
C
共有
(
)
A
.
2
个
B
.
3
个
C
.
4
个
D
.
5
个
B
平面直角坐标系与点的坐标
【
例
1】
(
2014
·
赤峰
)
如图所示
,
在象棋盘上建立平面直角坐标系
,
使
“
马
”
位于点
(2
,
2)
,
“
炮
”
位于点
(
-
1
,
2)
,
写出
“
兵
”
所在位置的坐标
.
【
点评
】
本题考查了坐标确定位置
,
确定出原点的位置并建立平面直角坐标系是解题的关键.
(
-2
,
3
)
1
.
(
2013·
济南
)
如图
,
动点
P
从
(
0
,
3
)
出发
,
沿所示方向
运动
,
每当碰到矩形的边时反弹
,
反弹时反射角等于入射
角
,
当点
P
第
2013
次碰到矩形的边时
,
点
P
的坐标为
(
)
A
.
(
1
,
4
)
B
.
(
5
,
0
)
C
.
(
6
,
4
)
D
.
(
8
,
3
)
D
新定义型点的坐标
【
例
2】
(
2013
·
钦州
)
定义:直线
l
1
与
l
2
相交于点
O
,
对于平面内任意一点
M
,
点
M
到直线
l
1
,
l
2
的距离分别为
p
,
q
,
则称有序实数对
(p
,
q)
是点
M
的
“
距离坐标
”
,
根据上述定义
,
“
距离坐标
”
是
(1
,
2)
的点的个数是
(
)
A
.
2
个
B
.
3
个
C
.
4
个
D
.
5
个
C
【
点评
】
本题考查了点到直线的距离
,
两平行线之间的距离的定义
,
理解新定义
,
掌握到一条直线的距离等于定长
k
的点在与已知直线相距
k
的两条平行线上是解题的关键.
2
.
(1)
(
2014
·
黔西南州
)
在平面直角坐标系中
,
对于平面内任一点
(m
,
n)
,
规定以下两种变换:
①
f(m
,
n)
=
(m
,
-
n)
,
如
f(2
,
1)
=
(2
,
-
1)
;
②
g(m
,
n)
=
(
-
m
,
-
n)
,
如
g(2
,
1)
=
(
-
2
,
-
1)
按照以上变换有:
f[g(3
,
4)]
=
f(
-
3
,
-
4)
=
(
-
3
,
4)
,
那么
g[f(
-
3
,
2)]
=
.
(
3
,
2
)
(
2
)
在平面直角坐标系中
,
设点
P
到原点
O
的距离为
?
,
OP
与
x
轴正方向的夹角为
?
,
则用
[
?
,
α
]
表示点
P
的
极坐标
,
显然
,
点
P
的极坐标与它的坐标存在一一对应
关系
.
例如:点
P
的坐标为
(
1
,
1
)
,
则其极坐标为
[
2
,
45
°
]
.
若点
Q
的极坐标为
[
4
,
60
°
]
,
则点
Q
的坐标为
(
)
A
.
(
2
,
2
3
)
B
.
(
2
,
-
2
3
)
C
.
(
2
3
,
2
)
D
.
(
2
,
2
)
A
求平移、轴对称、旋转对称对应点的坐标
【
例
3
】
(1)
(
2014·
厦门
)
在平面直角坐标系中
,
已知点
O(0
,
0
)
,
A
(1
,
3
)
,
将线段
OA
向右平移
3
个单位
,
得到线段
O
1
A
1
,
则点
O
1
的坐标是
__
(
3
,
0
)
__
,
A
1
的坐标是
__
(
4
,
3
)
__
.
(2)
(
2014·
邵阳
)
如图
,
在平面直角坐标系
xOy
中
,
已知点
A
(3
,
4
)
,
将
OA
绕坐标原点
O
逆时针旋转
90
°
至
OA?
,
则点
A?
的
坐标是
__
(
-
4
,
3
)
__
.
【
点评
】
(1)
本题考查了坐标与图形变化
——
平移
,
熟记平移中点的变化规律是:横坐标右移加
,
左移减;纵坐标上移加
,
下移减是解题的关键.
(2)
本题考查了坐标与图形变化
——
旋转
,
熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键
,
也是本题的难点.
3
.
(
2014
·
牡丹江
)
如图,把
ABC
经过一定的变换得到
△
A′B′C′
,
如果
△
ABC
上点
P
的坐标为
(x
,
y)
,
那么这个点在
△
A′B′C′
中的对应点
P′
的坐标为
( )
A
.
(
-
x
,
y
-
2)
B
.
(
-
x
,
y
+
2)
C
.
(
-
x
+
2
,
-
y
)
D
.
(
-
x
+
2
,
y
+
2)
B
试题 如图
,一个粒子在第一象限内移动,在第一分钟内它从原点移动到
(1
,
0)
,
而后接着按图所示
,
在
x
轴、
y
轴平行方向移动
,
每分钟移动
1
个单位
,
那么在
1989
分钟后
,
这个粒子所处位置为
(
)
A
.
(35
,
44)
B
.
(36
,
45)
C
.
(45
,
36) D
.
(44
,
35)
错解
C
剖析
粒子的移动
,
也可以看作是粒子的平移
,
像这个数据较大的情形
,
需要通过观察某些特殊点的坐标与运动时间来探究其蕴藏的规律.首先我们来看看当粒子移动到坐标轴上时的情形:
坐标
(1
,
0)
,
(2
,
0)
,
(3
,
0)
对应时间为
1
分
,
8
分
,
9
分;
坐标
(4
,
0)
,
(5
,
0)
,
(6
,
0)
…
对应时间为
24
分
,
25
分
,
48
分
…
;
坐标
(0
,
1)
,
(0
,
2)
,
(0
,
3)
对应时间为
3
分
,
4
分
,
15
分;
坐标
(0
,
4)
,
(0
,
5)
,
(0
,
6)
…
对应时间为
16
分
,
35
分
,
36
分
…
;
观察可知
,
在
x
轴上奇数的平方对应着移动时间
,
在
y
轴上偶数的平方对应着移动时间
,
而与
1989
最接近的是
45
2
=
2025
,
相差
2025
-
1989
=
36
分钟
,
即先将横坐标倒退一个单位
,
即
44
,
再向上进
35
个单位
,
此时
,
1989
对应的坐标为
(44
,
35)
,
而
C
答案中
,
当横坐标为
45
时
,
对应的时间为
2025
分钟
,
不能直接再向上移动
36
个单位
,
否则按照运动规律
,
对应时间为
2061
分钟.
正解
D
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