江西专版2020中考数学复习方案第五单元四边形课时训练22矩形 9页

课时训练(二十二)　矩形 ‎(限时:50分钟)‎ ‎|夯实基础|‎ ‎1.[2019·株洲]对于任意的矩形,下列说法一定正确的是 (　　)‎ A.对角线垂直且相等 B.四边都互相垂直 C.四个角都相等 D.是轴对称图形,但不是中心对称图形 ‎2.[2019·临沂]如图K22-1,在平行四边形ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是 (　　)‎ 图K22-1‎ A.OM=‎1‎‎2‎AC B.MB=MO ‎ C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND ‎3.[2019·大连]如图K22-2,将矩形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,折痕为EF,若AB=4,BC=8,则D'F的长为 (　　)‎ 图K22-2‎ A.2‎5‎ B.4 C.3 D.2‎ ‎4.[2019·江西押题卷]如图K22-3①,点P从矩形ABCD的顶点A出发沿A→B→C以2 cm/s的速度匀速运动到点C,图②是点P运动时,△APD的面积y(cm2)随运动时间x(s)变化而变化的函数关系图象,则矩形ABCD的面积为 (　　)‎ 图K22-3‎ A.36 B.48 ‎ C.32 D.24‎ ‎5.[2019·广州]如图K22-4,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,‎ 9‎ 则AC的长为 (　　)‎ 图K22-4‎ A.4‎5‎ B.4‎3‎ C.10 D.8‎ ‎6.[2019·陕西]如图K22-5,在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,若点E,F分别在AB,CD上,且BE=2AE,DF=2FC,G,H分别是AC的三等分点,则四边形EHFG的面积为 (　　)‎ 图K22-5‎ A.1 B.‎3‎‎2‎ ‎ C.2 D.4‎ ‎7.[2019·台州]如图K22-6,有两张矩形纸片ABCD和EFGH,AB=EF=2 cm,BC=FG=8 cm,把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上,使重叠部分为平行四边形,且点D与点G重合,当两张纸片交叉所成的角α最小时,tanα等于 (　　)‎ 图K22-6‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎1‎‎2‎ ‎ C.‎8‎‎17‎ D.‎‎8‎‎15‎ ‎8.如图K22-7,要使平行四边形ABCD是矩形,则应添加的条件是　　　　.(添加一个条件即可) ‎ 图K22-7‎ ‎9.[2019·兰州]如图K22-8,矩形ABCD,∠BAC=60°,以点A为圆心,以任意长为半径作弧分别交AB,AC于M,N两点,再分别以点M,N为圆心,以大于‎1‎‎2‎MN的长为半径作弧交于点P,作射线AP交BC于点E,若BE=1,则矩形ABCD的面积等于　　　　. ‎ 图K22-8‎ ‎10.[2019·天水]如图K22-9,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在 9‎ BC边上的点F处,那么sin∠EFC的值为　　　　. ‎ 图K22-9‎ ‎11.[2019·怀化]已知:如图K22-10,在▱ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,E,F分别为垂足.‎ 求证:(1)△ABE≌△CDF;‎ ‎(2)四边形AECF是矩形.‎ 图K22-10‎ ‎12.[2019·滨州]如图K22-11,矩形ABCD中,点E在边CD上,将△BCE沿BE折叠,点C落在AD边上的点F处,过点F作FG∥CD交BE于点G,连接CG.‎ ‎(1)求证:四边形CEFG是菱形;‎ ‎(2)若AB=6,AD=10,求四边形CEFG的面积.‎ 图K22-11‎ 9‎ ‎13.[2019·娄底]如图K22-12,点E,F,G,H分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA(不包括端点)上运动,且满足AE=CG,AH=CF.‎ ‎(1)求证:△AEH≌△CGF;‎ ‎(2)试判断四边形EFGH的形状,并说明理由;‎ ‎(3)请探究四边形EFGH的周长的一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系,并说明理由.‎ 图K22-12‎ ‎|拓展提升|‎ ‎14.[2019·达州]矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图K22-13,已知B(2‎3‎,2),点A在x轴上,点C在y轴上,P是对角线OB上一动点(不与原点重合),连接PC,过点P作PD⊥PC,交x轴于点D.