2018年辽宁锦州中考真题数学试卷（详解 17页

/ 2018年辽宁锦州中考真题数学试卷(详解) 一、选择题． （本大题共8小题，每小题2分，共16分．） 1. A. B. C. D. 【答案】 【解析】 下列实数为无理数的是（ ）． D 、 、 均为有理数． 故选 ． 2. 正面 A. B. C. D. 【答案】 【解析】 如图，这是由 个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的左视图（ ）． A 左视图有 列，每列小正方形数目分别为 ， ． 故选： . 3. A. 两个不相等的实数根 B. 两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】 【解析】 一元二次方程 根的情况是（ ）． C ， 所以方程无实数根． 故选： ． / 4. A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】 【解析】 为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近 次跳绳成绩，下列统计中能用来比较两 人成绩稳定程度的是（ ）． D 由于方差反映数据的波动情况，应知道数据的方差． 故选： ． 5. A. B. C. D. 【答案】 【解析】 如图，直线 ，且分别与直线 交于 ， 两点，把一块含 角的三角尺按如图所示的位置 摆放，若 ，则 的度数为（ ）． B 如图， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 故选： . 6. A. B. C. D. 【答案】 A 选项： B 选项： 【解析】 下列运算正确的是（ ）． B ，此选项错误； ，此选项正确； / C 选项： D 选项： ，此选项错误； ，此选项错误； 故选 B . 7. A. B. C. D. 【答案】 【解析】 如图，在 中， ，过 ， 两点的⊙ 交 于点 ，交 于点 ，连接 并延长交⊙ 于点 ，连接 ， ，若 ， ，则 的值为（ ）． C ∵四边形 内接于⊙ ，且 ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等腰三角形， ∴ ， 又∵ 是⊙ 的直径， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 是⊙ 的内接四边形， ∴ ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∵ 中， 、 ， ∴ ， 则 ． 故选： . 8. / A. B. C. D. 【答案】 图 图 【解析】 如图，在 中， ， ，动点 从点 出发，以 的速度 沿 方向运动到点 ，动点 同时从点 出发，以 的速度沿折线AC→CB方向运动到点 ．设 的面积为 ，运动时间为 ，则下列图象能反映 与 之间关系的是（ ）． D 过点 作 于点 ， ①如图 ，当点 在 上运动时，即 ， 由题意知 、 ， ∵ ， ∴ ， 则 ； ②如图 ，当点 在 上运动时，即 ，此时点 与点 重合， 由题意知 、 ， ∵ ， ∴ ， 则 ． 故选： . 二、填空题． （本大题共8小题，每小题3分，共24分） / 9. 【答案】 【解析】 因式分解： ． ． 故答案为： ． 10. 【答案】 【解析】 上海合作组织青岛峰会期间，为推进“一带一路”建设，中国决定在上海合作组织银行联合体框 架内，设立 亿元人民币等值专项贷款，将 亿元用科学记数法表示为 元． 亿元 元． 故答案为： ． 11. 【答案】 【解析】 如图，这是一幅长为 ，宽为 的长方形世界杯宣传画，为测量宣传画上世界杯图案的面积， 现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是 等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数 附近， 由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为 ． 长方形的面积 ， ∵骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数 附近， ∴世界杯图案占长方形世界杯宣传画的 ， ∴世界杯图案的面积约为： ， 故答案为： ． 12. / 【答案】 【解析】 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为 个单位长度的正方形，已知 与 位似，位似中心为原点 ，且相似比为 ，点 ， 都在格点上，则点 的坐标 为 ． 由题意得： 与 位似，位似中心为原点 ，且相似比为 ， 又∵ ， ∴ 的坐标是 ，即 的坐标是 ． 故答案为： ． 13. 【答案】 【解析】 如图，直线 与 相交于点 ，已知点 的坐标为 ，则关于 的不 等式 的解集是 ． 当 时，函数 的图象都在 的图象下方，所以不等式 的解集为 ． 故答案为 ． 14. H O 如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，若 ， ，则 的边长为 ．形 / 【答案】 【解析】∵ 是菱形， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ． 