中考数学专题复习练习：圆扇形弓形的面积 20页

‎ 例 如图，已知半径OA=6cm，C为OB的中点，∠AOB=120°，求阴影部分的面积．‎ 解：过A作AD⊥BO交BO的延长线于D，‎ 则AD是△ACO的边OC上的高，‎ ‎∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°，‎ ‎∴AD=OAsin60°=．‎ ‎∴S阴影=S扇形ABO-S△ACO=‎ 说明：（1）此题应用解直角三角形，三角形面积公式和扇形面积公式；（2）阴影部分的面积是由扇形和三角形组合而成，熟练拿握扇形面积公式和三角形面积公式是求此阴影部分面积的关键；（3）灵活选用三角形面积公式：‎ ‎①；②．‎ 例 已知：弓形的弧的度数为240°，弧长是，求弓形的面积．‎ 解：如图，根据弧长公式有．‎ ‎∴OA=2．∴ S扇形OAmB=，‎ S△OAB= ，∴S弓形AmB=．‎ 说明：（1）弓形面积的计算；（2）弓形面积可以看成是扇形面积和三角形面积的分解和组合，实际应用时，要注意公式的选择．‎ 例 如图，在边长l的正方形中，以各顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为 ．‎ 解：S阴影=．‎ 说明：求面积问题的常用方法有：直接公式法，和差法，割补法等．‎ ‎ ‎ 例 如图，已知半径为1的三个等圆⊙A、⊙B、⊙C两两外切，切点分别为M、N、P，求夹在三个等圆中间的曲边形MNP的面积．‎ 分析：连结AB、BC、CA，则必分别过点M、N、P．曲边形MNP如果先借添上三个全等扇形即构成了正△ABC，算出△ABC的面积后再还掉三个扇形．这样一借一还，先借后还，剩下的就是曲边形MNP．‎ 解：S曲边形MNP=‎ ‎=．‎ 说明：求有关不规则图形的面积问题的关键是将图形分解为可求图形面积的和差问题，本题是作辅助线构造三角形和扇形的面积解决的．‎ 典型例题五 例 已知扇形的圆心角150°，弧长为cm，则扇形的面积为_______.‎ 解：设扇形的面积为S，弧长为l，所在圆的半径为R，由弧长公式，得.‎ ‎∴（cm）.‎ 由扇形面积公式，得 ‎.故填.‎ 说明：本题主要考察弧长公式和扇形面积公式.‎ 典型例题六 例 已知弓形的弦长等于半径R，则此弓形的面积为________.（弓形的弧为劣弧）‎ 解：∵弓形的弦长等于半径R，‎ ‎∴弓形的弧所对的圆心角为60°，‎ ‎∴扇形的面积为.‎ 三角形的面积为.‎ ‎∴弓形的面积为.‎ 即 .故应填.‎ 说明：注意弓形面积的计算方法，即弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的和或差.本题若没有括号里的条件，则有两种情况.‎ 典型例题七 例 如图，已知扇形的中心角为直角，若，以为直径作半圆，求圆中阴影部分的面积.‎ 分析：欲求图形中阴影部分的面积，必须弄清求这个面积没有直接的公式计算，只有通过可求面积的和差来解决，因为阴影部分的面积等于以为直径的半圆面积减去弓形的面积，而.‎ 解 ，则 ‎ ‎ 即阴影部分面积 典型例题八 例 如图，为⊙外一点，交⊙于，切⊙于，厘米，厘米，求图中阴影部分的面积.‎ 分析：图中阴影部分面积计算无公式可用，可转化为与扇形的面积差.‎ 解 连结，因为⊙的切线，故 设⊙的半径为，‎ 在中，，，.‎ 则有，‎ ‎（平方厘米）‎ 说明：本例求半径时，还可用切割线定理.‎ 典型例题九 例 已知：如图，和是⊙中互相垂直的半径，在上，弧的圆心是，半径是，⊙与⊙、⊙、都相切，.求图中阴影部分的面积.‎ 解析 设⊙与⊙、⊙、分别切于点、、，设⊙的半径为，连结，，过点作于，连结、、.‎ 又 ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ‎ 或（舍去）‎ 又是等边三角形 扇形和扇形的面积相等且都等于 ‎、、所组成的图形面积为扇形和扇形的面积之和减去三角形的面积.