有下列结论:‎ ‎①OA=BC=2‎3‎;‎ ‎②当点D运动到OA的中点处时,PC2+PD2=7;‎ ‎③在运动过程中,∠CDP是一个定值;‎ ‎④当△ODP为等腰三角形时,点D的坐标为‎2‎‎3‎‎3‎,0.‎ 其中正确结论的个数是 (　　)‎ 图K22-13‎ 9‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 9‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.C　[解析]根据矩形的性质可知,矩形的对角线相等但不一定垂直,所以选项A是错误的;矩形相邻的边互相垂直,对边互相平行,所以选项B是错误的;矩形的四个角都是直角,所以四个角都相等是正确的;矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形,所以选项D是错误的.故选C.‎ ‎2.A　[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.‎ ‎∵对角线BD上的两点M,N满足BM=DN,‎ ‎∴OB-BM=OD-DN,即OM=ON,∴四边形AMCN是平行四边形.∵OM=‎1‎‎2‎AC,∴MN=AC,∴四边形AMCN是矩形.故选A.‎ ‎3.C　[解析]连接AC交EF于点O,如图.‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=8,∠B=∠D=90°,AC=AB‎2‎+BC‎2‎=‎4‎‎2‎‎+‎‎8‎‎2‎=4‎5‎.‎ ‎∵折叠矩形使C与A重合,EF⊥AC,AO=CO=‎1‎‎2‎AC=2‎5‎,∴∠AOF=∠D=90°,∠OAF=∠DAC,‎ ‎∴Rt△FOA∽Rt△CDA,∴AOAF=ADAC,即‎2‎‎5‎AF=‎8‎‎4‎‎5‎,解得AF=5,∴D'F=DF=AD-AF=8-5=3.故选C.‎ ‎4.C　[解析]由图可得,AB=2×2=4,BC=(6-2)×2=8,∴矩形ABCD的面积是4×8=32.故选C.‎ ‎5.A　[解析]连接AE.设AC与EF交于点O.‎ ‎∵EF是AC的垂直平分线,‎ ‎∴OA=OC,AE=CE.‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,AD∥BC,‎ ‎∴∠OAF=∠OCE.‎ 在△AOF和△COE中,‎‎∠AOF=∠COE,‎OA=OC,‎‎∠OAF=∠OCE,‎ ‎∴△AOF≌△COE(ASA),∴AF=CE=5,‎ ‎∴AE=CE=5,BC=BE+CE=3+5=8,‎ ‎∴AB=AE‎2‎-BE‎2‎=‎5‎‎2‎‎-‎‎3‎‎2‎=4,‎ ‎∴AC=AB‎2‎+BC‎2‎=‎4‎‎2‎‎+‎‎8‎‎2‎=4‎5‎.故选A.‎ ‎6.C　[解析]∵BE=2AE,DF=2FC,∴AEBE=‎1‎‎2‎,CFDF=‎1‎‎2‎.∵G,H分别是AC的三等分点,∴AGGC=‎1‎‎2‎,CHAH=‎1‎‎2‎.∴AEBE=AGGC,∴EG∥BC,∴EGBC=AEAB=‎1‎‎3‎,∵BC=6,∴EG=2.同理可得HF∥AD,HF=2,‎ ‎∴四边形EHFG为平行四边形,且EG和HF之间的距离为1,∴S四边形EHFG=2×1=2.故选C.‎ ‎7.D　[解析]当点B与点E重合,点D与点G重合时,重叠部分为平行四边形且α最小.‎ 9‎ ‎∵两张矩形纸片全等,∴重叠部分为菱形,设FM=x,∴EM=MD=8-x,EF=2,在Rt△EFM中,EF2+FM2=EM2,即22+x2=(8-x)2,‎ 解得x=‎15‎‎4‎,∴tanα=EFFM=‎8‎‎15‎.故选D.‎ ‎8.∠ABC=90°或AC=BD(答案不唯一)‎ ‎9.3‎3‎　[解析]由∠BAC=60°,AP是∠BAC的平分线,则∠BAP=∠CAP=30°,BE=1,则AE=2,AB=‎3‎,而AE=CE,∴BC=3,故S矩形ABCD=3‎3‎.‎ ‎10.‎4‎‎5‎　[解析]∵四边形ABCD为矩形,‎ ‎∴AD=BC=5,AB=CD=3.‎ ‎∵矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的F处,∴AF=AD=5,EF=DE.‎ 在Rt△ABF中,∵BF=AF‎2‎-AB‎2‎=4,‎ ‎∴CF=BC-BF=5-4=1.‎ 设CE=x,则EF=DE=3-x.在Rt△ECF中,‎ ‎∵CE2+FC2=EF2,∴x2+12=(3-x)2,解得x=‎4‎‎3‎,∴EF=3-x=‎5‎‎3‎,‎ ‎∴sin∠EFC=CEEF=‎4‎‎5‎.故答案为‎4‎‎5‎.‎ ‎11.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AB=CD,∠B=∠D.‎ ‎∵AE⊥BC,CF⊥AD,‎ ‎∴∠AEB=∠CFD=90°,‎ ‎∴△ABE≌△CDF(AAS).‎ ‎(2)∵△ABE≌△CDF,∴BE=DF.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC,AD=BC,∴AF∥CE,AF=CE,‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形.