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  • 2021-11-11 发布

中考数学专题复习练习:因式分解

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因 式 分 解 一、因式分解的意义:‎ 因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式 例01.下列四个从左到右的变形,是因式分解的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 说明 对因式分解理解应注意:①分解因式与因式分解是同义词;②结果应是整式乘积,而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式.‎ 例02.在下面多项式中,能通过因式分解变形为的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 二、因式分解的方法 类型一、提公因式法 例01.在下面因式分解中,正确的是( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 说明 A式左边是3项,而右边展开后是两项;D式左边无公因式2,只能提取出,而不能提取出2;若将B式右端展开,含的项的系数为-1,而将其左边展开,该项的符号为正。 ‎ 例02.把分解因式的结果为 。‎ 说明 要明确提公因式时应注意的事项:⑴如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数为正;⑵系数和字母应分别考虑. 公因式的系数应取各项系数的最大公约数;⑶字母应取各项共有的字母,并且各字母的指数取次数最低的。‎ 例03.分解因式:‎ 例04.分解因式:. ‎ 说明 ⑴观察题目结构特征 ‎ ⑵对于与的符号有下面的关系:‎ ‎ ‎ 例05.解方程:‎ ‎ 例06.不解方程组求:的值. ‎ 说明 本题巧妙地运用了转化思想,用提公因式法分解因式作为桥梁,把题给方程组和所求多项式结合起来,体现了思维的广阔性.‎ 针对练习:‎ ‎1、判断下列几个变形是否为因式分解的结果?‎ ‎ (1); (2);‎ ‎ (3); (4)‎ ‎2、确定下列各题中的公因式:‎ ‎ (1); (2)‎ ‎3、 把下列各式分解因式:‎ ‎ ⑴; ⑵‎ ‎ ⑶; ⑷‎ ‎ ⑸; ⑹ ‎ ‎4、计算:‎ ‎ (1); (2) ‎ 作业:‎ 一、选择题 ‎(1) 多项式提取公因式后的另一个因式是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(2) 下列各式分解正确切是( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎(3) 多项式的公因式是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(4) 将分解因式等于( )‎ ‎(A) (B)(C)(D)以上都不对 ‎(5) 下列因式分解的变形中,正确的是( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎(6) 多项式分解因式为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(7) 多项式分解因式为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 二、将下列多项式分解因式:‎ ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ 三、解答题 ‎1.求满足下列等式的的值 ‎(1) (2)‎ ‎2.计算题 ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎3.求值 ‎,其中,,.‎ ‎4.解答题 已知,为不相等的正数,比较与的大小.‎ ‎5.求值 已知,求多项式的值.‎ 因 式 分 解 类型二、公式法 ‎1、利用平方差公式因式分解:‎ 注意:①条件:两个二次幂的差的形式;‎ ‎②平方差公式中的、可以表示一个数、一个单项式或一个多项式;‎ ‎③在用公式前,应将要分解的多项式表示成的形式,并弄清、分别表示什么。