初中数学中考总复习课件PPT：15等腰三角形 18页

第 15 课时　等腰三角形 考点梳理 自主测试 考点一 　 等腰三角形 1 . 等腰三角形的有关概念及分类 有 两 边相等的三角形叫做等腰三角形, 三 边相等的三角形叫做等边三角形,也叫正三角形 . 2 . 等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个 底 角相等(简称为“ 等边对等角 ”);(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”);(3)等腰三角形是 轴对称 图形,它有 一 条对称轴 . 3 . 等腰三角形的判定 如果一个三角形有 两 个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称为“ 等角对等边 ”) . 考点梳理 自主测试 考点二 　 等边三角形的性质与判定 1 . 等边三角形的性质 (1)等边三角形的三个内角相等,且都等于 60° ;(2)等边三角形的三条边都 相等 ,等边三角形是 轴 对称图形,它有 三 条对称轴 . 2 . 等边三角形的判定 (1) 三条边 相等的三角形是等边三角形;(2) 三个角 相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角为 60° 的等腰三角形是等边三角形 . 考点三 　 线段的垂直平分线 1 . 概念 :经过线段中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫做 中垂线 . 2 . 性质 :线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等 . 3 . 判定 :到一条线段的两个端点 距离相等 的点在线段的 垂直平分线上,线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合 . 考点梳理 自主测试 考点四 　 角平分线的性质及判定 1 . 性质 :角平分线上的点到角的两边的距离 相等 . 2 . 判定 :角的内部到角的两边距离相等的点在角的 平分线 上,角的平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合 . 3 . 三角形角平分线的性质:三角形的三条角平分线交于 一 点,且这一点到三角形 三边 的距离相等 . 考 点 梳理 自主测试 1 . 已知一个等腰三角形的两条边长分别为 3 和 8, 则这个等腰三角形的周长为 ( 　　 ) A.11 B.14 C.19 D.14 或 19 答案 : C 2 . 如图 , 在等腰三角形 ABC 中 , AB=AC , ∠ A= 20°. 线段 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D , 交 AC 于点 E , 连接 BE , 则 ∠ CBE 等于 ( 　　 ) A.80° B.70° C.60° D.50° 答案 : C 考 点 梳理 自主测试 3 . 如图,在 △ ABC 中, ∠ C= 90°, AD 平分 ∠ CAB , AD= 5, AC= 4,则点 D 到 AB 的距离是 　　　　　 .    答案: 3 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 1 　 等腰三角形的性质与判定 【例 1 】 如图,在 △ ABC 中, AB=BC , BE ⊥ AC 于点 E , AD ⊥ BC 于点 D , ∠ BAD= 45°, AD 与 BE 交于点 F ,连接 CF. (1)求证: BF= 2 AE ; (2) 若 , 求 AD 的长 . (1) 证明: ∵ AD ⊥ BC , ∠ BAD= 45°, ∴ ∠ ABD= ∠ BAD= 45° . ∴ AD=BD. ∵ AD ⊥ BC , BE ⊥ AC , ∴ ∠ CAD+ ∠ ACD= 90°, ∠ CBE+ ∠ ACD= 90° . ∴ ∠ CAD= ∠ CBE. 又 ∠ CDA= ∠ BDF= 90°, ∴ △ ADC ≌ △ BDF , ∴ AC=BF. ∵ AB=BC , BE ⊥ AC , ∴ AE=EC , 即 AC= 2 AE , ∴ BF= 2 AE. 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 2 　 等边三角形的性质与判定 【例 2 】 已知 △ ABC 为等边三角形,点 D , E 分别在 BC , AC 边上,且 AE=CD , AD 与 BE 相交于点 F. (1)求证: △ ABE ≌ △ CAD ; (2)求 ∠ BFD 的度数 . 