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  • 2021-11-11 发布

中考数学专题复习练习:等腰三角形的性质

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例01.如图,已知:在中,,,求各内角的度数. ‎ 分析:因为是等腰三角形,因此,,所以只要求出的度数,就可以求出的度数. 根据三角形内角和定理,又可求出的度数. ‎ 解答:∵和是邻补角,又,‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ,∴(等边对等角)‎ ‎∴ ‎ 说明:在等腰三角形中,两个底角相等,内角和为,所以只要知道等腰三角形的一个内角,就很容易求出它的另外两个角. ‎ 例02.如图,已知:在中,,BD和CE是AC和AB边上的中线. ‎ 求证:. ‎ 分析:欲证,就要证明. 或证明. ‎ 证明:在中,‎ ‎∵ ,BD和CE是中线,‎ ‎∴ . ‎ 在和中,‎ ‎∴ . ‎ ‎∴ . ‎ 说明:三角形中,如果有两边相等,就有对应的两个角相等,我们可以根据这些特点找出一些全等的关系,得出相应的对应线段或对应角相等的关系. ‎ 例03.如图,已知:在中,如果,. ‎ 求证:AE平分的外角. ‎ 分析:要证AE平分,即证,又因为是的外角,因此有,所以,只需证即可. 则由平行线的性质很快就能证出. ‎ 证明:∵(已知),‎ ‎∴ (等边对等角)‎ 又∵, ‎ ‎∴. ‎ ‎∵(已知),‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴AE平分. ‎ 说明:在等腰三角形中,角平分线,平行线往往同时出现. 而有等腰、角平分线,就可能出现平行,有平分线和等腰就可能出现角平分线,同样,有角平分线和平行线往往会构成等腰三角形. ‎ 例04.如图,中,,D是AC上一点,且,求的度数. ‎ 分析 题中只给出了一些相等的线段,要求的度数,首先要把三角形中的边相等转化为角相等:,可见,在中,. 由内角和定理可求出,‎ 解答 因为,‎ 所以,. ‎ 所以. ‎ 设,则,.‎ 在中,‎ 解得. 所以. ‎ 说明 在计算角的度数的题目中,若给出较多的等腰三角形,然后利用等腰三角形的性质,找出图中某个三角形的各内角与未知数之间的关系,再利用三角形内角和定理,将“形”的总是转化为“方程”问题来解决. ‎ 例05.已知:如图,D、E分别为等边的边BC、AC上的点,且,BE、AD相交于点F. ‎ 求证:. ‎ 分析 要证,而等边的每个内角都等于,所以只要证明它与的一个内角相等,又由,而,所以只要证明. ‎ 解答 因为为等边三角形(已知),所以,. ‎ 在和中,‎ 所以,所以. ‎ 因为(外角定理)‎ 所以. ‎ 说明 本题亦可证明. ‎ 等边三角形的每个内角都等于,每条边都相等,是题目中的隐含条件,解题时要注意. ‎ 例06.如图,中,,E在AC上,且,DE的延长线与BC相交于F. ‎ 求证:. ‎ 分析 要证明,只要证明,也就是证明 ‎,而,. ‎ 解答 ∵,‎ ‎∴. ‎ ‎∴. ‎ 又∵在中,,‎ ‎∴,‎ ‎∴. ‎ 说明 要证明,也就是要证明DF与等腰的底边BC垂直. 可以作底边BC上的高AG,然后再证明. 如下图. ‎ 例07.已知:如图,,BD平分,且. ‎ 求证:. ‎ 分析 与不在同一个三角形内,也没有直接的联系,为了证明,需要将它们搬到一块,看看是否能构成平角. 这种搬动的方法有好几种. ‎ 解答一 如图,‎ ‎∵BD平分,‎ ‎∴. ‎ 在BC上取,连结DE. ‎ 在中,‎ ‎∴(边角边)‎ ‎∴,(全等三角形对应角、对应边相等)‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴(等边对等角),‎ ‎∴‎ 解答二 如下图,延长BA到F,使,连结DF. ‎ ‎∵BD平分,‎ ‎∴. ‎ 在和中,‎ ‎∴,‎ ‎∴,(全等三角形对应角、对应边相等)‎ 又∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴. ‎ 说明 在等腰三角形中,经常添加的辅助线是底边上的高或底边上的中线或顶角的平分线.‎ 本题还可以有下面的一些搬动和的方法,如下图. ‎ 过点D作于F,于E. 