形 15. x y O 【答案】 【解析】 如图，矩形 的顶点 ， 分别在 轴， 轴上，顶点 在第一象限， ，将线段 饶点 按逆时针方向旋转 得到线段 ，连接 ，反比例函数 的图象经 过 ， 两点，则 的值为 ． 过点 作 于点 ， x y O ∵ ， ∴ ， 由旋转性质知 、 ， 则 ， ， 即 ， 代入解析式，得： ， 解得： （舍）或 ， 故答案为： ． 16. / 【答案】 【解析】 如图，射线 在第一象限，且与 轴正半轴的夹角为 ，过点 作 于点 ， 作线段 的垂直平分线 交 轴于点 ，交 于点 ，作射线 ，以 为边在 的外侧作正方形 ，延长 交射线 于点 ，以 为边在 的外侧作正 方形 ，延长 交射线 于点 ，以 为边在 的外侧作正方形 …按此规律进行下去，则正方形 的周长为 ． 由题意：正方形 的边长为 ， 正方形 的边长为 ， 正方形 的边长为 ， 正方形 的边长为 ， 由此规律可知：正方形 的边长为 ． ∴正方形 的周长为 ． 故答案为 ． 三、综合题． （本大题共2小题，共14分） 17. 【答案】 【解析】 先化简，再求值： ，其中 ． ． 原式 ， 当 时，原式 ． / 18. （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 【答案】 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 【解析】 为了解同学们每月零花钱数额，校园小记者随机调查了本校部分学生，并根据调查结果绘制出如 下不完整的统计图表： 学生每月零花钱频数直方图 零花钱数额x/元 人数（频数） 频率 人数 频数 零花钱数额 元 请根据以上图表，解答下列问题： 这次被调查的人数共有 人， ． 计算并补全频数分布直方图． 请估计该校 名学生中每月零花钱数额低于 元的人数． ; 画图见解析． ． 这次被调查的人数共有 ，则 ． 故答案为： ； ． 补全频数直方图如下： 人数 频数 零花钱数额 元 估计每月零花钱的数额 范围的人数为： ． 四、解答题． （本大题共2小题，每小题8，共16分） 19. / （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ） （ 2 ） 【答案】 （ 1 ） （ 2 ） 【解析】 动画片《小猪佩奇》风靡全球，受到孩子们的喜爱，现有 张（小猪佩奇）角色卡片，分别是 佩奇， 乔治， 佩奇妈妈， 佩奇爸爸（四张卡片除字母和内容外，其余完全相同）姐弟两人 做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝上放好． 姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到 佩奇的概率为 ． 若两人分别随机抽取一张卡片（不放回），请用列表或画树状图的方法求出恰好姐姐抽到 佩奇，弟弟抽到 乔治的概率． 画图见解析，概率为 ． ∵姐姐从 张卡片中随机抽取一张卡片， ∴恰好抽到 佩奇的概率 ， 故答案为： ． 画树状图为： 共有 种等可能的结果数，其中姐姐抽到 佩奇，弟弟抽到 乔治的结果数 为 ， 所以姐姐抽到 佩奇，弟弟抽到 乔治的概率 ． 20. （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ）【答案】 为迎接“七•一”党的生日，某校准备组织师生共 人参加一次大型公益活动，租用 辆大客车 和 辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位数比小客车多 个． 求每辆大客车和每辆小客车的座位数． 经学校统计，实际参加活动的人数增加了 人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆 总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用小客车多少辆？ 每辆大客车的座位数是 个，每辆小客车的座位数是 个． / （ 2 ） （ 1 ） （ 2 ） 【解析】 最多租用小客车 辆． 设每辆小客车的座位数是 个，每辆大客车的座位数是 个，根据题意可得： ， 解得： ． 答：每辆大客车的座位数是 个，每辆小客车的座位数是 个． 设租用 辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则 ， 解得： ， 符合条件的 最大整数为 ． 答：最多租用小客车 辆． 五、解答题． （本大题共2小题，每小题8分，共16分） 21. 【答案】 【解析】 如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点 处的求救者后，又发现点 正上方点 处还有一名求救者，在消防车上点 处测得点 和点 的仰角分别为 和 ， 点 距地面 米，点 距地面 米，为救出点 处的求救者，云梯需要继续上升的高度 约为多少米？ （结果保留整数，参考数据： ， ， ， ） 米． 如图作 于 ． 在 中，∵ ， ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ． / 22. （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ） （ 2 ） 【答案】 （ 1 ） （ 2 ） 【解析】 如图，在 中， ， 平分 交 于点 ， 是 上一点，经过 ， 两点的⊙ 交 于点 ，连接 ，作 的平分线 交⊙ 于点 ，连接 ． 