初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第二章方程与不等式 第7讲一元二次方程 39页

人教 数 学 第二章　方程与不等式 第 7 讲　一元二次方程 要点梳理 1 ． 定义 只含有 ， 并且未知数的最高次数是 __ ， 这样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式 ： ， 其中 a ， b ， c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项． 一个未知数 2 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ， b ， c 是已知数 ， a ≠ 0 ) 要点梳理 2 ． 解法 首先考虑 ， ； 其次考虑 ， ． 3 ． 公式： 一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a ≠ 0) 的求根公式： ． 直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法 要点梳理 4 ． 一元二次方程的根的判别式 对于一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a ≠ 0) ： (1) b 2 － 4 ac ＞ 0 ⇔ 方程有两个 的实数根； (2) b 2 － 4 ac ＝ 0 ⇔ 方程有两个 的实数根； (3) b 2 － 4 ac ＜ 0 ⇔ 方程 实数根． 不相等 相等 没有 要点梳理 5 ． 一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a ≠ 0) 的两根分别为 x 1 ， x 2 ， 则有 x 1 ＋ x 2 ＝ ， x 1 x 2 ＝ ． 转化思想 一元二次方程的解法 —— 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 ， 都是运用了 “ 转化 ” 的思想 ， 把待解决的问题 ( 一元二次方程 ) ， 通过转化、归结为已解决的问题 ( 一元一次方程 ) ， 也就是不断地把 “ 未知 ” 转化为 “ 已知 ” ． 一个注意 注意： (1) 根的判别式 “ b 2 － 4 ac ” 只有在确认方程为一元二次方程时才能使用； (2) 使用时 ， 必须将一元二次方程转化为一般式 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ， 以便确定 a ， b ， c 的值． 一个防范 正确理解 “ 方程有实根 ” 的含义．若有一个实数根则原方程为一元一次方程；若有两个实数根则原方程为一元二次方程．在解题时 ， 要特别注意 “ 方程有实数根 ”“ 有两个实数根 ” 等关键文字 ， 挖掘出它们的隐含条件 ， 以免陷入关键字的 “ 陷阱 ” ． 1 ． ( 2014· 宁夏 ) 一元二次方程 x 2 － 2x － 1 ＝ 0 的解是 ( ) A ． x 1 ＝ x 2 ＝ 1 B ． x 1 ＝ 1 ＋ 2 ， x 2 ＝－ 1 － 2 C ． x 1 ＝ 1 ＋ 2 ， x 2 ＝ 1 － 2 D ． x 1 ＝－ 1 ＋ 2 ， x 2 ＝－ 1 － 2 C 2 ． ( 2014 · 兰州 ) 一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a ≠ 0) 有两个不相等的实数根 ， 则 b 2 － 4ac 满足的条件是 ( ) A ． b 2 － 4 ac ＝ 0 　　　　　　　 B ． b 2 － 4 ac ＞ 0 C ． b 2 － 4 ac ＜ 0 D ． b 2 － 4 ac ≥ 0 B 3 ． ( 2014· 陕西 ) 若 x ＝－ 2 是关于 x 的一元二次方程 x 2 － 5 2 ax ＋ a 2 ＝ 0 的一个根 ， 则 a 的值为 ( ) A ． 