呼和浩特专版2020中考数学复习方案第五单元四边形课时训练24矩形菱形试题 10页

课时训练(二十四)　矩形、菱形 ‎(限时:45分钟)‎ ‎|夯实基础|‎ ‎1.[2019·大庆]下列说法中不正确的是 (　　)‎ A.四边相等的四边形是菱形 B.对角线垂直的平行四边形是菱形 C.菱形的对角线互相垂直且相等 D.菱形的邻边相等 ‎2.[2019·河北] 如图K24-1,菱形ABCD中,∠D=150°,则∠1= (　　)‎ 图K24-1‎ A.30° B.25° C.20° D.15°‎ ‎3.[2019·赤峰] 如图K24-2,菱形ABCD的周长为20,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,则OE的长是 (　　)‎ 图K24-2‎ A.2.5 B.3 ‎ C.4 D.5‎ ‎4.[2019·泸州] 一个菱形的边长为6,面积为28,则该菱形的两条对角线的长度之和为 (　　)‎ A.8 B.12 ‎ C.16 D.32‎ ‎5.[2019·临沂] 如图K24-3,在平行四边形ABCD中,M,N是BD上的两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是 (　　)‎ 图K24-3‎ A.OM=‎1‎‎2‎AC ‎ B.MB=MO C.BD⊥AC ‎ D.∠AMB=∠CND ‎6.[2019·广州] 如图K24-4,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,‎ 10‎ 则AC的长为 (　　)‎ 图K24-4‎ A.4‎5‎ B.4‎3‎ ‎ C.10 D.8‎ ‎7.[2019·深圳] 如图K24-5,已知菱形ABCD的边长为4,∠BAD=120°,E,F分别为AB,AD上的点,且BE=AF,EF与AC交于点G则下列结论正确的个数是 (　　)‎ ‎①△BEC≌△AFC;②△ECF为等边三角形;③∠AGE=∠AFC;④若AF=1,则FGEG=‎1‎‎3‎.‎ 图K24-5‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎8.[2019·徐州] 如图K24-6,矩形ABCD中,AC,BD交于点O,M,N分别为BC,OC的中点.若MN=4,则AC的长为　　　　. ‎ 图K24-6‎ ‎9.[2019·仙桃] 矩形的周长等于40,则此矩形面积的最大值是　　　　. ‎ ‎10.[2019·潍坊] 如图K24-7,在矩形ABCD中,AD=2.将∠A向内翻折,点A落在BC上,记为A',折痕为DE.若将∠B沿EA'向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B',则AB=　　　　. ‎ 图K24-7‎ ‎11.[2019·北京] 在矩形ABCD中,M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的点(不与端点重合).‎ 对于任意矩形ABCD,下面四个结论中,‎ ‎①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形;‎ ‎②存在无数个四边形MNPQ是矩形;‎ ‎③存在无数个四边形MNPQ是菱形;‎ ‎④至少存在一个四边形MNPQ是正方形.‎ 所有正确结论的序号是　　　　. ‎ ‎12.[2019·聊城] 在菱形ABCD中,点P是BC边上一点,连接AP,点E,F是AP上的两点,连接DE,BF,使得∠AED=‎ 10‎ ‎∠ABC,∠ABF=∠BPF.求证:‎ ‎(1)△ABF≌△DAE;‎ ‎(2)DE=BF+EF.‎ 图K24-8‎ ‎13.[2019·青岛] 如图K24-9,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至G,使EG=AE,连接CG.‎ ‎(1)求证:△ABE≌△CDF.‎ ‎(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.‎ 图K24-9‎ 10‎ ‎14.[2019·贺州] 如图K24-10,在矩形ABCD中,E,F分别是BC,AD边上的点,且AE=CF.‎ ‎(1)求证:△ABE≌△CDF;‎ ‎(2)当AC⊥EF时,四边形AECF是菱形吗?请说明理由.‎ 图K24-10‎ ‎|拓展提升|‎ ‎15.[2019·河南] 如图K24-11,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE=‎3‎‎5‎a.连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B的对应点B'落在矩形ABCD的边上,则a的值为　　　　. ‎ 图K24-11‎ ‎16.