中考数学第一轮复习导学案平行四边形 12页

- 1 - 平行四边形 ◆课前热身 1.如图，在□ABCD 中，已知 AD＝8 ㎝， AB＝6 ㎝， DE 平分∠ADC 交 BC 边于点 E，则 BE 等 于（ ） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 2.如图，□ABCD 中，AC．BD 为对角线，BC＝6，BC 边上的高为 4，则阴影部分的面积为（ ）． A．3 B．6 C．12 D．24 3.下列命题中错误的是（ ） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．一组对边平行的四边形是梯形 4.如图，□ABCD 中， E 、 F 分别为 BC 、 AD 边上的点，要使 BF DE ，需添加一个条 件： ． 【参考答案】 1. A 2. C 3. D 4.  ;BE DF BF DE AF CE BFD BED AFB ADE       或 ∥ ； ； 等 A B C E D F A D C B 第 2 题图 A B C D E - 2 - ◆考点聚焦 1．掌握平行四边形的概念和面积的求法． 2．探索并掌握四边形是平行四边形的条件及平行四边形的边、角、•对角线的性质． 3．理解平行四边形是中心对称图形，•过对称中心的直线把它分成面积相等的两部分． 4．会在平行四边形中运用全等三角形和相似三角形的知识解题． ◆备考兵法 1．本节内容在考试中，传统的几何证明题所占的比例很小，•大多数试题以探索题和开 放题的形式出现，其中拼接、折叠、旋转、平移等几何变换在试题中频繁出现，也有很多涉 及面积的试题，要引起重视． 2．在以平行四边形为载体为证明线段（或角）相等的问题中，•通常证明这些线段（或 角）所在的四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质来证明，而不要仅仅停留在证三角 形全等上．在复习时，应熟练掌握平行四边形的性质及判别方法，注意图形变换的一些特征， 善于从折叠、旋转等几何变换中寻求已知条件． ◆考点链接 1．平行四边形的性质 （1）平行四边形对边______，对角______；角平分线______；邻角______. （2）平行四边形两个邻角的平分线互相______，两个对角的平分线互相______．（填“平行” 或“垂直”） （3）平行四边形的面积公式____________________. 2．平行四边形的判定 （1）定义法：________________________. （2）边：________________________或_______________________． （3）角：________________________． （4）对角线：________________________． ◆典例精析 例 1（湖北襄樊）如图，在 ABCD 中， AE BC 于 E，AE EB EC a   ，且 a 是 一元二次方程 2 2 3 0xx   的根，则 ABCD 的周长为（ ） A． 4 2 2 B．12 6 2 C． 2 2 2 D． 2 2 12 6 2或 - 3 - 【答案】A 【解析】本题考 查平行四 边形及 一元二 次方程的 有关知 识， ∵ a 是 一元二 次方 程 2 2 3 0xx   的根，∴ 1a  ，∴AE＝EB＝EC＝1，∴AB＝ 2 ，BC＝2，∴ ABCD 的周 长为 4 2 2 ，故选 A． 例 2 （四川达州）如图，一个四边形花坛 ABCD，被两 条线段 MN，EF•分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四 种花卉，种植面积依次是 S1，S2，S3，S4，若 MN∥AB∥DC， EF∥DA∥CB，则有（ ） A．S1=S4 B．S1+S4=S2+S3 C．S1S4=S2S3 D．都不对 【答案】 C 【解析】 由于平行线间的距离处处相等，则红、黄、紫、白的面积比便等于高的比，此时 红、紫的高相等，黄、白的高相等． 拓展变式 若例 1 中，MN 与 EF 的交点在 AC 上，则 S1，S2，S3，S4，还有何更进一步的 关系？_________ 答案 S1=S3 S2=S4 例 3 如图，E，F是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的点，CE=AF．请你猜想：BE•与 DF 有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明． 解析 猜想：BE∥DF，BE=DF． 