- 1.06 MB
- 2021-11-11 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
例01.如图,已知:在中,,,求各内角的度数.
分析:因为是等腰三角形,因此,,所以只要求出的度数,就可以求出的度数. 根据三角形内角和定理,又可求出的度数.
解答:∵和是邻补角,又,
∴
∵ ,∴(等边对等角)
∴
说明:在等腰三角形中,两个底角相等,内角和为,所以只要知道等腰三角形的一个内角,就很容易求出它的另外两个角.
例02.如图,已知:在中,,BD和CE是AC和AB边上的中线.
求证:.
分析:欲证,就要证明. 或证明.
证明:在中,
∵ ,BD和CE是中线,
∴ .
在和中,
∴ .
∴ .
说明:三角形中,如果有两边相等,就有对应的两个角相等,我们可以根据这些特点找出一些全等的关系,得出相应的对应线段或对应角相等的关系.
例03.如图,已知:在中,如果,.
求证:AE平分的外角.
分析:要证AE平分,即证,又因为是的外角,因此有,所以,只需证即可. 则由平行线的性质很快就能证出.
证明:∵(已知),
∴ (等边对等角)
又∵,
∴.
∵(已知),
∴
∴
∴AE平分.
说明:在等腰三角形中,角平分线,平行线往往同时出现. 而有等腰、角平分线,就可能出现平行,有平分线和等腰就可能出现角平分线,同样,有角平分线和平行线往往会构成等腰三角形.
例04.如图,中,,D是AC上一点,且,求的度数.
分析 题中只给出了一些相等的线段,要求的度数,首先要把三角形中的边相等转化为角相等:,可见,在中,. 由内角和定理可求出,
解答 因为,
所以,.
所以.
设,则,.
在中,
解得. 所以.
说明 在计算角的度数的题目中,若给出较多的等腰三角形,然后利用等腰三角形的性质,找出图中某个三角形的各内角与未知数之间的关系,再利用三角形内角和定理,将“形”的总是转化为“方程”问题来解决.
例05.已知:如图,D、E分别为等边的边BC、AC上的点,且,BE、AD相交于点F.
求证:.
分析 要证,而等边的每个内角都等于,所以只要证明它与的一个内角相等,又由,而,所以只要证明.
解答 因为为等边三角形(已知),所以,.
在和中,
所以,所以.
因为(外角定理)
所以.
说明 本题亦可证明.
等边三角形的每个内角都等于,每条边都相等,是题目中的隐含条件,解题时要注意.
例06.如图,中,,E在AC上,且,DE的延长线与BC相交于F.
求证:.
分析 要证明,只要证明,也就是证明
,而,.
解答 ∵,
∴.
∴.
又∵在中,,
∴,
∴.
说明 要证明,也就是要证明DF与等腰的底边BC垂直. 可以作底边BC上的高AG,然后再证明. 如下图.
例07.已知:如图,,BD平分,且.
求证:.
分析 与不在同一个三角形内,也没有直接的联系,为了证明,需要将它们搬到一块,看看是否能构成平角. 这种搬动的方法有好几种.
解答一 如图,
∵BD平分,
∴.
在BC上取,连结DE.
在中,
∴(边角边)
∴,(全等三角形对应角、对应边相等)
∵,
∴.
∴(等边对等角),
∴
解答二 如下图,延长BA到F,使,连结DF.
∵BD平分,
∴.
在和中,
∴,
∴,(全等三角形对应角、对应边相等)
又∵,
∴,
∴,
∴.
说明 在等腰三角形中,经常添加的辅助线是底边上的高或底边上的中线或顶角的平分线.
本题还可以有下面的一些搬动和的方法,如下图.
过点D作于F,于E. 再证,然后证明.
也可以过点A作交BC、BD于G、H,连结DG. 再证,然后证明.
例08.已知:如图,D、E分别为等边的边BC、AC上的点,且,连结BE、AD交于F,
求证:.
分析:要证,由等边三角形知它的内角都等于,故只须证它与的一个内角相等,又. 而知,而只需证即可.
证明:∵为等边三角形(已知)
∴
(等边三角形的定义)
在和中
∴
∴(全等三角形的对应角相等)
∵(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∴
∴
例09.已知:如图,在中,,.
求证:.
分析:已知,出现2倍角,作辅助线,使2倍角为等腰三角形的顶角的外角,故可作延长AB到E,使,再连结ED,同时通过证全等三角形,使,而,得到证明结论.
证明:延长AB至E,使,连DE
则(等边对等角)
∵ (三角形的一个外角等于它不相邻两内角的和)
∴
∵(已知)
∴
在和中
∴
∴(全等三角形的对应边相等)
∵
∴
即
例10.已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为和两部分,求,它的三边长.