求证： 是⊙ 的切线． 若 ， ，求线段 的长． 证明见解析． ． 连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是⊙ 的切线． 过 作 于 ， 中， ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是⊙ 的直径， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， / ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 六、解答题． （本大题共1小题，共10分） 23. （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 【答案】 （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 【解析】 某商场销售一种商品，进价为每个 元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于 元，经调 查发现，每天的销售量 （个）与每个商品的售价 （元）满足一次函数关系，其部分数据如下 所示： 每个商品的售价 （元） … … 每天的销售量 （个） … … 求 与 之间的函数表达式． 设商场每天获得的总利润为 （元），求 与 之间的函数表达式． 不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多 少？ ． ． 当商品的售价为 元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是 ． 设 与 之间的函数解析式为 ， 则 ， 解得 ， 即 与 之间的函数表达式是 ． 由题意可得， ， 即 与 之间的函数表达式是 ． ∵ ， ， ∴当 时， 随 的增大而增大； 当 时， 随 的增大而减小； 当 时， 取得最大值，此时 元． 即当商品的售价为 元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是 ． / 七、解答题． （本大题共2小题，共24分） 24. 图 （ 1 ） 图 1 图 2 （ 2 ） （ 1 ） 1 2 （ 2 ） 【答案】 （ 1 ）【解析】 如图 ，以平行四边形 的较短边 为一边作菱形 ，使点 落在边 上，连接 ，交 于点 ． 猜想 与 的数量关系，并说明理由． 延长 、 交于点 ，其他条件不变： 如图 ，若 ，求 的值． 如图 ，若 ，直接写出 的值（用含 的三角函数表 示）． ，理由见解析． ． ． ，理由是： 如图 ，∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∵四边形 是菱形， / 图 图 1 图 2 （ 2 ） ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ≌ ， ∴ ． 如图 ，设 ， ，则 ， 由（1）知： ≌ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ． 如图 ，连接 交 于 ， ∵四边形 是菱形， ∴ ， ， 设 ， ，则 ， ， 中， ， ∴ ， ∴ ， 过 作 于 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 中， ， ∴ ， ∴ ． / 25. （ 1 ） x y O 图 （ 2 ） x y O 图 （ 3 ） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） 【答案】 （ 1 ） （ 2 ） 【解析】 在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，二次函数 的图象经过 ， 两点，且与 轴的负半轴交于点 ，动点 在直线 下方 的二次函数图象上． 求二次函数的表达式． 如图 ，连接 ， ，设 的面积为 ，求 的最大值． 如图 ，过点 作 于点 ，是否存在点 ，使得 中的某个角恰好等于 的 倍？若存在，直接写出点 的横坐标；若不存在，请说明理由． ． ． 存在，点 的横坐标为 或 ． 把 代 得 ， ∴ ． 把 代 得 ， ∴ ，． 设抛物线的解析式为 ，将 代入得： ，解得： ， ∴ ． ∴抛物线的解析式 ，即 ． 如图所示：过点 作 轴，交 与点 ． 设 ，则 ， ． ∴ / x y O 图 x y O 图 （ 3 ） ． ∴当 时， 有最大值，最大值为 ． 如图所示：过点 作 垂足为 ， 交 与点 ． ∵ ， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ 为直角三角形． 取 的中点 ，连接 ，则 ， ∴ ． ∴ ． 当 ，则 ． 设 ，则 ， ． ∴ ，解得： （舍去）或 ． ∴点 的横坐标为 ． 当 时，设 ， ， ． ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ． ∴ ． ∴ ， 整理得： ， 解得： （舍去）或 ． ∴点 的横坐标为 ． 综上所述，当点 的横坐标为 或 ．