1 或 4 B ．－ 1 或－ 4 C ． － 1 或 4 D ． 1 或－ 4 B 4 ． ( 2014 · 枣庄 ) x 1 ， x 2 是一元二次方程 3(x － 1) 2 ＝ 15 的两个解， 且 x 1 ＜ x 2 ， 下列说法正确的是 ( ) A ． x 1 小于－ 1 ， x 2 大于 3 B ． x 1 小于－ 2 ， x 2 大于 3 C ． x 1 ， x 2 在－ 1 和 3 之间 D ． x 1 ， x 2 都小于 3 A 5 ． ( 2014· 玉林 ) x 1 ， x 2 是关于 x 的一元二次方程 x 2 － mx ＋ m － 2 ＝ 0 的两个实数根 ， 是否存在实数 m 使 1 x 1 ＋ 1 x 2 ＝ 0 成 立？则正确的是结论是 ( ) A ． m ＝ 0 时成立 B ． m ＝ 2 时成立 C ． m ＝ 0 或 2 时成立 D ．不存在 A 一元二次方程的解法 【 例 1】 　解下列方程： (1) x 2 － 2 x ＝ 0 ； 解： ( 1 ) x 2 － 2x ＝ 0 ， x ( x － 2 ) ＝ 0 ， ∴ x 1 ＝ 0 ， x 2 ＝ 2 (2) ( 2014 · 徐州 ) x 2 ＋ 4x － 1 ＝ 0 ； (3)(y ＋ 3)(1 － 3y) ＝ 1 ＋ 2y 2 ； (4)(3x ＋ 5) 2 － 5(3x ＋ 5) ＋ 4 ＝ 0 ； (5)(1997 － x) 2 ＋ (x － 1996) 2 ＝ 1. 解法一： ( 1997 － x ) 2 ＋ ( x － 1996 ) 2 － 1 ＝ 0 ， ( 1997 － x ) 2 ＋ ( x － 1997 )( x － 1995 ) ＝ 0 ， ( x － 1997 )[( x － 1997 ) ＋ ( x － 1995 )] ＝ 0 ， 2 ( x － 1997 )( x － 1996 ) ＝ 0 ， x 1 ＝ 1997 ， x 2 ＝ 1996 　 解法二：因为 ( 1997 － x ) 2 ＋ ( x － 1996 ) 2 ＝ [( 1997 － x ) ＋ ( x － 1996 )] 2 － 2 ( 1997 － x )( x － 1996 ) ， 所以原方程可化为 1 － 2 ( 1997 － x )( x － 1996 ) ＝ 1 ， 2 ( 1997 － x )( x － 1996 ) ＝ 0 ， x 1 ＝ 1997 ， x 2 ＝ 1996 【 点评 】 　解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题 ， 但一般顺序为：直接开平方法 → 因式分解法 → 公式法． 1 ． 用指定的方法解下列方程： (1)(2 x － 1) 2 ＝ 9 ； ( 直接开平方法 ) (2) x 2 ＋ 3 x － 4 ＝ 0 ； ( 配方法 ) (3) x 2 － 2 x － 8 ＝ 0 ； ( 因式分解法 ) (4) x ( x ＋ 1) ＋ 2( x － 1) ＝ 0.( 公式法 ) x 2 － 2x － 8 ＝ 0 ， ( x － 4 )( x ＋ 2 ) ＝ 0 ， x 1 ＝ 4 ， x 2 ＝－ 2 　 配方法 【 例 2】 　用配方法把代数式 3 x － 2 x 2 － 2 化为 a ( x ＋ m ) 2 ＋ n 的形式 ， 并说明不论 x 取何值 ， 这个代数式的值总是负数．并求出当 x 取何值时 ， 这个代数式的值最大． 【 点评 】 　 (1) 代数式的配方是一种重要的数学方法 ， 它既是恒等变形的重要手段 ， 又是研究相等关系 ， 讨论不等关系的常用方法．在配方前 ， 先将二次项系数－ 2 提出来 ， 使括号中的二次项系数化为 1 ， 然后通过配方分离出一个完全平方式． (2) 注意与方程的配方的区别． 