分析: 解决等边三角形问题时 , 要充分利用等边三角形三边相等、三个角都等于 60° 的性质 . 全等是解决这类问题最常见的方法 . (1) 证明: ∵ △ ABC 为等边三角形 , ∴ ∠ BAC= ∠ C= 60°, AB=CA. 在 △ ABE 和 △ CAD 中 , AB=CA , ∠ BAE= ∠ C , AE=CD , ∴ △ ABE ≌ △ CAD. (2) 解: ∵ △ ABE ≌ △ CAD , ∴ ∠ ABE= ∠ CAD. ∵ ∠ BFD= ∠ ABE+ ∠ BAD , ∴ ∠ BFD= ∠ CAD+ ∠ BAD= ∠ BAC= 60° . 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 变式训练 如图 , 已知在等边三角形 ABC 的 AC 边上取中点 D , 在 BC 的延长线上取一点 E , 使 CE=CD. 求证 : BD=DE. 证明 : ∵ △ ABC 是等边三角形 , ∴ ∠ ABC= ∠ ACB= 60° . ∵ 点 D 是 AC 边上的中点 , ∴ ∠ ABD= ∠ CBD= 30° . ∵ CE=CD , ∴ ∠ CDE= ∠ CED. 又 ∠ ACB= ∠ CDE+ ∠ CED= 60°, ∴ ∠ CED= 30° . ∴ ∠ CBD= ∠ CED= 30° . ∴ BD=DE. 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 3 　 线段的垂直平分线 【例 3 】 一张矩形纸片 OABC 平放在平面直角坐标系内, O 为原点,点 A 在 x 轴的正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上, OA= 5, OC= 4 .   (1)如图 ① ,将纸片沿 CE 对折,点 B 落在 x 轴上的点 D 处,求点 D 的坐标; (2)若将纸片沿直线 l 对折,点 B 落在 x 轴上的点 F 处(如图 ② ), l 与 BF 的交点为 Q ,若点 Q 的坐标是(3,2),求 l 的解析式 . 若点 Q 的坐标是(4,2),你能确定 l 的解析式吗?若能,求出其解析式;若不能,请说明理由 . 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 分析 : (1) 由对称性知道 , CD=CB , 根据勾股定理求出 OD , 即可以求得点 D 的坐标 ;(2) 由垂直平分线的性质 , 点 Q 为 BF 的中点 . 由中位线知识和点 Q 的坐标 , 可确定 l 上的另一点 A. 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 解 : (1) 根据题意 , 知 CD=CB=OA= 5 . ∵ ∠ COD= 90°, ∴ 点 D 的坐标为 (3,0) . (2) 过点 Q 作 QM ⊥ x 轴于点 M. 当点 Q 的坐标为 (3,2) 时 , 如题图 , OM= 3, MA= 2, QM 为 △ FAB 的中位线 , ∴ FM= 2, 即 FA= 4 . 而 AB= 4, FA=AB , 而 l 为 BF 的中垂线 , ∴ 点 A 在 l 上 . ∴ l 的解析式为 y=-x+ 5 . 当 Q 点坐标为 (4,2) 时 , OM= 4, MA= 1, OF= 3, CF= 5, 而 CB= 5, ∴ CF=CB. ∵ l 为 BF 的中垂线 , ∴ 点 C 在 l 上 . ∴ l 的解析式为 y=- x+ 4 . 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 4 　 角平分线的性质和判定 【例 4 】 如图, BE ⊥ AC 于点 E , CF ⊥ AB 于点 F , BE , CF 相交于点 D ,若 BD=CD , 求证:(1) DF=DE ; (2) AD 平分 ∠ BAC. 分析: 由 BE ⊥ AC 于点 E , CF ⊥ AB 于点 F , 易得 ∠ BFD= ∠ CED , 先证 △ BDF 与 △ CDE 全等得到 DF=DE , 再由直角三角形的判定条件 “HL”, 证明 Rt △ ADF 与 Rt △ ADE 全等 , 便可得证 AD 平分 ∠ BAC . 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 证明 : (1) ∵ CF ⊥ AB 于点 F , BE ⊥ AC 于点 E , ∴ ∠ BFD= ∠ CED= 90° . 又 ∠ BDF= ∠ CDE , BD=CD , ∴ △ BDF ≌ △ CDE (AAS), ∴ DF=DE. ∴ Rt △ ADF ≌ Rt △ ADE (HL), ∴ ∠ FAD= ∠ EAD , 即 AD 平分 ∠ BAC.