‎ 即 又扇形的面积为：‎ 阴影部分的面积为：‎ ‎ ‎ 说明：求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，最后通过面积的加、减得出结论.本题较为复杂，考察的知识面较多，要正确作辅助线，找出解题的思路.‎ 典型例题十 例 （1）已知扇形的半径为10cm，弧长为cm，则扇形的面积为______cm2.‎ ‎（2）一个扇形的半径等于一个圆的半径的倍，且面积相等，则这个扇形的圆心角等于________度.‎ ‎（3）如图，已知半圆的直径，则图中阴影部分的面积等于_________.‎ 解 （1）设扇形半径为R，弧长为l，则 ‎（2）设扇形的半径为，则圆的半径为R，‎ ‎.依题意，得扇形的圆心角为：‎ ‎（3）连结∴‎ ‎∴又 又 说明：本题考查面积公式的应用，弄清公式中字母的意义，善于进行图形的转换是解题关键.‎ 典型例题十一 例 如图，已知：⊙O的长l是半径R的倍，是方程的根，，求弓形AmB的面积.‎ 解 延长线段OC交⊙O于，作于G，‎ ‎∴又 ‎∴‎ 在Rt中，‎ ‎∴，又 ‎∴‎ 是方程的根，‎ ‎∴，① ②‎ 又 ③‎ ‎∴ ④‎ 由②④得，由①，③得 解方程组 得 ‎∴‎ ‎∴弓形AmB的面积 说明：本题考查方程与面积的综合应用，解题关键是求⊙O的半径，应用一元二次方程的根与系数关系等求出面积.‎ 典型例题十二 例 如图，已知：⊙O的半径为R，直径直径CD，以B为圆心，以BD为半径作⊙B交AB于E，交AB的延长线于F，连结DB并延长交⊙B于M，连结MA交⊙O于N，交CD于H，交⊙B于G.（1）求图中阴影部分的面积S；（2）求证：‎ 解 （1）连结BC，则 ‎（2）由相交弦定理，得，‎ ‎∴‎ 说明：本题综合考查阴影面积计算与比例线段的证明，解题关键是把组合图形的面积，化归为几个简单图形面积的和或差.‎ 典型例题十三 例 如图，为某一住宅区的平面示意图，其周长为800米，为了美化环境，计划在住宅区周围5米（虚线以内，之外）作为绿化带，则绿化带的面积为______（米2）.‎ 解 分别过作 ‎，‎ 则 ‎ ‎ 说明：本题考查不规则图形的面积计算，解题关键是通过作辅助线转化为规则几何图形求解.‎ 选择题 ‎1. 如图，在中，，以为直径的圆交于，则图中阴影部分面积为（）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎2. 如果扇形的圆心角为，扇形面积为，那么扇形的弧长为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 正方形的内切圆半径为，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 设三个同心圆的半径分别为，，，且，如果大圆的面积被两个小圆分成三等分，那么为（）‎ A．1：2：3 B． C． D．‎ ‎5．已知如图，扇形的半径为12，，为上一点，以为直径的半圆和以为直径的半圆相切于点，则图中阴影部分面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6．若⊙的60°弧与⊙的45°弧长度相等，则⊙与⊙的面积之比为（ ）‎ A．16：9 B．9：16 C．4：3 D．3：4‎ ‎7．若扇形的面积为，它的弧所对的圆心角为25°，则扇形的半径是（ ）‎ A． B． C．12 D．‎ ‎8．两圆半径分别为R和r，另有一大圆的面积等于这两圆面积之和的4倍，则此大圆半径为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．两同心圆小圆切线被大圆所截部分为6cm，则这两圆围成的环形面积为（ ）。