[2019·梧州] 如图K24-12,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转,对应得到菱形AEFG,点E在AC上,EF与CD交于点P,则DP的长是　　　　. ‎ 图K24-12‎ ‎17.[2019·桂林] 如图K24-13,在矩形ABCD中,AB=‎3‎,AD=3,点P是AD边上的一个动点,连接BP,作点A关于直线BP的对称点A1,连接A1C,设A1C的中点为Q,若点P从点A出发,沿边AD运动到点D时停止运动,则点Q的运动路径长为　　　　. ‎ 10‎ 图K24-13‎ 10‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.C ‎2.D ‎3.A　[解析]∵四边形ABCD为菱形,∴CD=BC=‎20‎‎4‎=5,且O为BD的中点,‎ ‎∵E为CD的中点,∴OE为△BCD的中位线,‎ ‎∴OE=‎1‎‎2‎CB=2.5,故选:A.‎ ‎4.C　[解析]如图所示 ‎.∵四边形ABCD是菱形,∴AO=CO=‎1‎‎2‎AC,DO=BO=‎1‎‎2‎BD,AC⊥BD,‎ ‎∵菱形的面积为28,∴‎1‎‎2‎AC·BD=2OD·AO=28①,‎ ‎∵菱形的边长为6,∴OD2+OA2=36②,‎ 由①②两式可得:(OD+AO)2=OD2+OA2+2OD·AO=36+28=64.‎ ‎∴OD+AO=8(负值舍去),∴2(OD+AO)=16,即该菱形的两条对角线的长度之和为16.故选:C.‎ ‎5.A　[解析]添加OM=‎1‎‎2‎AC.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴OA=OC,OB=OD,‎ ‎∵对角线BD上的两点M,N满足BM=DN,‎ ‎∴OB-BM=OD-DN,即OM=ON,‎ ‎∴四边形AMCN是平行四边形,∵OM=‎1‎‎2‎AC,‎ ‎∴MN=AC,∴四边形AMCN是矩形,故选A.‎ ‎6.A　[解析]连接AE,如图:‎ ‎∵EF是AC的垂直平分线,∴OA=OC,AE=CE,‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,AD∥BC,‎ ‎∴∠OAF=∠OCE,‎ 在△AOF和△COE中,‎‎∠AOF=∠COE,‎OA=OC,‎‎∠OAF=∠OCE,‎ ‎∴△AOF≌△COE(ASA),∴AF=CE=5,‎ ‎∴AE=CE=5,BC=BE+CE=3+5=8,‎ ‎∴AB=AE‎2‎-BE‎2‎=‎5‎‎2‎‎-‎‎3‎‎2‎=4,‎ ‎∴AC=AB‎2‎+BC‎2‎=‎4‎‎2‎‎+‎‎8‎‎2‎=4‎5‎.‎ 10‎ 故选:A.‎ ‎7.D　[解析]∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,‎ ‎∴∠B=∠BAC=60°,∴AC=BC,又BE=AF,‎ ‎∴△BEC≌△AFC,故①正确;‎ ‎∵△BEC≌△AFC,∴FC=EC,∠FCA=∠ECB,‎ ‎∴∠ECF=∠ACB=60°,∴△ECF为等边三角形,故②正确;‎ ‎∵∠AGE=180°-∠BAC-∠AEG,∠AEG=∠ACF(易求),∠AFC=180°-∠FAC-∠ACF,∴∠AGE=∠AFC,故③正确;‎ ‎∵AF=1=BE,∴AE=3,易得△CFG∽△CBE,‎ ‎∴GFBE=CFBC,又∵△CEG∽△CAE,∴EGAE=CEAC,‎ ‎∵CE=CF,AC=BC,∴GFBE=EGAE,∴GFEG=BEAE=‎1‎‎3‎,故④正确.故选D.‎ ‎8.16　[解析]∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD,∵M,N分别为BC,OC的中点,∴OB=2MN=2×4=8,∴AC=2OB=16.‎ ‎9.100　[解析]设矩形的一边长为x,则相邻的另一边长为20-x,矩形的面积为y,‎ y=x(20-x)=-x2+20x=-(x-10)2+100,即当x=10时,y有最大值,为100,因此本题填100.‎ ‎10.‎3‎　[解析]由翻折可得∠AED=∠A'ED=∠A'EB=60°,∴∠ADE=∠A'DE=∠A'DC=30°.‎ ‎∴DA'平分∠EDC,∵A'B'⊥DE,A'C⊥DC,‎ ‎∴A'C=A'B'.∵A'B'=A'B,‎ ‎∴A'C=A'B,∵BC=AD=2,∴A'C=1.‎ 在Rt△A'DC中,tan30°=A'CDC=‎3‎‎3‎,‎ ‎∴DC=‎3‎.∴AB=‎3‎.‎ ‎11.①②③　[解析] 如图,四边形ABCD是矩形,连接AC,BD交于O,‎ 过点O的直线MP和QN,分别交AB,BC,CD,AD于M,N,P,Q,‎ 则四边形MNPQ是平行四边形,‎ 存在无数个四边形MNPQ是平行四边形,故①正确;‎ 如图,当PM=QN时,四边形MNPQ是矩形,存在无数个四边形MNPQ是矩形;故②正确;‎ 如图,当PM⊥QN时,存在无数个四边形MNPQ是菱形;故③正确;‎ 当四边形MNPQ是正方形时,MQ=PQ,则△AMQ≌△DQP,‎ ‎∴AM=QD,AQ=PD,‎ 易知△PDQ≌△MBN,∴PD=BM,‎ ‎∴AB=AD,‎ ‎∴四边形ABCD是正方形与任意矩形ABCD矛盾,故④错误.