再证,然后证明. ‎ 也可以过点A作交BC、BD于G、H,连结DG. 再证,然后证明. ‎ 例08.已知:如图,D、E分别为等边的边BC、AC上的点,且,连结BE、AD交于F,‎ 求证:. ‎ 分析:要证,由等边三角形知它的内角都等于,故只须证它与的一个内角相等,又. 而知,而只需证即可. ‎ 证明:∵为等边三角形(已知)‎ ‎∴‎ ‎ (等边三角形的定义)‎ 在和中 ‎∴‎ ‎∴(全等三角形的对应角相等)‎ ‎∵(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 例09.已知:如图,在中,,. ‎ 求证:. ‎ 分析:已知,出现2倍角,作辅助线,使2倍角为等腰三角形的顶角的外角,故可作延长AB到E,使,再连结ED,同时通过证全等三角形,使,而,得到证明结论. ‎ 证明:延长AB至E,使,连DE 则(等边对等角)‎ ‎∵ (三角形的一个外角等于它不相邻两内角的和)‎ ‎∴ ‎ ‎∵(已知)‎ ‎∴‎ 在和中 ‎∴‎ ‎∴(全等三角形的对应边相等)‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 即 例10.已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为和两部分,求,它的三边长. ‎ 分析:在中,. BD是中线,BD把周长分为和两部分,有可能是,也可能是. 所以要分两种情况进行讨论. ‎ 解答:在中,设. BD是它的中线,根据题意,设腰长为,底边长为,则有:‎ 或 解这两个方程组得:‎ 或 ‎∴ 的三边长,或,. ‎ 说明:在一个等腰三角形没有注明哪条边是腰,哪条边是底的情况下,要注意讨论,看一看各种条件是否符合题意. ‎ 例11.如图,已知:D,E是的BC边上的两点,并且. ‎ 求的度数. ‎ 分析:由可知三角形ADE是等边三角形,而和是等腰三角形,可根据等腰三角形等边对等角的性质求出相关的角的度数. ‎ 解答:∵,(已知)‎ ‎∴ 是等边三角形. ∴ ‎ 又∵ ,∴ . ‎ 而 ,∴ .‎ 同理可得,∴‎ 说明:在一个图形中,有时出现不止一个等腰三角形,可以由每个等腰三角形中的两个底角相等,找出相应的一些角的关系,利用三角形内角和定理,进一步求出有关角的度数. ‎ 例12.如图,已知:和都是等边三角形,B、C、D在同一直线上. ‎ 求证:. ‎ 分析:本期若用截取法,补短法都不易证出. 但. 即要证. 由此想到和是否全等. 由已知条件容易得出. 于是此题得证. ‎ 证明:∵和是等边三角形,‎ ‎∴ ,. (等边三角形的定义)‎ ‎∴ ,即. ‎ 在与中,‎ ‎∴‎ ‎∴(全等三角形的对应边相等)‎ ‎∴ ‎ 又∵ (等边三角形的定义),‎ ‎∴.‎ ‎ 即. ‎ 说明:在含有等边三角形或等腰三角形中,要证两条线段之和等于第三条线段时,除了可以采用截取法,补短法之外,还可以通过相等的边,对要证的式子作适当变形,证出它的正确性. ‎ 例13.如图,已知:在中,E是AB延长线上的一点,,AD平分,. ‎ 求证:. ‎ 分析:注意到题中所给条件,所以有,而是的外角,所以. 所以欲证,只需证即可. 那么要证,就要证明,题中已给出了的条件. ‎ 证明:在和中,‎ ‎∴‎ ‎∴ (全等三角形的对应角相等)‎ 又∵(已知), ‎ ‎∴(等边对等角)‎ 而(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)‎ ‎∴‎ 例14 ‎ 分析:注意到题中所给的条件AB=AC,得到三角形为等腰三角形。利用等腰三角形的性质对问题(1)可得;对问题(2)考虑到所给这个角可能是顶角也可能是底角;对问题(3)由三角形内角和为可得此等腰三角形的顶角只能为这一种情况。‎ 略解:(1)(2)另外两内角分别为:(3)‎ 说明:通过题目中的(2)、(3)渗透分类思想,训练思维的严密性。‎ 例15 已知:如图,D是等边△ABC内一点,DB=DA,BP=AB,DBP=DBC 求证:P=‎ 分析:要求出P的度数,直接求出较难,根据已知AB=BP=BC,BD为公共边,‎ DBP=DBC,所以,△BPD≌△BCD,因此考虑连结CD,因此可将P转化成与之对应的等角BCD,将求P的度数变成求BCD的度数,由已知易证△BPD≌△ADC,于是BCD=ACD=C=,得P=‎ 证明:连结OC 在△BPD和△BCD中 在△ADC和△BCD中 ‎ ‎ 因此,P=‎ 说明:本题证明的关键是辅助线CD,利用三角形全等得到P的等角。