‎ A．9cm2 B．36cm2 C． D．‎ ‎10．两同心圆O中，小圆的切线PA切小圆于A，交大圆于切大圆于cm，则两圆围成的环形面积为（ ）‎ A．3cm2 B． C． D．‎ ‎11．⊙O的面积为，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则夹在圆和六边形之间的部分的面积为（ ）cm2。‎ A． B． C． D．‎ ‎12．如图，以边长为a的正三角形的三个顶点为圆心，以边长一半为半径画弧，则三弧所围成的阴影部分的面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎13．如图，正方形ABCD的边长为1cm，以CD为直长在正方形内画半圆，再以C为圆心，1cm长为半径画弧BD，则图中阴影部分面积为（ ）cm2。‎ A． B． C． D．‎ ‎14．三个半径为R的圆两两外切，则夹在三个圆之间部分的面积是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎15．如图，在扇形OAB中，，再以AB为直径作半圆，所得月牙形面积为（ ）‎ A．大于 B．等于 C．小于 D．都有可能 ‎16．若两个扇形的弧长分别是和，中心角分别是和，且，则这两个扇形的面积比是（ ）‎ A．B．C．D．‎ ‎17．如图，三个内发圆的面积之和与半圆内阴影部分的面积相比较，下列结论正确的是（ ）‎ A．阴影部分面积较大 B．阴影部分面积较小 C．二者面积相等 D．二者面积大小不能确定 ‎18．已知AB是两个同心圆中大圆的弦，也是小圆的切线，用AB的长表示这两个同心圆中的圆环的面积为（ ）。‎ A． B． C． D．‎ ‎19．等边三角形外接圆半径R是内切圆半径r的（ ）。‎ A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍 ‎20．如图，正六边形的螺帽的边长a，这个扳手的开口b最应是（用含a的代数式表示）（ ）。‎ A． B． C． D．‎ ‎21．如图，Rt中，，分别以为直径作半圆，则图中阴影部分面积为（ ）。‎ A． B． C． D．‎ ‎22．如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于P，大圆的弦经过点P，且，则两圆组成圆环面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎23．如图，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OE长为半径的半圆交AB于两点，弦AC是小圆的切线，D为切点，若，则阴影部分面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎24．如图，在计算机白色屏幕上有一个矩形画刷ABCD，它的边，以B 点为中心，按顺时针方向转动到的位置（点在对角线BD上），则这个画刷所着色的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（画刷，指屏幕上的一个矩形块，它在屏幕上移动或转动时，它扫过的部位将改变颜色）‎ 参考答案：‎ ‎1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6.B 7.B 8. D 9. C 10. D 11. A 12. A 13. C 14.D 15. B 16. C 17. B 18. A 19．A 20．A 21．A 22．B 23．A 24．A 填空题 ‎1. 扇形的面积为 cm2，扇形所在圆的半径cm，则圆心角为 度．‎ ‎2. 扇形的面积为，且半径长，则扇形的圆心角为________‎ ‎3. 