‎ 又∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°,‎ ‎∴四边形AECF是矩形.‎ ‎12.解:(1)证明:由题意可得,△BCE≌△BFE,‎ ‎∴∠BEC=∠BEF,FE=CE.‎ ‎∵FG∥CE,∴∠FGE=∠CEB,‎ ‎∴∠FGE=∠FEG,∴FG=FE,∴FG=EC,‎ ‎∴四边形CEFG是平行四边形.‎ 又∵CE=FE,∴四边形CEFG是菱形.‎ ‎(2)∵矩形ABCD中,AB=6,AD=10,BC=BF,‎ ‎∴∠BAF=90°,AD=BC=BF=10,‎ ‎∴AF=8,∴DF=2.‎ 9‎ 设EF=x,则CE=x,DE=6-x.‎ ‎∵∠FDE=90°,∴22+(6-x)2=x2,‎ 解得x=‎10‎‎3‎,∴CE=‎10‎‎3‎,‎ ‎∴四边形CEFG的面积是CE·DF=‎10‎‎3‎×2=‎20‎‎3‎.‎ ‎13.解:(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,‎ ‎∴∠A=∠C=90°.‎ 又∵AE=CG,AH=CF,‎ ‎∴△AEH≌△CGF(SAS).‎ ‎(2)四边形EFGH是平行四边形.理由如下:‎ 由(1)中△AEH≌△CGF得HE=FG.‎ ‎∵在矩形ABCD中有∠B=∠D=90°,AB=CD,BC=AD,且有AE=CG,AH=CF,‎ ‎∴HD=BF,BE=DG,‎ ‎∴△BEF≌△DGH,∴EF=GH,‎ ‎∴四边形EFGH为平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).‎ ‎(3)四边形EFGH的周长的一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长.‎ 理由如下:‎ 如图,连接BD,‎ 设AE=CG=a,AH=CF=b,HD=BF=c,BE=DG=d.‎ 由勾股定理得HE=a‎2‎‎+‎b‎2‎,HG=c‎2‎‎+‎d‎2‎,BD=‎(a+d‎)‎‎2‎+(b+c‎)‎‎2‎.‎ ‎∴(HE+HG)2-BD2=(a‎2‎‎+‎b‎2‎‎+‎c‎2‎‎+‎d‎2‎)2-(‎(a+d‎)‎‎2‎+(b+c‎)‎‎2‎)2=a2+b2+c2+d2+2‎(a‎2‎+b‎2‎)(c‎2‎+d‎2‎)‎-(a2+b2+c2+d2+2ad+2bc)=2‎(a‎2‎+b‎2‎)(c‎2‎+d‎2‎)‎‎-(ad+bc)‎.‎ 又∵(‎(a‎2‎+b‎2‎)(c‎2‎+d‎2‎)‎)2-(ad+bc)2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-(a2d2+b2c2+2abcd)=a2c2+b2d2-2abcd=(ac-bd)2≥0,‎ ‎∴(HE+HG)2-BD2≥0.∴HE+HG≥BD.‎ 又∵四边形EFGH为平行四边形,四边形ABCD为矩形,∴四边形EFGH的周长的一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长.‎ ‎14.D　[解析]①∵四边形OABC是矩形,B(2‎3‎,2),∴OA=BC=2‎3‎,故①正确;‎ ‎②∵点D为OA的中点,∴OD=‎1‎‎2‎OA=‎3‎,∴PC2+PD2=CD2=OC2+OD2=22+(‎3‎)2=7,故②正确;‎ ‎③如图,过点P作PF⊥OA于F,FP的延长线交BC于E,则PE⊥BC,∴四边形OFEC是矩形,‎ 9‎ ‎∴EF=OC=2.‎ 设PE=a,则PF=EF-PE=2-a,在Rt△BEP中,tan∠CBO=PEBE=OCBC=‎3‎‎3‎,∴BE=‎3‎PE=‎3‎a,‎ ‎∴CE=BC-BE=2‎3‎‎-‎‎3‎a=‎3‎(2-a).‎ ‎∵PD⊥PC,∴∠CPE+∠FPD=90°.‎ ‎∵∠CPE+∠PCE=90°,∴∠FPD=∠ECP.‎ ‎∵∠CEP=∠PFD=90°,∴△CEP∽△PFD,∴PEFD=CEPF=CPPD,∴aFD=‎3‎‎(2-a)‎‎2-a,∴FD=a‎3‎,∴tan∠PDC=CPPD=PEFD=aa‎3‎=‎3‎,∴∠PDC=60°,故③正确;‎ ‎④∵B(2‎3‎,2),四边形OABC是矩形,∴OA=2‎3‎,AB=2.∵tan∠AOB=ABOA=‎3‎‎3‎,∴∠AOB=30°,‎ 当△ODP为等腰三角形时,(Ⅰ)若OD=PD,则∠DOP=∠DPO=30°,∴∠ODP=120°,‎ 又由③知∠PDC=60°,‎ ‎∴∠ODC=60°,∴OD=‎3‎‎3‎OC=‎2‎‎3‎‎3‎;‎ ‎(Ⅱ)若OP=OD,则∠ODP=∠OPD=75°.‎ ‎∵∠COD=∠CPD=90°,∴∠OCP=105°>90°,故不合题意舍去;‎ ‎(Ⅲ)若OP=PD,则∠POD=∠PDO=30°,‎ ‎∴∠OCP=150°>90°,故不合题意舍去,‎ ‎∴当△ODP为等腰三角形时,点D的坐标为‎2‎‎3‎‎3‎,0.故④正确,故选D.‎ 9‎