2 ． ( 1 ) ( 2014· 聊城 ) 用配方法解一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ≠ 0 ) ， 此方程可变形为 ( ) A ． ( x ＋ b 2 a ) 2 ＝ b 2 － 4 ac 4 a 2 B ． ( x ＋ b 2 a ) 2 ＝ 4 ac － b 2 4 a 2 C ． ( x － b 2 a ) 2 ＝ b 2 － 4 a 4 a 2 D ． ( x － b 2 a ) 2 ＝ 4 ac － b 2 4 a 2 A (2) 对于二次三项式 x 2 － 10 x ＋ 36 ， 小聪同学作出如下结论：无论 x 取什么实数 ， 它的值都不可能等于 11. 你是否同意他的说法？说明你的理由． 解：不同意小聪的说法．理由如下： x 2 － 10x ＋ 36 ＝ x 2 － 10x ＋ 25 ＋ 11 ＝ ( x － 5 ) 2 ＋ 11 ≥ 11 ， 当 x ＝ 5 时 ， x 2 － 10x ＋ 36 有最小值 11 一元二次方程根的判别式 【 例 3】 　 ( 2014 · 深圳 ) 下列方程没有实数根的是 ( ) A ． x 2 ＋ 4 x ＝ 10 B ． 3 x 2 ＋ 8 x － 3 ＝ 0 C ． x 2 － 2 x ＋ 3 ＝ 0 D ． ( x － 2)( x － 3) ＝ 12 C 【 点评 】 　对于一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a ≠ 0) 的根的情况的描述 ， 必须借助根的判别式 ， Δ ≥ 0 方程有两个实数根 ， Δ ＞ 0 方程有两个不相等的实数根 ， Δ ＝ 0 方程有两个相等的实数根 ， Δ ＜ 0 方程没有实数根 ， 反之亦然． 3 ． ( 1 ) ( 2014· 内江 ) 若关于 x 的一元二次方程 ( k － 1 ) x 2 ＋ 2x － 2 ＝ 0 有两个不相等实数根 ， 则 k 的取值范围是 ( ) A ． k ＞ 1 2 B ． k ≥ 1 2 C ． k ＞ 1 2 且 k ≠ 1 D ． k ≥ 1 2 且 k ≠ 1 C (2) ( 2014 · 十堰 ) 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 ＋ 2(m ＋ 1)x ＋ m 2 － 1 ＝ 0. ① 若方程有实数根 ， 求实数 m 的取值范围； ② 若方程两实数根分别为 x 1 ， x 2 ， 且满足 (x 1 － x 2 ) 2 ＝ 16 － x 1 x 2 ， 求实数 m 的值． 解： ① 由题意有 Δ ＝ [ 2 ( m ＋ 1 )] 2 － 4 ( m 2 － 1 ) ≥ 0 ， 整理得 8m ＋ 8 ≥ 0 ， 解得 m ≥ － 1 ， ∴ 实数 m 的取值范围是 m ≥ － 1 ② 由两根关系 ， 得 x 1 ＋ x 2 ＝－ 2 ( m ＋ 1 ) ， x 1 · x 2 ＝ m 2 － 1 ， ( x 1 － x 2 ) 2 ＝ 16 － x 1 x 2 ， ( x 1 ＋ x 2 ) 2 － 3x 1 x 2 － 16 ＝ 0 ， ∴ [ － 2 ( m ＋ 1 )] 2 － 3 ( m 2 － 1 ) － 16 ＝ 0 ， ∴ m 2 ＋ 8m － 9 ＝ 0 ， 解得 m ＝－ 9 或 m ＝ 1. ∵ m ≥ － 1 ， ∴ m ＝ 1 与几何问题的综合 【 例 4】 　 (1) 已知等腰三角形底边长为 8 ，腰长是方程 x 2 － 9 x ＋ 20 ＝ 0 的一个根， 求这个等腰三角形的腰长． 解：解方程 x 2 － 9x ＋ 20 ＝ 0 ， x 1 ＝ 4 ， x 2 ＝ 5 ， 当腰长 x ＝ 4 时 ， 4 ＋ 4 ＝ 8 ， 不合题意 ， 舍去 ， ∴ 腰长 x ＝ 5 ( 2 ) ( 2013· 绵阳 ) 已知整数 k ＜ 5 ， 若 △ ABC 的边长均满足关 于 x 的方程 x 2 － 3 k x ＋ 8 ＝ 0 ， 则 △ ABC 的周长是 ． 