已知扇形的圆心角为210°，弧长是28π，则扇形的面积为 ．‎ ‎4. 已知扇形的半径为5cm，面积为20 cm2，则扇形弧长为 cm．‎ ‎5. 如图1所示，矩形中长和宽分别为10 cm和6cm，则阴影部分的面积为 ．‎ ‎6. 如图2所示，边长为a的正三角形中，阴影部分的面积为 ．‎ ‎7. 圆内接正六边形的周长为12cm，同圆内接正方形的边长为 cm，此正方形的一边截得的小弓形的面积为 cm2． ’‎ ‎8. 弓形的弦长为2cm，弓形高为1cm，则弓形所在圆的半径为 cm，弓形的面积为 cm2．‎ ‎9. 扇形的周长为，面积为，扇形的半径为________‎ ‎10. 扇形的中心角为，弧长为，则扇形面积为________ ‎ ‎11. 半径为2的圆中，圆心角为的扇形面积为__________‎ ‎12. 半径为的圆上，一条含 弧的弧长为________，由该弧及半径所围成的扇形面积为_______‎ ‎13．扇形的圆心角为120°，半径为3，则扇形的弧长是 .‎ ‎14. 扇形的圆心角为，它的面积为，则此扇形的半径长为________‎ ‎15. 若圆内接正六边形的边长为，则它的边心距为________，正六边形的一边在圆上截得的弓形面积为_________‎ ‎16. 圆的半径为，弓形弧的度数为，则弓形的面积为_______‎ ‎17．如图，已知：为⊙外一点，连交⊙于，为⊙的切线，为切点，，，则劣弧与围成的阴影部分的面积为 .‎ ‎18．已知：⊙的半径为，以⊙上任意一点为圆心，以为半径作弧与⊙相交于，则所围成的图形面积为 .‎ ‎19．圆心角是1°的扇形面积是________．‎ ‎20．半径为6的圆中，弦长为的弓形（小于半圆）面积等于________．‎ ‎21．已知扇形面积为，弧的度数为75°，则扇形的周长为______．‎ ‎22．两直角边分别为的直角三角形外接圆面积是___________．‎ ‎23．圆心角为150°，弧长为cm的扇形面积是______．‎ ‎24．圆，圆外切，又都内切于圆，三个圆心在一条直线上，cm，则圆的面积是_________．‎ ‎25．在面积相等的正三角形和正方形中，边长大的是_________．‎ ‎26．如图，AB为半圆的直径，，垂足为D，交半圆于，则 ‎27．如图，半径为8的圆内有相距为8 的两条平等弦，且两弦相等，则圆内这两条平行弦所夹的面积是_______．‎ ‎28．如图，以正方形ABCD的顶点B，D为圆心，边长a为半径作弧，则阴影部分面积为________．‎ ‎29．弓形弧所对圆心角120°，弧的半径为1，则弓形面积为________．‎ ‎30．圆内接正方形边长为a，则此正方形截得的小弓形面积为_________．‎ ‎31．弓形弦长为cm，高为1cm，则弓形面积为________．‎ ‎32．三个同心圆中，两小圆把大圆面积三等分，则三圆半径之比为________．‎ ‎33．已知正三角形的边长为a，则它的内切圆与外接圆组成的圆环面积为_________．‎ ‎34．圆的两条半径把圆分成两个扇形，它们的面积比为7：2，且较大扇形的面积等于，那么圆的半径 ‎35．如图，AB是半圆O的直径，点是半圆O的三等分点，如果，那么图中阴影部分面积为________．‎ ‎36．如图，两个同心圆被两条半径截得的，又cm，⊙与都相切，则图中阴影部分面积为_________．‎ ‎37．已知：如图，OA是⊙O半径，AB是以OA为直径的⊙的弦，的延长线交⊙O于点C，且，则由和线段BC 所围成的图形面积是_________．‎ 参考答案与提示:‎ ‎1．120 ；2. 3. 336π ;4. 8 ; 5. （60-13π）cm2 ; 6. ; 7. 、π-2 ； 8. 2 、 . 9. 或 10. 11. 12. 、13． 14. 15. 、16. 