中考数学专题复习练习：因式分解 9页

因 式 分 解 一、因式分解的意义：‎ 因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式 例01．下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 说明 对因式分解理解应注意：①分解因式与因式分解是同义词；②结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式.‎ 例02．在下面多项式中，能通过因式分解变形为的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 二、因式分解的方法 类型一、提公因式法 例01．在下面因式分解中，正确的是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 说明 A式左边是3项，而右边展开后是两项；D式左边无公因式2，只能提取出，而不能提取出2；若将B式右端展开，含的项的系数为－1，而将其左边展开，该项的符号为正。 ‎ 例02．把分解因式的结果为 。‎ 说明 要明确提公因式时应注意的事项：⑴如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正；⑵系数和字母应分别考虑. 公因式的系数应取各项系数的最大公约数；⑶字母应取各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。‎ 例03．分解因式：‎ 例04．分解因式：. ‎ 说明 ⑴观察题目结构特征 ‎ ⑵对于与的符号有下面的关系：‎ ‎ ‎ 例05．解方程：‎ ‎ 例06．不解方程组求：的值. ‎ 说明 本题巧妙地运用了转化思想，用提公因式法分解因式作为桥梁，把题给方程组和所求多项式结合起来，体现了思维的广阔性.‎ 针对练习：‎ ‎1、判断下列几个变形是否为因式分解的结果？‎ ‎ （1）； （2）；‎ ‎ （3）； （4）‎ ‎2、确定下列各题中的公因式：‎ ‎ （1）； （2）‎ ‎3、 把下列各式分解因式：‎ ‎ ⑴； ⑵‎ ‎ ⑶； ⑷‎ ‎ ⑸； ⑹ ‎ ‎4、计算：‎ ‎ （1）； （2） ‎ 作业：‎ 一、选择题 ‎(1) 多项式提取公因式后的另一个因式是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎(2) 下列各式分解正确切是（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎(3) 多项式的公因式是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎(4) 将分解因式等于（ ）‎ ‎（A） （B）（C）（D）以上都不对 ‎(5) 下列因式分解的变形中，正确的是（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎(6) 多项式分解因式为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎(7) 多项式分解因式为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 二、将下列多项式分解因式：‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ 三、解答题 ‎1．求满足下列等式的的值 ‎（1） （2）‎ ‎2．计算题 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎3．求值 ‎，其中，，.‎ ‎4．解答题 已知，为不相等的正数，比较与的大小.‎ ‎5．求值 已知，求多项式的值.‎ 因 式 分 解 类型二、公式法 ‎1、利用平方差公式因式分解：‎ 注意：①条件：两个二次幂的差的形式；‎ ‎②平方差公式中的、可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；‎ ‎③在用公式前，应将要分解的多项式表示成的形式，并弄清、分别表示什么。‎ 例如：分解因式：‎ ‎（1）； （2）； （3）‎ ‎2、利用完全平方公式因式分解：‎ 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；‎ ‎②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；‎ ‎③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；‎ ‎④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成 ‎ 公式原型，弄清、分别表示的量。‎ 例如：分解因式：‎ ‎（1）； ⑵ ‎ 典型例题：‎ 例1 用平方差公式分解因式：‎ ‎（1）； （2）‎ 说明 因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。‎ 例2 分解因式：‎ ‎（1）；（2）.‎ 说明 将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式.‎ 例3 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）.‎ 说明 可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点.‎ 例4 把下列各式分解因式：‎ ‎⑴ ； ⑵ ⑶ ‎ 说明：在使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号 时，先提出负号.‎ 例5 分解因式：‎ ‎⑴ . ⑵ ‎ ‎ 说明 ⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解.‎ ‎ ⑵分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止.‎ 例6 分解因式：‎ ‎ ⑴ ；‎ ‎⑵ ；‎ ‎ ⑶ .‎ ‎ ⑷ ‎ ‎ ⑸ ‎ 说明 在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重 要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用.‎ 例7 若是完全平方式，求的值.‎ ‎ 说明 根据完全平方公式特点求待定系数，熟练公式中的“、”便可自如求解.‎ 例8 已知，求的值.‎ ‎ 说明 将所求的代数式变形，使之成为的表达式，然后整体代入求值.‎ 例9 已知，，求的值.‎ 说明 这类问题一般不适合通过解出、的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于与的式子，再整体代入求值.‎ 例10 证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全平方数.‎ ‎ 说明 可用字母表示出四个连续自然数，通过因式分解说明结果是完全平方数.‎ 例11 已知和满足方程组，求代数式的值。‎ 因 式 分 解 分组分解法：当所给多项式有四项或四项以上时，应釆用分组分解法。‎ 分组分解法应用较为灵活，通常一个多项式分组方法不只一种，但分组时要有预见性，可按以下步骤来完成：‎ ‎1、按有公因式或可运用公式的原则合理分组；‎ ‎2、组内提公因式或运用公式；‎ ‎3、组间提公因式或运用公式。‎ 例1 选择题：对运用分组分解法分解因式，分组正确的是（ ）‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎ 说明 本组题目用来判断分组是否适当.‎ 例2 因式分解：‎ ‎ （1）； （2）‎ 说明：（1）把有公因式的各项归为一组，这是正确分组的方法之一；‎ ‎ （2）分组的方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单；‎ ‎ （3）分组时要用到添括号法则，注意在添加带“－”的括号时，括号内每项要变号；‎ ‎ （4）实际上，分组只是为实际分解创造了条件，并没有直接达到分解的目的。‎ 例3 分解因式：‎ ‎（1）； （2）； ⑶ ‎ 说明 把能应用公式的各项归为一组，这是正确分组的方法之一；。‎ 例4 分解因式：‎ 说明：有公因式时，“首先考虑提取公因式”是因式分解中始终不变的原则。‎ 例5 分解因式：‎ ‎⑴ ⑵ ‎ 说明 根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可提高分解的速度。‎ 例6 把下列各式分解因式：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）.‎ ‎ 说明 对于项数较多的多项式，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”进 行分组，这使分组有了一定的针对性，省时提速.‎ 例7 分解因式：‎ ‎ （1）； （2）‎ 说明 本组两题原题本身给出的分组形式无法继续进行，为达到分解的目的，对此 类型题，可采用先去括号，再重新分组来进行因式分解。即“先破后立，不破不立”。‎ 例8 分解因式：‎ ‎⑴ ； ⑵ .‎ ‎ 说明 项数多时，要仔细观察项与项之间有着内在联系，通过巧妙分组以求突破.‎ 例9 分解因式：‎ ‎⑴ ； ⑵ . ⑶ ； ⑷ .‎ 说明 本题属于型的二次三项式，可用规律公式来加以分解.‎ 例10 分解因式：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ 例11 求证：对于任意自然数，一定是10的倍数.‎ 说明 欲证是10的倍数，看原式可否化成含10的因式的积的形式.‎ ‎ ‎ ‎※例12 分解因式：‎ 说明： 添项拆项法