分析:在中,. BD是中线,BD把周长分为和两部分,有可能是,也可能是. 所以要分两种情况进行讨论.
解答:在中,设. BD是它的中线,根据题意,设腰长为,底边长为,则有:
或
解这两个方程组得:
或
∴ 的三边长,或,.
说明:在一个等腰三角形没有注明哪条边是腰,哪条边是底的情况下,要注意讨论,看一看各种条件是否符合题意.
例11.如图,已知:D,E是的BC边上的两点,并且.
求的度数.
分析:由可知三角形ADE是等边三角形,而和是等腰三角形,可根据等腰三角形等边对等角的性质求出相关的角的度数.
解答:∵,(已知)
∴ 是等边三角形. ∴
又∵ ,∴ .
而 ,∴ .
同理可得,∴
说明:在一个图形中,有时出现不止一个等腰三角形,可以由每个等腰三角形中的两个底角相等,找出相应的一些角的关系,利用三角形内角和定理,进一步求出有关角的度数.
例12.如图,已知:和都是等边三角形,B、C、D在同一直线上.
求证:.
分析:本期若用截取法,补短法都不易证出. 但. 即要证. 由此想到和是否全等. 由已知条件容易得出. 于是此题得证.
证明:∵和是等边三角形,
∴ ,. (等边三角形的定义)
∴ ,即.
在与中,
∴
∴(全等三角形的对应边相等)
∴
又∵ (等边三角形的定义),
∴.
即.
说明:在含有等边三角形或等腰三角形中,要证两条线段之和等于第三条线段时,除了可以采用截取法,补短法之外,还可以通过相等的边,对要证的式子作适当变形,证出它的正确性.
例13.如图,已知:在中,E是AB延长线上的一点,,AD平分,.
求证:.
分析:注意到题中所给条件,所以有,而是的外角,所以. 所以欲证,只需证即可. 那么要证,就要证明,题中已给出了的条件.
证明:在和中,
∴
∴ (全等三角形的对应角相等)
又∵(已知),
∴(等边对等角)
而(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)
∴
例14
分析:注意到题中所给的条件AB=AC,得到三角形为等腰三角形。利用等腰三角形的性质对问题(1)可得;对问题(2)考虑到所给这个角可能是顶角也可能是底角;对问题(3)由三角形内角和为可得此等腰三角形的顶角只能为这一种情况。
略解:(1)(2)另外两内角分别为:(3)
说明:通过题目中的(2)、(3)渗透分类思想,训练思维的严密性。
例15 已知:如图,D是等边△ABC内一点,DB=DA,BP=AB,DBP=DBC
求证:P=
分析:要求出P的度数,直接求出较难,根据已知AB=BP=BC,BD为公共边,
DBP=DBC,所以,△BPD≌△BCD,因此考虑连结CD,因此可将P转化成与之对应的等角BCD,将求P的度数变成求BCD的度数,由已知易证△BPD≌△ADC,于是BCD=ACD=C=,得P=
证明:连结OC
在△BPD和△BCD中
在△ADC和△BCD中
因此,P=
说明:本题证明的关键是辅助线CD,利用三角形全等得到P的等角。
例16 求证:等腰三角形两腰上中线的交点到底边两端点的距离相等
分析:按解文字证明题的三个步骤:(1)画图;(2)写出已知,求证;(3)书写证明过程分别进行。
已知:如图,AB=AC,BD、CE分别为AC边、AB边的中线,它们相交于F点
求证:BF=CF
分析:为证等量,考虑全等,即可先证△ABD≌△ACE得1=2,再证△BEF≌△CDF
证明:
∵BD、CE是△ABC的两条中线,AB=AC
∴AD=AE,BE=CD
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE
∴1=2
在△BEF和△CED中
∴△BEF≌△CED
∴BF=FC
说明:此题为文字证明题,首先做好转化工作,文字语言图形化、图形语言式子化,即依题意画出恰当的几何图形,再写出已知、求证,注意画图要具有代表性,切忌以特殊代替一般,而几何语言要精练,能用几何式子表达的不要用文字语言,最后再在认真分析做题思路的基础上,写出证明过程。
例17.已知:如图,在中,AB=AC,于D,求证:.
分析:欲证角之间的倍半关系,结合题意、图形,观察已知角、边间的特殊性. 是等腰三角形的顶角,因此较容易找到它的半角. 从而转化为两角间的相等关系.
证明:过点A作于E.