6 或 12 或 10 【 点评 】 (1) 将构成三角形的条件 “ 三角形任意两边之和 大于第三边 ” 与一元二次方程的解结合在一起 ， 并考查了 分类讨论的思想． (2) 根据题意得 k ≥ 0 且 (3 k ) 2 － 4 × 8 ≥ 0 ， 而整数 k ＜ 5 ， 则 k ＝ 4 ， 方程变形为 x 2 － 6 x ＋ 8 ＝ 0 ， 解得 x 1 ＝ 2 ， x 2 ＝ 4 ， 由于 △ ABC 的边长均满足关于 x 的方程 x 2 － 6 x ＋ 8 ＝ 0 ， 所以 △ ABC 的边长可以为 2 ， 2 ， 2 或 4 ， 4 ， 4 或 4 ， 4 ， 2 ， 然后分别计算三角形周长． 4 ． ( 2013 · 铁岭 ) 如果三角形的两边长分别是方程 x 2 － 8x ＋ 15 ＝ 0 的两个根 ， 那么连接这个三角形三边的中点 ， 得到的三角形的周长可能是 ( ) A ． 5.5 　　　 B ． 5 　　　 C ． 4.5 　　　 D ． 4 A 试题 (1) 解方程： 3 x ( x ＋ 2) ＝ 5( x ＋ 2) ； (2) 解方程： 9 x 2 ＋ 6 x ＋ 1 ＝ 9 ； (3) 解方程： x 2 － 2 x ＋ 1 ＝ 0. 错解 (1) 解： 3 x ( x ＋ 2) ＝ 5( x ＋ 2) ， 两边同时除以 ( x ＋ 2) ， 得 3 x ＝ 5 ， ∴ x ＝ 5 3 . (2) 解： 9 x 2 ＋ 6 x ＋ 1 ＝ 9 ， 左边因式分解 ， 得 (3 x ＋ 1) 2 ＝ 9 ， 两边开平方 ， 得 3 x ＋ 1 ＝ 3 ， ∴ x ＝ 2 3 . (3) 解： x 2 － 2 x ＋ 1 ＝ 0 ， 配方 ， 得 ( x － 1) 2 ＝ 0 ， 两边开平方 ， 得 x － 1 ＝ 0 ， ∴ x ＝ 1. 剖析 (1) 解方程 3 x ( x ＋ 2) ＝ 5( x ＋ 2) 时 ， 方程两边同时除以含 x 的代数式破坏了方程的同解性 ， 遗失了一个根 x ＝－ 2 ；解方程 9 x 2 ＋ 6 x ＋ 1 ＝ 9 ， 在开平方时 ， 由于只取了一个算术平方根 ， 这样就把未知数的取值范围缩小了 ， 遗失了一个根；解方程 x 2 － 2 x ＋ 1 ＝ 0 时 ， 解得的结果应写成 x 1 ＝ x 2 ＝ 1. (2) 一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a ≠ 0) 根的判别式表明 ， 在 Δ ＝ b 2 － 4 ac ≥ 0 时 ， 有两个实数根 ， 即 Δ ＞ 0 时有两个不相等的实数根 ， Δ ＝ 0 时有两个相等的实数根．但在解题过程中 ， 往往出现只有一个根的现象 ， 这就表明遗失了一个根． (3) 规范解答 ， 理解一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法的规范步骤 ， 才能避免失根． 正解 (1) 解： 3 x ( x ＋ 2) ＝ 5( x ＋ 2) ， 3 x ( x ＋ 2) － 5( x ＋ 2) ＝ 0 ， ( x ＋ 2)(3 x － 5) ＝ 0 ， ∴ x ＋ 2 ＝ 0 或 3 x － 5 ＝ 0 ， ∴ x 1 ＝－ 2 ， x 2 ＝ 5 3 . (2) 解： 9 x 2 ＋ 6 x ＋ 1 ＝ 9 ， 左边因式分解 ， 得 (3 x ＋ 1) 2 ＝ 9 ， 两边开平方 ， 得 3 x ＋ 1 ＝ ±3 ， 即 3 x ＋ 1 ＝ 3 或 3 x ＋ 1 ＝－ 3 ， ∴ x 1 ＝ 2 3 ， x 2 ＝－ 4 3 . (3) 解： x 2 － 2 x ＋ 1 ＝ 0 ， 配方 ， 得 ( x － 1) 2 ＝ 0 ， 两边开平方 ， 得 x － 1 ＝ 0. ∴ x 1 ＝ x 2 ＝ 1.