证法一：如图 1，∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BC=AD，∠1=∠2． 又∵CE=AF， ∴△BCE≌△DAF． A D C E C B - 4 - ∴BE=DF，∠3=∠4， ∴BE∥DF． 证法二：如图 2，连结 BD，交 AC 于点 O，连结 DE，BF． ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BO=OD，AO=CO． 又∵AF=CE， ∴AE=CF， ∴EO=FO， ∴四边形 BEDF 是平行四边形， ∴BE // DF． 点评 从近几年的中考试题来看，平行四边形这一节不会出现很复杂的证明题，试题主 要考查平行四边形的特征和识别，也有很多地方涉及全等和相似的知识，传统的计算和证明 所占的比例较小，大多数以探索和开放题的形式出现． ◆迎考精练 一、选择题 1.（山东威海）如图，在四边形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，连结 DE 并延长，交 AB 的延长 线于 F 点， AB BF ．添加一个条件，使四边形 ABCD 是平行四边形．你认为下面四个条 件中可选择的是（ ） A． AD BC B．CD BF C． AC   D． F CDE   2.（甘肃白银）如图，四边形 ABCD 中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD 于点 E，且 四边形 ABCD 的面积为 8，则 BE＝（ ） A．2 B．3 C． 22 D． 23 E B A F C D - 5 - 3.（山东日照）如图，在□ABCD 中，已知 AD＝8 ㎝， AB＝6 ㎝， DE 平分∠ADC 交 BC 边于 点 E，则 BE 等于（ ） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 二、填空题 1.（广西钦州）如图，在□ABCD 中，∠A＝120°，则∠D＝_ _°. A B CD 2．(辽宁本溪)如图所示，在 ABCD 中，对角线 AC BD、 相交于点O ，过点 的直线分 别交 AD BC、 于点 MN、 ，若 CON△ 的面积为 2， DOM△ 的面积为 4，则 AOB△ 的 面积为 ． 3.（黑龙江哈尔滨）如图，在□ABCD 中，BD 为对角线，E、F 分别是 AD．BD 的中点，连接 EF．若 EF＝3，则 CD 的长为 ． 4.（山西省）如图，□ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点O ，点 E 是CD 的中点， ABD△ 的周长为 16cm，则 DOE△ 的周长是 cm． A B C D E O - 6 - 5.（湖南郴州）如图，在四边形 ABCD中，已知 AB CD= ，再添加一个条件___________ （写出一个即可），则四边形 是平行四边形．(图形中不再添加辅助线) 三、解答题 1. (湖北黄冈)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点 E 为 AB 中点，连结 CE，过点 E 作 ED⊥BC 于点 D，在 DE 的延长线上取一点 F，使 AF＝CE．求证：四边形 ACEF 是平行四边形． 2.（湖南长沙）如图， EF、 是平行四边形 ABCD对角线 AC 上两点， BE DF∥ ，求证： AF CE ． 3.（贵州黔东南州）如图，l1、l2、l3、l4 是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条 D C B A 5 题 D C A B E F A C D B E O - 7 - 平行直线间的距离为 h，正方形 ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形 ABCD 的面 积是 25. （1）连结 EF，证明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF 的面积相等. （2）求 h 的值. 4.（新疆）如图，E、F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上两点，AF CE DF BE DF BE， ， ∥ ． 求证：（1） AFD CEB△ ≌△ ． （2）四边形 ABCD是平行四边形． 5.（广东广州）如图，在 Δ ABC 中，D、E、F 分别为边 AB、BC、CA 的中点. 证明：四边形 DECF 是平行四边形. 6.(浙江温州)在所给的 9×9 方格中，每个小正方形的边长都是 1．