圆(1)数学教案 6页

‎24.1 圆(第3课时)‎ ‎ 教学内容 ‎ 1．圆周角的概念．‎ ‎ 2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半．‎ ‎ 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．‎ ‎ 教学目标 ‎ 1．了解圆周角的概念．‎ ‎ 2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．‎ ‎ 3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．‎ ‎ 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．‎ ‎ 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．‎ ‎ 重难点、关键 ‎ 1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．‎ ‎ 2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．‎ ‎ 3．关键：探究圆周角的定理的存在．‎ ‎ 教学过程 ‎ 一、复习引入 ‎ （学生活动）请同学们口答下面两个问题．‎ ‎ 1．什么叫圆心角？‎ ‎ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？‎ ‎ 老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．‎ ‎ （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等．‎ ‎ 刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．‎ ‎ 二、探索新知 问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．‎ 6‎ ‎ 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．‎ ‎ 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？‎ ‎ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？‎ ‎ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？‎ ‎ （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．‎ ‎ 老师点评：‎ ‎ 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．‎ ‎ 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．‎ ‎ 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．‎ ‎ 下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”‎ ‎ （1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示 ‎ ∵∠AOC是△ABO的外角 ‎ ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ‎ ∵OA=OB ‎ ∴∠ABO=∠BAO ‎ ∴∠AOC=∠ABO ‎ ∴∠ABC=∠AOC ‎（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．‎ ‎ 老师点评：连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．‎ ‎（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，那么∠ABC=∠AOC吗？请同学们独立完成证明．‎ ‎ 老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC ‎ 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．‎ ‎ 从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：‎ 6‎ ‎ 在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．‎ ‎ 进一步，我们还可以得到下面的推导：‎ ‎ 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．‎ ‎ 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．‎ ‎ 例1．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？‎ ‎ 分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．‎ ‎ 解：BD=CD ‎ 理由是：如图24-30，连接AD ‎ ∵AB是⊙O的直径 ‎ ∴∠ADB=90°即AD⊥BC ‎ 又∵AC=AB ‎ ∴BD=CD ‎ 三、巩固练习 ‎ 1．教材 思考题．‎ ‎ 2．教材 练习．‎ ‎ 四、应用拓展 例2．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A、∠B、∠C的对边分别设为a，b，c，⊙O半径为R，求证：===2R．‎ ‎ 分析：要证明===2R，只要证明=2R，=2R，=2R，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明显要在直角三角形中进行．‎ ‎ 证明：连接CO并延长交⊙O于D，连接DB ‎ ∵CD是直径 ‎ ∴∠DBC=90°‎ ‎ 又∵∠A=∠D ‎ 在Rt△DBC中，sinD=，即2R=‎ ‎ 同理可证：=2R，=2R 6‎ ‎ ∴===2R ‎ 五、归纳小结（学生归纳，老师点评）‎ ‎ 本节课应掌握：‎ ‎ 1．圆周角的概念；‎ ‎ 2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对的圆心角的一半；‎ ‎ 3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．‎ ‎ 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．‎ ‎ 六、布置作业 ‎ 1．教材 综合运用9、10、11 拓广探索12、13．‎ ‎2．选用课时作业设计．‎ 第三课时作业设计 ‎ 一、选择题 ‎ 1．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（ ）．‎ A．140° B．110° C．120° D．130°‎ ‎ ‎ ‎ (1) (2) (3)‎ ‎ 2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ）‎ ‎ A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1=∠3<∠2‎ C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3=∠2‎ ‎ 3．如图3，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于（ ）．‎ A．3 B．3+ C．5- D．5‎ 6‎ ‎ 二、填空题 ‎ 1．半径为‎2a的⊙O中，弦AB的长为‎2‎a，则弦AB所对的圆周角的度数是________．‎ ‎2．如图4，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．‎ ‎ ‎ ‎ (4) (5)‎ ‎3．如图5，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=1，∠A=60°，则⊙O半径为_______．‎ ‎ ‎ ‎ 三、综合提高题 ‎1．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．‎ ‎ ‎ ‎2．如图，已知AB=AC，∠APC=60°‎ ‎ （1）求证：△ABC是等边三角形．‎ ‎（2）若BC=‎4cm，求⊙O的面积．‎ ‎ 3．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．‎ ‎ （1）求证：AB为⊙C直径．‎ ‎ （2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．‎ 6‎ 答案:‎ ‎ 一、1．D 2．B 3．D ‎ 二、1．120°或60° 2．90° 3．‎ 三、1． 2．（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，‎ 又，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形．‎ ‎（2）解：连结OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，‎ 在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，‎ 设OD=x，则OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC=‎ ‎ 3．（1）略 （2）4，（-2，2）‎ 6‎