‎ 10‎ 填①②③.‎ ‎12.证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AB=AD,AD∥BC,∴∠BPA=∠DAE.‎ 在△ABP和△DAE中,又∵∠ABC=∠AED,‎ ‎∴∠BAF=∠ADE.‎ ‎∵∠ABF=∠BPF,∠BPA=∠DAE,‎ ‎∴∠ABF=∠DAE,‎ 又∵AB=DA,∴△ABF≌△DAE(ASA).‎ ‎(2)∵△ABF≌△DAE,∴AE=BF,DE=AF.‎ ‎∵AF=AE+EF=BF+EF,‎ ‎∴DE=BF+EF.‎ ‎13.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB=CD,AB∥CD,OB=OD,OA=OC,‎ ‎∴∠ABE=∠CDF.‎ ‎∵点E,F分别为OB,OD的中点,‎ ‎∴BE=‎1‎‎2‎OB,DF=‎1‎‎2‎OD,‎ ‎∴BE=DF,‎ 在△ABE和△CDF中,‎AB=CD,‎‎∠ABE=∠CDF,‎BE=DF,‎ ‎∴△ABE≌△CDF(SAS).‎ ‎(2)当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形.理由如下:‎ ‎∵AC=2OA,AC=2AB,∴AB=OA.‎ ‎∵E是OB的中点,∴AG⊥OB,‎ ‎∴∠OEG=90°,‎ 同理:CF⊥OD,‎ ‎∴AG∥CF,‎ ‎∴EG∥CF,‎ ‎∵EG=AE,OA=OC,‎ ‎∴OE是△ACG的中位线,‎ ‎∴OE∥CG,‎ ‎∴EF∥CG,‎ ‎∴四边形EGCF是平行四边形,‎ ‎∵∠OEG=90°,‎ ‎∴四边形EGCF是矩形.‎ ‎14.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,‎ 10‎ ‎∴∠B=∠D=90°,AB=CD,‎ 在Rt△ABE和Rt△CDF中,‎AE=CF,‎AB=CD,‎ ‎∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL).‎ ‎(2)当AC⊥EF时,四边形AECF是菱形,理由如下:‎ ‎∵△ABE≌△CDF,∴BE=DF,‎ ‎∵BC=AD,∴CE=AF,‎ ‎∵CE∥AF,‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形,‎ 又∵AC⊥EF,‎ ‎∴四边形AECF是菱形.‎ ‎15.‎5‎‎3‎或‎5‎‎3‎　[解析] 由折叠可得,AB=AB',‎ ‎∠B'=∠B=90°,BE=B'E.‎ 由题意可得,点B'的位置有以下两种情况:‎ ‎①当点B'落在矩形的边AD上时,‎ 则四边形ABEB'为正方形,‎ 所以BE=AB=1,则‎3‎‎5‎a=1,所以a=‎5‎‎3‎;‎ ‎②当点B'落在边CD上时,‎ 则由已知可得BE=EB'=‎3‎‎5‎a,EC=‎2‎‎5‎a,‎ 所以ECEB'‎=‎2‎‎3‎.‎ 易得,△B'DA∽△ECB',所以DB'‎AB'‎=ECEB'‎=‎2‎‎3‎,‎ 则DB'=‎2‎‎3‎.‎ 在Rt△ADB'中,由勾股定理可得AD=‎5‎‎3‎,‎ 则a=‎5‎‎3‎.‎ 综上所述,a的值为‎5‎‎3‎或‎5‎‎3‎.‎ ‎16.‎3‎-1　[解析]连接BD交AC于O,如图所示.‎ 10‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴CD=AB=2,∠BCD=∠BAD=60°,∠ACD=∠BAC=‎1‎‎2‎∠BAD=30°,OA=OC,AC⊥BD,‎ ‎∴OB=‎1‎‎2‎AB=1,∴OA=‎3‎OB=‎3‎,∴AC=2‎3‎.‎ 由旋转的性质得:AE=AB=2,∠EAG=∠BAD=60°,∴CE=AC-AE=2‎3‎-2,‎ ‎∵四边形AEFG是菱形,∴EF∥AG,‎ ‎∴∠CEP=∠EAG=60°,‎ ‎∴∠CEP+∠ACD=90°,∴∠CPE=90°,‎ ‎∴PE=‎1‎‎2‎CE=‎3‎-1,PC=‎3‎PE=3-‎3‎,‎ ‎∴DP=CD-PC=2-(3-‎3‎)=‎3‎-1.‎ 故答案为‎3‎-1.‎ ‎17.‎3‎‎3‎π　[解析]如图,连接BA1,取BC的中点O,连接OQ,BD.‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴∠BAD=90°,‎ ‎∴tan∠ABD=ADAB=‎3‎,∴∠ABD=60°,‎ ‎∵A1Q=QC,BO=OC,‎ ‎∴OQ=‎1‎‎2‎BA1=‎1‎‎2‎AB=‎3‎‎2‎,‎ ‎∴点Q的运动轨迹是以O为圆心,OQ为半径的圆弧,圆心角为120°,‎ ‎∴点Q的运动路径长=‎120·π·‎‎3‎‎2‎‎180‎=‎3‎‎3‎π.‎ 故答案为‎3‎‎3‎π.‎ 10‎