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- 2021-11-11 发布
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人教
数
学
第六章 图形的性质
(
二
)
第
26
讲 圆的弧长和图形面积的计算
要点梳理
1
.
弧长及扇形的面积
(1)
半径为
r
,
n
°
的圆心角所对的弧长公式:
;
(2)
半径为
r
,
n
°
的圆心角所对的扇形面积公式:
_
.
要点梳理
2
.
圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形
,
若设圆锥的母线长为
l
,
底面半径为
r
,
那么这个扇形的半径为
l
,
扇形的弧长为
2π
r
.
(1)
圆锥侧面积公式:
S
圆锥侧
=
;
(2)
圆锥全面积公式:
S
圆锥全
= .
π
rl
π
rl
+
π
r
2
要点梳理
3
.
求阴影部分面积的几种常见方法
(1)
公式法;
(2)
割补法;
(3)
拼凑法;
(4)
等积变形构造方程法;
(5)
去重法.
一种联系
圆锥的侧面是一个扇形
,
因而其面积是一个扇形的面积
,
其扇形的半径是圆锥的母线
,
弧长是底面的周长.在求圆锥侧面积或全面积的时候
,
常需要借助于它的展开图进行分析
,
因此理清圆锥与它的展开图中各量的关系非常重要
,
下面图示可以帮助我们进一步理解它们之间的关系.
一种转化
最短距离问题
,
通常借助于展开图来解决.在将立体图形转化为平面图形后
,
应把题中已知条件转化到具体的线段中
,
最后构造直角三角形解题.
两个技巧
(1)
求运动所形成的路径长或面积时
,
关键是理清运动所形成图形的轨迹变化
,
特别是扇形
,
需要理清圆心与半径的变化;
(2)
处理不规则图形的面积时
,
注意利用割补法与等积变换转化为规则图形
,
再利用规则图形的公式求解.
三个等量关系
(1)
展开图扇形的弧长=圆锥底面圆的周长;
(2)
展开图扇形的面积=圆锥的侧面积;
(3)
展开图扇形的半径=圆锥的母线.
1
.
(
2014·
宜
昌
)
如图
,
在
4
×
4
的正方形网格中
,
每个小正
方形的边长为
1
,
若将
△
AOC
绕点
O
顺时针旋转
90
°
得到
△
BOD
,
则
AB
︵
的长为
(
)
A
.
π
B
.
6
π
C
.
3
π
D
.
1.5
π
D
2
.
(
2014·
牡丹江
)
如图
,
AB
是
⊙
O
的直径
,
弦
CD
⊥
AB
,
∠
CDB
=
30
°
,
CD
=
2
3
,
则
S
阴影
=
(
)
A
.
π
B
.
2
π
C.
2
3
3
D.
2
3
π
D
3
.
(
2014·
绍兴
)
如图
,
圆锥的侧面展开图是半径为
3
,
圆心
角为
90
°
的扇形
,
则该圆
锥的底面周长为
(
)
A.
3
4
π
B.
3
2
π
C.
3
4
D.
3
2
B
4
.
(
2014
·
成都
)
在圆心角为
120°
的扇形
AOB
中
,
半径
OA
=
6
cm
,
则扇形
OAB
的面积是
(
)
A
.
6π cm
2
B
.
8π cm
2
C
.
12π cm
2
D
.
24π cm
2
C
弧长公式的应用
【
例
1
】
(
2013·
遵义
)
如图
,
将边长为
1
cm
的等边三角形
ABC
沿直线
l
向右翻动
(
不滑动
)
,
点
B
从开始到结束
,
所
经过路径的长度为
(
)
A.
3
2
π
cm
B
.
(
2
+
2
3
π
)
cm
C.
4
3
π
cm
D
.
3
cm
C
5
.
(
2014·
河北
)
如图
,
边长为
a
的正六边形内有两个三角
形
(
数据如图
)
,
则
S
阴影
S
空白
=
(
)
A
.
3
B
.
4
C
.
5
D
.
6
C
【
点评
】
本题考查了弧长的计算
,
解答本题的关键是仔细观察图形
,
从开始到结束经过两次翻动
,
求出点
B
两次划过的弧长
,
即可得出所经过路径的长度.注意熟练掌握弧长的计算公式.
1
.
(
2014·
龙东
)
一圆锥体形状的水晶饰品
,
母线长是
10
cm
,
底面圆的直径是
5
cm
,
点
A
为圆锥底面圆周上一点
,
从
A
点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到
A
点
,
则彩带最少用多
少厘米
(
接口处重合部分忽略不计
)(
)
A
.
10
π
cm
B
.
10
2
cm
C
.
5
π
cm
D
.
5
2
cm
B
扇形面积公式的运用
【
例
2
】
如图
,
BD
是汽车挡风玻璃前的刮雨刷.如果
BO
=
65 cm
,
DO
=
15 cm
,
当
BD
绕点
O
旋转
90°
时
,
求刮雨刷
BD
扫过的面积.