‎ 例16 求证:等腰三角形两腰上中线的交点到底边两端点的距离相等 分析:按解文字证明题的三个步骤:(1)画图;(2)写出已知,求证;(3)书写证明过程分别进行。‎ 已知:如图,AB=AC,BD、CE分别为AC边、AB边的中线,它们相交于F点 求证:BF=CF 分析:为证等量,考虑全等,即可先证△ABD≌△ACE得1=2,再证△BEF≌△CDF 证明:‎ ‎∵BD、CE是△ABC的两条中线,AB=AC ‎∴AD=AE,BE=CD A B C D E F ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 在△ABD和△ACE中 ‎∴△ABD≌△ACE ‎∴1=2‎ 在△BEF和△CED中 ‎∴△BEF≌△CED ‎∴BF=FC 说明:此题为文字证明题,首先做好转化工作,文字语言图形化、图形语言式子化,即依题意画出恰当的几何图形,再写出已知、求证,注意画图要具有代表性,切忌以特殊代替一般,而几何语言要精练,能用几何式子表达的不要用文字语言,最后再在认真分析做题思路的基础上,写出证明过程。‎ 例17.已知:如图,在中,AB=AC,于D,求证:. ‎ 分析:欲证角之间的倍半关系,结合题意、图形,观察已知角、边间的特殊性. 是等腰三角形的顶角,因此较容易找到它的半角. 从而转化为两角间的相等关系. ‎ 证明:过点A作于E. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ 即 小结:作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质,构造角的倍半关系,因此添加底边的高是一条常用的辅助线. ‎ 选择题 ‎1.选择题 ‎(1)等腰三角形中的一个角等于,则另两个内角的度数分别为( )‎ ‎(A), (B),‎ ‎(C), (D),或,‎ ‎(2)等腰三角形的一个外角等于,则这个三角形的三个内角分别为( )‎ ‎(A),, (B),,‎ ‎(C),, (D),,或,,‎ ‎(3)如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大,那么顶角为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(4)等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( )‎ ‎(A)顶角 (B)顶角的一半 ‎ ‎(C)顶角的2倍 (D)底角的一半 ‎(5)在下列命题中,正确的是( )‎ ‎(A)等腰三角形是锐角三角形 ‎(B)等腰三角形两腰上的高相等 ‎(C)两个等腰直角三角形全等 ‎(D)等腰三角形的角平分线是中线 ‎(6)已知等腰三角形的一边长为,另一边长为,则它的周长为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)或 ‎(7)已知等腰三角形的一边长为,另一边长为,则它的周长为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)或 ‎(8)在中,,若的周长为24,则 的取值范围是( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(9)在中,,若的周长为24,则的取值范围是( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(10)三角形一边上的高和这边上的中线重合,则这个三角形一定是( )‎ ‎(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 ‎(C)等腰三角形 (D)等边三角形 ‎(11)如图,已知.那么( )‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎(12)等腰三角形底边长为,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为.