,
即
小结:作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质,构造角的倍半关系,因此添加底边的高是一条常用的辅助线.
选择题
1.选择题
(1)等腰三角形中的一个角等于,则另两个内角的度数分别为( )
(A), (B),
(C), (D),或,
(2)等腰三角形的一个外角等于,则这个三角形的三个内角分别为( )
(A),, (B),,
(C),, (D),,或,,
(3)如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大,那么顶角为( )
(A) (B) (C) (D)
(4)等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )
(A)顶角 (B)顶角的一半
(C)顶角的2倍 (D)底角的一半
(5)在下列命题中,正确的是( )
(A)等腰三角形是锐角三角形
(B)等腰三角形两腰上的高相等
(C)两个等腰直角三角形全等
(D)等腰三角形的角平分线是中线
(6)已知等腰三角形的一边长为,另一边长为,则它的周长为( )
(A) (B) (C) (D)或
(7)已知等腰三角形的一边长为,另一边长为,则它的周长为( )
(A) (B) (C) (D)或
(8)在中,,若的周长为24,则
的取值范围是( )
(A) (B)
(C) (D)
(9)在中,,若的周长为24,则的取值范围是( )
(A) (B)
(C) (D)
(10)三角形一边上的高和这边上的中线重合,则这个三角形一定是( )
(A)锐角三角形 (B)钝角三角形
(C)等腰三角形 (D)等边三角形
(11)如图,已知.那么( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(12)等腰三角形底边长为,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为.则腰长为( )
(A) (B)
(C)或 (D)以上答案都不对
(13)等腰三角形的底角与相邻外角的关系是( )
(A)底角大于相邻外角 (B)底角小于或等于相邻外角
(C)底角大于或等于相邻外角 (D)底角小于相邻外角
(14)已知的周长为,且,又,D为垂足,的周长为,那么AD的长为( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
1.选择题
(1)A (2)D (3)D (4)B (5)B (6)D (7)C
(8)C (9)C (10)C (11)D (12)B (13)D (14)C
填空题
1.填空题
(1)等边三角形的三个内角的度数分别为_______.
(2)有一个底角为的等腰三角形的另外两个角的度数分别为________.
(3)顶角为的等腰三角形的另外两个内角的度数分别为_______.
(4)有一个内角为的等腰三角形的另外两个内角的度数为______.
(5)有一个内角为的等腰三角形的另外两个内角的度数为________.
(6)如果中,,它的两边长为和,那么它的周长为________.
(7)如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为,那么它的三边长为______.
(8)如果等腰三角形的周长为,那么它的底边的取值范围是_______.
(9)等边三角形的两条中线相交所成的钝角的度数是________.
(10)已知等腰三角形的一个顶角与一个底角的和为,则其顶角的度数为______.
(11)等边三角形的周长为,则它的边长为________.
(12)在等腰三角形中,如果顶角是一个底角的2倍,那么顶角等于_____度;如果一个底角是顶角的2倍,那么顶角等于_______度.
(13)如图,,交BC于点D,,那么BC的长为_________.
(14)如图,在中,,BD是的角平分线,且,,则_______.
(15)如图,在中,D是AC上的一点,且,,则_______,______,________.
参考答案:
1.填空题
(1),, (2), (3),
(4),或, (5), (6)
(7)或 (8) (9)
(10) (11) (12)90;36 (13) (14) (15);;
解答题
1.计算题
(1)如图,已知:在中,,,BD是的角平分线,
求的度数.
(2)如图,已知:在中,,,BD是的高,
求的度数.
(3)如图,已知:在中,,,,
求的度数.
(4)如图,已知:在中,D是AC上一点,且,.
求:的度数.
(5)如图,已知:在中, ,CD平分交AB于D点,若
.
求:的度数.
(6)如图,已知:在等边三角形ABC中,D、E分别在AB和AC上,且,BE和CD相交于点P.
求:的度数.
(7)如图,已知:在中,,,点O在内,且,
求:的度数.
(8)如图,已知:在中,,,,.
求:的度数.
(9)如图,已知:在中,,.
求:的度数.
参考答案:
1.计算题
(1)解:由,,得.∴,
∴.
(2)由,得又∵,
∴
(3)解:由条件易得,,,
且
∴,又
∴ ∴
(4)解:,∴,,∴
(5)解:,∴,∴
(6)解:易证,
∴.
(7)解:∵,∴
∴
(8)解:由已知条件易证.∴
∴
∴
(9)解:,
解答题
1.证明题
(1)如图,已知:在中,,BD和CE是两腰上的高.
求证:.
(2)如图,已知:在中,,D为BC中点,于E,于F.