‎ 例如:分解因式:‎ ‎(1); (2); (3)‎ ‎2、利用完全平方公式因式分解:‎ 注意:①是关于某个字母(或式子)的二次三项式;‎ ‎②其首尾两项是两个符号相同的平方形式;‎ ‎③中间项恰是这两数乘积的2倍(或乘积2倍的相反数);‎ ‎④使用前应根据题目结构特点,按“先两头,后中间”的步骤,把二次三项式整理成 ‎ 公式原型,弄清、分别表示的量。‎ 例如:分解因式:‎ ‎(1); ⑵ ‎ 典型例题:‎ 例1 用平方差公式分解因式:‎ ‎(1); (2)‎ 说明 因式分解中,多项式的第一项的符号一般不能为负;分数系数一般化为整系数。‎ 例2 分解因式:‎ ‎(1);(2).‎ 说明 将公式法与提公因式法有机结合起来,先提公因式,再运用公式.‎ 例3 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式,为什么?‎ ‎(1); (2);‎ ‎(3); (4).‎ 说明 可否用公式,就要看所给多项式是否具备公式的特点.‎ 例4 把下列各式分解因式:‎ ‎⑴ ; ⑵ ⑶ ‎ 说明:在使用完全平方公式时,要保证平方项前的符号为正,当平方项前的符号是负号 时,先提出负号.‎ 例5 分解因式:‎ ‎⑴ . ⑵ ‎ ‎ 说明 ⑴分解因式时,首先考虑有无公因式可提,当有公因式时,先提再分解.‎ ‎ ⑵分解因式必须进行彻底,直至每个因式都不能再分解为止.‎ 例6 分解因式:‎ ‎ ⑴ ;‎ ‎⑵ ;‎ ‎ ⑶ .‎ ‎ ⑷ ‎ ‎ ⑸ ‎ 说明 在运用完全平方公式的过程中,再次体现换元思想的应用,可见换元思想是重 要而且常用思想方法,要真正理解,学会运用.‎ 例7 若是完全平方式,求的值.‎ ‎ 说明 根据完全平方公式特点求待定系数,熟练公式中的“、”便可自如求解.‎ 例8 已知,求的值.‎ ‎ 说明 将所求的代数式变形,使之成为的表达式,然后整体代入求值.‎ 例9 已知,,求的值.‎ 说明 这类问题一般不适合通过解出、的值来代入计算,巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解,使之转化为关于与的式子,再整体代入求值.‎ 例10 证明:四个连续自然数的积加1,一定是一个完全平方数.‎ ‎ 说明 可用字母表示出四个连续自然数,通过因式分解说明结果是完全平方数.‎ 例11 已知和满足方程组,求代数式的值。‎ 因 式 分 解 分组分解法:当所给多项式有四项或四项以上时,应釆用分组分解法。‎ 分组分解法应用较为灵活,通常一个多项式分组方法不只一种,但分组时要有预见性,可按以下步骤来完成:‎ ‎1、按有公因式或可运用公式的原则合理分组;‎ ‎2、组内提公因式或运用公式;‎ ‎3、组间提公因式或运用公式。‎ 例1 选择题:对运用分组分解法分解因式,分组正确的是( )‎ ‎ (A) (B)‎ ‎ (C) (D)‎ ‎ 说明 本组题目用来判断分组是否适当.‎ 例2 因式分解:‎ ‎ (1); (2)‎ 说明:(1)把有公因式的各项归为一组,这是正确分组的方法之一;‎ ‎ (2)分组的方法不唯一,而合理的选择分组方案,会使分解过程简单;‎ ‎ (3)分组时要用到添括号法则,注意在添加带“-”的括号时,括号内每项要变号;‎ ‎ (4)实际上,分组只是为实际分解创造了条件,并没有直接达到分解的目的。‎ 例3 分解因式:‎ ‎(1); (2); ⑶ ‎ 说明 把能应用公式的各项归为一组,这是正确分组的方法之一;。‎ 例4 分解因式:‎ 说明:有公因式时,“首先考虑提取公因式”是因式分解中始终不变的原则。‎ 例5 分解因式:‎ ‎⑴ ⑵ ‎ 说明 根据“对应系数成比例”的原则合理分组,可提高分解的速度。‎ 例6 把下列各式分解因式:‎ ‎(1);‎ ‎(2);‎ ‎(3).‎ ‎ 说明 对于项数较多的多项式,以“交叉项”为突破口,寻找“相应的平方项”进 行分组,这使分组有了一定的针对性,省时提速.‎ 例7 分解因式:‎ ‎ (1); (2)‎ 说明 本组两题原题本身给出的分组形式无法继续进行,为达到分解的目的,对此 类型题,可采用先去括号,再重新分组来进行因式分解。即“先破后立,不破不立”。‎ 例8 分解因式:‎ ‎⑴ ; ⑵ .‎ ‎ 说明 项数多时,要仔细观察项与项之间有着内在联系,通过巧妙分组以求突破.‎ 例9 分解因式:‎ ‎⑴ ; ⑵ . ⑶ ; ⑷ .‎ 说明 本题属于型的二次三项式,可用规律公式来加以分解.‎ 例10 分解因式:‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ 例11 求证:对于任意自然数,一定是10的倍数.‎ 说明 欲证是10的倍数,看原式可否化成含10的因式的积的形式.‎ ‎ ‎ ‎※例12 分解因式:‎ 说明: 添项拆项法