按要求画平行四边形， 使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上． A B D E F C - 8 - (1)在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数； (2)在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数．(注：图甲、图乙在答题纸上) 7.(福建宁德)如图：点 A．D．B．E 在同一直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF，请从图中找 出一个与∠E 相等的角，并加以证明．（不再添加其他的字母与线段） 【参考答案】 选择题 1. D 2. C 3. B 填空题 1. 60 2. 6 3. 6 因为 EF 是△ABD 的中位线，则 AB＝6，又 AB＝CD，所以 CD＝6. 4. 8 5. 180 180 AB CD AD BC AD BC ∥ ° ° = ?? ?? 或 或 或 等 解答题 A F E D C B - 9 - 1. 证明：∵点 E 为 Rt△ABC 的斜边中点， ∴EC＝EA＝EB ∴∠EAC＝∠ECA． ∵AF＝CE，CE＝EA ∴AF＝AE， ∴∠AFE＝∠AEF． ∵∠ACB＝∠EDB＝90° ∴FD∥BC ∴∠AEF＝∠EAC ∴∠EAC＝∠ECA＝∠AFE＝∠AEF． ∴∠EAF＝180°－∠AFE－∠AEF＝180°－∠EAC－∠ECA＝∠AEC ∴AF∥CE 又∵AF＝CE ∴四边形 ACEF 是平行四边形. 2. 证明：平行四边形 ABCD中， AD BC∥ ， AD BC ， ACB CAD   ． 又 BE DF∥ ， BEC DFA   ， BEC DFA△ ≌△ ，  CE AF 3. 解：连结 EF ∵l1∥l2∥l3∥l4，且四边形 ABCD 是正方形 ∴BE∥FD，BF∥ED ∴四边形 EBFD 为平行四边形 ∴BE＝FD 又∵l1、l2、l3 和 l4 之间的距离为 h ∴S△ABE＝ 2 1 BE·h，S△FBE＝ 2 1 BE·h，S△EDF＝ FD·h，S△CDF＝ FD·h ∴S△ABE＝ S△FBE＝ S△EDF＝ S△CDF （2） - 10 - 过 A 点作 AH⊥BE 于 H 点。 方法一：∵S△ABE＝ S△FBE＝ S△EDF＝ S△CDF 又∵ 正方形 ABCD 的面积是 25 ∴ 4 25ABES ，且 AB＝AD＝5 又∵l1∥l2∥l3∥l4 ∴E、F 分别是 AD 与 BC 的中点 ∴AE＝ 2 1 AD＝ 2 5 ∴在 Rt△ABE 中， BE＝ 2 5522  AEAB 又∵AB·AE＝BE·AH ∴ 5 52 5 2 55    BE AEABAH 方法二：不妨设 BE＝FD＝x (x>0) 则 S△ABE＝ S△FBE＝ S△EDF＝ S△CDF＝ 2 xh 又∵正方形 ABCD 的面积是 25， ∴S△ABE＝ 4 25 2 1 xh ，且 AB＝5 则 2 25xh ① 又∵在 Rt△ABE 中：AE＝ 2222 5 xABBE 又∵∠BAE＝90o，AH⊥BE ∴Rt△ABE∽Rt△HAE ∴ BE AE AB AH  ，即 x xh 22 5 5  - 11 - 变形得： )5(25)( 222  xhx ② 把①两边平方后代入②得： )5(254 25 22 2  x ③ 解方程③得 2 55x （ 2 55x 舍去） 把 2 55x 代入①得： 5h 4. 证明：（1） DF BE∥ ， DFE BEF   ． 180AFD DFE   °， 180CEB BEF   °， AFD CEB   ． 又 AF CE DF BE， ， AFD CEB△ ≌△ (SAS)． （2）由（1）知 AFD CEB△ ≌△ ， DAC BCA AD BC   ， ， AD BC ∥ ． 四边形 ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 5.证明： ∵D、E、F 分别为 AB．BC．CA 的中点， ∴DF∥BC，DE∥AC， ∴四边形 DECF 是平行四边形. 6. 解：（1） （2） - 12 - 7. 解法 1：图中∠CBA＝∠E 证明：∵AD＝BE ∴AD＋DB＝BE＋DB 即 AB＝DE ∵AC∥DF ∴∠A＝∠FDE 又∵AC＝DF ∴△ABC≌△DEF ∴∠CBA＝∠E 解法 2：图中∠FCB＝∠E 证明：∵AC＝DF，AC∥DF ∴四边形 ADFC 是平行四边形 ∴CF∥AD，CF＝AD ∵AD＝BE ∴CF＝BE，CF∥BE ∴四边形 BEFC 是平行四边形 ∴∠FCB＝∠E A F E D C B