求证:.
(3)如图,已知:在中,,D、E分别为AB、AC的中点,于F,于G.
求证:.
(4)如图,已知:AD是的角平分线,且交AC于点F.
求证:CE平分.
(5)如图,已知:在中,,D为AC上任意一点,延长BA到E,使,连结DE.
求证:.
(6)如图,已知:在中,D为BC延长线上一点,且,F为AD中点,且CE平分交AB于E.
求证:.
参考答案
1.选择题
(1)证明:∵ ∴.BC是公共边,
∴易证 ∴
(2)证明:∵∴,又∵,
易证 ∴
(3)证明:∵,∴,,
∴易证,∴
(4)证明:由已知条件易证,∴,∴.
又∵ ∴, ∴EC平分.
(5)证明:作的角平分线AF交BC于点F,则
∵ ∴,∵,∴,
又∵.∴,∴.∴
(6)证明:∵,F为D中点,∴CF同时为的角平分线,
∴,∴
解答题
1.证明题
(1)如图,已知:和都是等边三角形.
求证:.
(2)如图,已知:是等边三角形,分别在AC、BC边上取点E、F,使,BE、AF相交于点D.
求证:.
(3)如图,已知:,AD的延长线交BC于点E.
求证:.
(4)如图,已知:,AB与CD相交于O点.
求证:.
(5)如图,已知:在中,,B是AD上一点,交CD于E,.
求证:.
(6)如图,已知:在中,,E是AD上一点,并且.
求证:.
参考答案
1.选择题
(1)证明:由已知条件易证,∴.
(2)证明:由已知条件易证,∴,
∴
(3)证明:由已知条件易证,∴AE为的角平分线,
又∵,∴AE同时为的高,即.
(4)证明:由已知条件易证,∴AB为的角平分线,
又∵,∴ AB同时为的高,即.
(5)证明:作于点F,则∵,∴ AF同时为的中线,
即.由已知条件易证,∴.即.
(6)证明:由已知条件易证,∴,
∴.
习题精选:
1、下列命题中,假命题是( )
A、 等腰三角形被底边上的中线分成的两个三角形全等
B、 底边相等的两个等腰直角三角形全等
C、 高相等的两个等边三角形全等
D、腰相等的两个等腰三角形全等
A
B
C
E
F
图1
2、如图1,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则图中全等三角形共有( )
A、 2对 B、3对 C、4对 D、5对
3、在等腰三角形中,AB的长是BC的2倍,周长为40,
则AB的长为( )
D
A、20 B、16 C、16或20 D、以上都不对
A
B
D
E
C
4、如图2,在△ABC中,AB=AC,∠BAD=30,AD=AE,则∠EDC=( )
AAA
A.10 B.12.5 C.15 D.20
5、等腰三角形的一个底角是50,则它的顶角是___
图2
6、等腰三角形的顶角是80,则它的一个底角为 ____
A
D
C
E
B
M
N
图3
7、如图3,已知点C在线段AB上,分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形CBE,AE交CD于M,BD交CE于N求证:CM=CN。
F
B
A
C
E
D
1
2
3
图4
8、如图4,在△ABC中,∠BAC=90,AB=AC,∠ABC的平分线AC于D,过C作BD垂线交BD的延长线于E,交BA的延长线于F,求证:BD=2CE
9、如图5,在△ABC中,AD是△ABC的角平分线,
A
B
D
C
E
图5
AC=AB+AD,求证:∠B=2∠C
答案:
1、 D;2、B;3、B;4、C;5、;6、;
7、提示:
先证△ACE≌△DCB(SAS),
再证△CEM≌△CBN(ASA)。
8、证明:
∵∠1=∠2,BE⊥CF
∴CE=FC(等腰三角形中三线合一),
∵BE⊥CF
∴∠FEB=90
∴∠1=90—∠F
又∵∠BAC=90
∴∠3=90—∠E
∴∠1=∠3(等量代换)
在Rt△BDA和Rt△CFA中,
∴Rt△BDA≌Rt△CFA(ASA)
∴BD=FC(全等三角形对应边相等)
∴BD=2CE
9、证明:在AE上截取AE=AB,连接DE,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=EAD(角平分线定义)
在△ABD和△AED中,
∴△ABD≌△AED(SAS)
∴∠ABD=∠AED(全等三角形对应角相等)
∴BD=ED(全等三角形对应边相等)
∵BD=AC—AB=AC—AE=CE
∴ED=CE
∴∠EDC=∠C(等边对等角)
∴∠AED=∠EDC+∠C(三角形外角等于不相邻两内角之和)
∴∠B=2∠C