解:在
△
AOC
和
△
BOD
中
,
∵
OC
=
OD
,
AC
=
BD
,
OA
=
OB
,
∴△
AOC
≌△
BOD
,
∴
阴影部分的面积为扇环
的面积
,
即
S
阴影
=
S
扇形
AOB
-
S
扇形
COD
=
1
4
π
(
OA
2
-
OC
2
)
=
1
4
π
×
(
65
2
-
15
2
)
=
1000
π
(
cm
2
)
【
点评
】
阴影部分一般都是不规则的图形
,
不能直接
用公式求解
,
通常有两条思路
,
一是转化成规则图形面
积的和、差;二是进行图形的割补
.
此题可利用图形的
割补
,
把
△
OAC
放到
△
OBD
的位置
.
扇形面积公式和弧
长公式容易混淆
.
S
扇形
=
n
360
π
R
2
=
1
2
lR
.
2
.
(
2014·
莱芜
)
如图
,
AB
为半圆的直径
,
且
AB
=
4
,
半圆
绕点
B
顺时针旋转
45
°
,
点
A
旋转到
A′
的位置
,
则图中
阴影部分的面积为
(
)
A
.
π
B
.
2
π
C.
π
2
D
.
4
π
B
圆锥的侧面展开图
【
例
3
】
(1)
(
2014
·
黔南州
)
如图
,
圆锥的侧面积为
15
π
,
底面圆半径为
3
,
则该圆锥的高
AO
为
(
)
A
.
3 B
.
4
C
.
5 D
.
15
B
(
2
)
(
2014·
牡丹江
)
如图
,
如果从半径为
3
cm
的圆形纸片上
剪去
1
3
圆周的一个扇形
,
将留下的扇形围成一个圆锥
(
接缝
处不重叠
)
,
那么这个圆锥的底面半径是
__
__
cm.
2
【
点评
】
就圆锥而言
,
“
底面圆的半径
”
和
“
侧面展开图的扇形半径
”
是完全不同的两个概念
,
要注意其区别和联系
,
其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长
,
扇形的半径为圆锥的母线长;圆锥的底面半径、母线和高组成了一个直角三角形.
3
.
现有
30%
圆周的一个扇形彩纸片
,
该扇形的半径为
40 cm
,
小红同学为了在六一儿童节联欢晚会上表演节目
,
她打算剪去部分扇形纸片后
,
利用剩下的纸片制作成一个底面半径为
10 cm
的圆锥形纸帽
(
接缝处不重叠
)
,
求剪去的扇形纸片的圆心角度数.
解:
∵
圆锥的母线长为
40
,
底面半径为
10
,
∴
圆锥展开
图的圆心角=
20
40
×
180
°
=
90
°
,
∴
剪去扇形纸片的圆心
角度数=
360
°
×
30%
-
90
°
=
108
°
-
90
°
=
18
°
求阴影部分的面积
【
例
4
】
(
2014·
黔西南州
)
如图
,
点
B
,
C
,
D
都在
⊙
O
上
,
过
C
点作
CA
∥
BD
交
OD
的延长线于点
A
,
连接
BC
,
∠
B
=
∠
A
=
30
°
,
BD
=
2
3
.
(1)
求证:
AC
是
⊙
O
的切线;
(2)
求由线段
AC
,
AD
与弧
CD
所围成的阴影部分的面积.
(
结果保留
π
)
【
点评
】
本题考查了平行线的性质
,
圆周角定理
,
扇形的面积
,
三角形的面积
,
解直角三角形等知识点的综合运用.
4
.
(
2014
·
河南
)
如图
,
在菱形
ABCD
中
,
AB
=
1
,
∠
DAB
=
60°
,
把菱形
ABCD
绕点
A
顺时针旋转
30°
得到菱形
AB′C′D′
,
其中点
C
的运动路径为
CC′
,
则图中阴影部分的面积为
.
试题
扇形的半径为
30
cm
,
圆心角为
120
°
,
用它做成一
个圆锥的侧面
,
求圆锥的侧面积是多少?
错解
解:设圆锥的底面半径为
r
,
母线长为
l
.
∵
120
360
π
r
2
=
π
rl
,
∴
120
360
π
×
30
2
=
π
×
30
×
l
,
解得
l
=
10
,
∴
S
侧面积
=
π
r
×
l
=
300
π
(
cm
2
)
.
剖析
上述解法混淆了圆锥底面半径和扇形半径
,
看上去好像答案是
正确的
,
这只不过是题设中数据的一种巧合而已
.
圆锥底面半径
≠
扇
形半径
,
圆锥的侧面展开图是一个扇形
,
若设圆锥的母线为
l
,
底面
圆的半径为
r
,
那么这个扇形的半径为
l
,
扇形的弧长为
2
π
r
,
面积
S
圆锥
侧
=
1
2
(
2
π
r
)
·
l
=
π
rl
,
S
圆锥表
=
π
r
2
+
π
rl
,
扇形的圆心角
θ
=
r
l
×
360
°
,
如图
.
正解
解:设圆锥的底面半径为
r
,
母线长为
l
,
已知
l
=
30.
∵
r
l
×
360
°
=
120
°
,
∴
r
=
10
,
∴
S
侧面积
=
π
rl
=
300
π
(
cm
2
)
.或:
S
侧面积
=
S
扇形
=
n
360
×
π
r
2
=
120
360
×
π
×
30
2
=
300
π
(
cm
2
)
.
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