17 ．.提示：连结，在中，设，由勾股定理得 ‎. ∴，.‎ ‎∴，.‎ ‎∴⊙.‎ ‎18．.‎ ‎19． 20． 21． 22． 23． 24．‎ ‎25．正三角形 26． 27． 28． 29． 30． 31． 32． 33． 34． 35． 36． 37．．‎ 解答题 ‎1. 如图，已知正方形ABCD的边长为10cm，分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，求阴影部分的面积．‎ ‎2. 已知：如图⊙O与⊙‎ O外切于C，半径分别为3和1，AB为两圆的外公切线，A、B为切点，求阴影部分的面积．‎ ‎3．如图，圆的半径为，在圆心的一旁引两条平行弦、它们所对的圆心角、‎ 分别为和，求这两条平行弦所夹的面积？‎ ‎4．如图，是半径为1的⊙外一点，，是圆的切线，是切点，弦，求图中阴影部分面积？‎ ‎5．如图，是⊙的内接正三角形，是边上的高，已知，求图中阴影部分的面积.‎ ‎6．如图，一种零件的横截面是由矩形、三角形和扇形组成，矩形的长，扇形所在的圆的半径，扇形的弧所对的圆心角为300°，求这种零件的横截面的面积.（精确到，，）.‎ ‎7．扇形的周长为14cm，面积为12cm2，求其半径。‎ ‎8．如图，正方形ABCD中，以A为圆心，AD为半径作弧交AC于E，若阴影部分面积为，求AC的长。‎ ‎9．Rt中，，其外接圆圆心为O，斜边cm，求和围成图形的面积。‎ ‎10．扇形的周长是5，圆心角为度，求此扇形的面积。‎ ‎11．如图，半径为2的⊙O中有长为的等弦，求图中阴影部分的面积。‎ ‎12．如图，⊙和⊙外切于点是外公切线。若。求阴影部分面积。‎ ‎13．一个扇形的面积为，它的弧长为，求圆心角及半径。‎ ‎14．AB为⊙O的直径，AC为弦，且C为的中点，若，求由及围成图形的面积。‎ ‎15．如图，矩形ABCD中，，以C为圆心，CB为半径画弧，交AD于E；以D为圆心，DC为半径画弧，交DA于F，求阴影部分面积。‎ ‎16．已知⊙O与⊙外切于C点，一条外公切线分别与两圆相切于两点，且⊙O与⊙的半径是1cm和3cm，求与AB所围成的图形的面积。‎ ‎17．已知正方形的边长是4cm，求它的内切圆与外接圆组成的圆环面积（答案保留）。‎ ‎18．如图，已知⊙与⊙外切于点是它们的外公切线，为连心线，。（1）求证：⊙周长等于的弧长；（2）当⊙半径为1cm时，求图中阴影部分面积。‎ ‎19．已知：如图，四边形ABCD是矩形，圆弧与AD相交于两点，与AB相切，B是切点，若，求：BC的长；（2）图中阴影部分的面积。‎ ‎20．已知：如图，是的两条弦，以DC为直径的⊙交BC于。求：（1）EC的长；（2）弓形EmC（阴影部分）的面积（不取近似值）。‎ ‎21．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆周上一动点。‎ ‎（1）若，求图中阴影部分的面积；‎ ‎（2）若，问C运动到何处时，阴影部分的面积最小？最小面积是多少？‎ 参考答案：‎ ‎1. 50（π-2）; 2. .3．‎ ‎4．连、可求 ‎ ‎5．连，，∴，，⊙的半径..‎ ‎∴.‎ ‎6．∵.可证为等边三角形，‎ ‎∴，.‎ 过点作于，得.‎ ‎∴，.‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎∴这个零件的横截面积为.‎ ‎7．或 ‎8．‎ ‎9．划分为与扇形OBC面积之和，面积为 ‎10．‎ ‎11．‎ ‎12．求出⊙的半径为，⊙的半径为。因，四边形为直角梯形，，故 ‎13．半径为6，中心角为60°‎ ‎14．‎ ‎15．连结CE，证，∴‎ ‎16．‎ ‎17．‎ ‎18．（1）略 （2）‎ ‎19．（1）由，得，（2）连 ‎20．（1）；（2）‎ ‎21．（1） （2）当时，.‎