则腰长为( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C)或 (D)以上答案都不对 ‎(13)等腰三角形的底角与相邻外角的关系是( )‎ ‎(A)底角大于相邻外角 (B)底角小于或等于相邻外角 ‎(C)底角大于或等于相邻外角 (D)底角小于相邻外角 ‎(14)已知的周长为,且,又,D为垂足,的周长为,那么AD的长为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 参考答案:‎ ‎1.选择题 ‎(1)A (2)D (3)D (4)B (5)B (6)D (7)C ‎ ‎(8)C (9)C (10)C (11)D (12)B (13)D (14)C 填空题 ‎1.填空题 ‎(1)等边三角形的三个内角的度数分别为_______.‎ ‎(2)有一个底角为的等腰三角形的另外两个角的度数分别为________.‎ ‎(3)顶角为的等腰三角形的另外两个内角的度数分别为_______.‎ ‎(4)有一个内角为的等腰三角形的另外两个内角的度数为______.‎ ‎(5)有一个内角为的等腰三角形的另外两个内角的度数为________.‎ ‎(6)如果中,,它的两边长为和,那么它的周长为________.‎ ‎(7)如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为,那么它的三边长为______.‎ ‎(8)如果等腰三角形的周长为,那么它的底边的取值范围是_______.‎ ‎(9)等边三角形的两条中线相交所成的钝角的度数是________.‎ ‎(10)已知等腰三角形的一个顶角与一个底角的和为,则其顶角的度数为______.‎ ‎(11)等边三角形的周长为,则它的边长为________.‎ ‎(12)在等腰三角形中,如果顶角是一个底角的2倍,那么顶角等于_____度;如果一个底角是顶角的2倍,那么顶角等于_______度.‎ ‎(13)如图,,交BC于点D,,那么BC的长为_________.‎ ‎(14)如图,在中,,BD是的角平分线,且,,则_______.‎ ‎(15)如图,在中,D是AC上的一点,且,,则_______,______,________.‎ 参考答案:‎ ‎1.填空题 ‎(1),, (2), (3), ‎ ‎(4),或, (5), (6)‎ ‎(7)或 (8) (9)‎ ‎(10) (11) (12)90;36 (13) (14) (15);;‎ 解答题 ‎1.计算题 ‎(1)如图,已知:在中,,,BD是的角平分线,‎ 求的度数.‎ ‎(2)如图,已知:在中,,,BD是的高,‎ 求的度数.‎ ‎(3)如图,已知:在中,,,,‎ 求的度数.‎ ‎(4)如图,已知:在中,D是AC上一点,且,.‎ 求:的度数.‎ ‎(5)如图,已知:在中, ,CD平分交AB于D点,若 ‎.‎ 求:的度数.‎ ‎(6)如图,已知:在等边三角形ABC中,D、E分别在AB和AC上,且,BE和CD相交于点P.‎ 求:的度数.‎ ‎(7)如图,已知:在中,,,点O在内,且,‎ 求:的度数.‎ ‎(8)如图,已知:在中,,,,.‎ 求:的度数.‎ ‎(9)如图,已知:在中,,.‎ 求:的度数.‎ 参考答案:‎ ‎1.计算题 ‎(1)解:由,,得.∴,‎ ‎∴.‎ ‎(2)由,得又∵,‎ ‎∴‎ ‎(3)解:由条件易得,,,‎ 且 ‎∴,又 ‎∴ ∴‎ ‎(4)解:,∴,,∴‎ ‎(5)解:,∴,∴‎ ‎(6)解:易证,‎ ‎∴.‎ ‎(7)解:∵,∴‎ ‎∴‎ ‎(8)解:由已知条件易证.∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎(9)解:,‎ ‎ ‎ 解答题 ‎1.证明题 ‎(1)如图,已知:在中,,BD和CE是两腰上的高.‎ 求证:.‎ ‎(2)如图,已知:在中,,D为BC中点,于E,于F.‎ 求证:.‎ ‎(3)如图,已知:在中,,D、E分别为AB、AC的中点,于F,于G.‎ 求证:.‎ ‎(4)如图,已知:AD是的角平分线,且交AC于点F.‎ 求证:CE平分.‎ ‎(5)如图,已知:在中,,D为AC上任意一点,延长BA到E,使,连结DE.‎ 求证:.‎ ‎(6)如图,已知:在中,D为BC延长线上一点,且,F为AD中点,且CE平分交AB于E.‎ 求证:.‎ 参考答案 ‎1.选择题 ‎(1)证明:∵ ∴.BC是公共边,‎ ‎∴易证 ∴‎ ‎(2)证明:∵∴,又∵,‎ 易证 ∴‎ ‎(3)证明:∵,∴,,‎ ‎∴易证,∴‎ ‎(4)证明:由已知条件易证,∴,∴.‎ 又∵ ∴, ∴EC平分.‎ ‎(5)证明:作的角平分线AF交BC于点F,则 ‎∵ ∴,∵,∴, ‎ 又∵.∴,∴.∴‎ ‎(6)证明:∵,F为D中点,∴CF同时为的角平分线,‎ ‎∴,∴‎ 解答题 ‎1.证明题 ‎(1)如图,已知:和都是等边三角形.‎ 求证:.‎ ‎(2)如图,已知:是等边三角形,分别在AC、BC边上取点E、F,使,BE、AF相交于点D.‎ 求证:.‎ ‎(3)如图,已知:,AD的延长线交BC于点E.‎ 求证:.‎ ‎(4)如图,已知:,AB与CD相交于O点.‎ 求证:.‎ ‎(5)如图,已知:在中,,B是AD上一点,交CD于E,.‎ 求证:.‎ ‎(6)如图,已知:在中,,E是AD上一点,并且.‎ 求证:.‎ 参考答案 ‎1.选择题 ‎(1)证明:由已知条件易证,∴.‎ ‎(2)证明:由已知条件易证,∴,‎ ‎∴‎ ‎(3)证明:由已知条件易证,∴AE为的角平分线,‎ 又∵,∴AE同时为的高,即.‎ ‎(4)证明:由已知条件易证,∴AB为的角平分线,‎ 又∵,∴ AB同时为的高,即.‎ ‎(5)证明:作于点F,则∵,∴ AF同时为的中线,‎ 即.由已知条件易证,∴.即.‎ ‎(6)证明:由已知条件易证,∴,‎ ‎∴.‎ 习题精选:‎ ‎1、下列命题中,假命题是(  )‎ A、 等腰三角形被底边上的中线分成的两个三角形全等 B、 底边相等的两个等腰直角三角形全等 C、 高相等的两个等边三角形全等 D、腰相等的两个等腰三角形全等 A B C E F 图1‎ ‎2、如图1,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则图中全等三角形共有(   )‎ A、 ‎2对 B、3对 C、4对 D、5对 ‎3、在等腰三角形中,AB的长是BC的2倍,周长为40,‎ 则AB的长为(  )‎ D A、20 B、16 C、16或20 D、以上都不对 A B D E C ‎4、如图2,在△ABC中,AB=AC,∠BAD=30,AD=AE,则∠EDC=( )‎ AAA A.10 B.12.5 C.15 D.20‎ ‎5、等腰三角形的一个底角是50,则它的顶角是___‎ 图2‎ ‎6、等腰三角形的顶角是80,则它的一个底角为 ____‎ A D C E B M N 图3‎ ‎7、如图3,已知点C在线段AB上,分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形CBE,AE交CD于M,BD交CE于N求证:CM=CN。‎ F B A C E D ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 图4‎ ‎8、如图4,在△ABC中,∠BAC=90,AB=AC,∠ABC的平分线AC于D,过C作BD垂线交BD的延长线于E,交BA的延长线于F,求证:BD=2CE ‎9、如图5,在△ABC中,AD是△ABC的角平分线,‎ A B D C E 图5‎ AC=AB+AD,求证:∠B=2∠C 答案:‎ 1、 D;2、B;3、B;4、C;5、;6、;‎ ‎7、提示:‎ 先证△ACE≌△DCB(SAS),‎ 再证△CEM≌△CBN(ASA)。‎ ‎8、证明:‎ ‎∵∠1=∠2,BE⊥CF ‎∴CE=FC(等腰三角形中三线合一),‎ ‎∵BE⊥CF ‎∴∠FEB=90‎ ‎∴∠1=90—∠F 又∵∠BAC=90‎ ‎∴∠3=90—∠E ‎∴∠1=∠3(等量代换)‎ 在Rt△BDA和Rt△CFA中,‎ ‎∴Rt△BDA≌Rt△CFA(ASA)‎ ‎∴BD=FC(全等三角形对应边相等)‎ ‎∴BD=2CE ‎9、证明:在AE上截取AE=AB,连接DE,‎ ‎∵AD是△ABC的角平分线,‎ ‎∴∠BAD=EAD(角平分线定义)‎ 在△ABD和△AED中,‎ ‎∴△ABD≌△AED(SAS)‎ ‎∴∠ABD=∠AED(全等三角形对应角相等)‎ ‎∴BD=ED(全等三角形对应边相等)‎ ‎∵BD=AC—AB=AC—AE=CE ‎∴ED=CE ‎∴∠EDC=∠C(等边对等角)‎ ‎∴∠AED=∠EDC+∠C(三角形外角等于不相邻两内角之和)‎ ‎∴∠B=2∠C