圆(1)数学教案 6页

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  • 2021-11-11 发布

圆(1)数学教案

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‎24.1 圆(第3课时)‎ ‎ 教学内容 ‎ 1.圆周角的概念.‎ ‎ 2.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弦所对的圆心角的一半.‎ ‎ 推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用.‎ ‎ 教学目标 ‎ 1.了解圆周角的概念.‎ ‎ 2.理解圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.‎ ‎ 3.理解圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.‎ ‎ 4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用.‎ ‎ 设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题.‎ ‎ 重难点、关键 ‎ 1.重点:圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题.‎ ‎ 2.难点:运用数学分类思想证明圆周角的定理.‎ ‎ 3.关键:探究圆周角的定理的存在.‎ ‎ 教学过程 ‎ 一、复习引入 ‎ (学生活动)请同学们口答下面两个问题.‎ ‎ 1.什么叫圆心角?‎ ‎ 2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢?‎ ‎ 老师点评:(1)我们把顶点在圆心的角叫圆心角.‎ ‎ (2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对的其余各组量都分别相等.‎ ‎ 刚才讲的,顶点在圆心上的角,有一组等量的关系,如果顶点不在圆心上,它在其它的位置上?如在圆周上,是否还存在一些等量关系呢?这就是我们今天要探讨,要研究,要解决的问题.‎ ‎ 二、探索新知 问题:如图所示的⊙O,我们在射门游戏中,设E、F是球门,设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门,如图所示的A、B、C点.通过观察,我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.‎ 6‎ ‎ 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题.‎ ‎ 1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个?‎ ‎ 2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化?‎ ‎ 3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系?‎ ‎ (学生分组讨论)提问二、三位同学代表发言.‎ ‎ 老师点评:‎ ‎ 1.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个.‎ ‎ 2.通过度量,我们可以发现,同弧所对的圆周角是没有变化的.‎ ‎ 3.通过度量,我们可以得出,同弧上的圆周角是圆心角的一半.‎ ‎ 下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.”‎ ‎ (1)设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径,如图所示 ‎ ∵∠AOC是△ABO的外角 ‎ ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ‎ ∵OA=OB ‎ ∴∠ABO=∠BAO ‎ ∴∠AOC=∠ABO ‎ ∴∠ABC=∠AOC ‎(2)如图,圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧,那么∠ABC=∠AOC吗?请同学们独立完成这道题的说明过程.‎ ‎ 老师点评:连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角,∠COD是△BOC的外角,那么就有∠AOD=2∠ABO,∠DOC=2∠CBO,因此∠AOC=2∠ABC.‎ ‎(3)如图,圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧,那么∠ABC=∠AOC吗?请同学们独立完成证明.‎ ‎ 老师点评:连结OA、OC,连结BO并延长交⊙O于D,那么∠AOD=2∠ABD,∠COD=2∠CBO,而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC ‎ 现在,我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C,同样可证得它等于同弧上圆心角一半,因此,同弧上的圆周角是相等的.‎ ‎ 从(1)、(2)、(3),我们可以总结归纳出圆周角定理:‎ 6‎ ‎ 在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.‎ ‎ 进一步,我们还可以得到下面的推导:‎ ‎ 半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.‎ ‎ 下面,我们通过这个定理和推论来解一些题目.‎ ‎ 例1.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么?‎ ‎ 分析:BD=CD,因为AB=AC,所以这个△ABC是等腰,要证明D是BC的中点,只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可.‎ ‎ 解:BD=CD ‎ 理由是:如图24-30,连接AD ‎ ∵AB是⊙O的直径 ‎ ∴∠ADB=90°即AD⊥BC ‎ 又∵AC=AB ‎ ∴BD=CD ‎ 三、巩固练习 ‎ 1.教材 思考题.‎ ‎ 2.教材 练习.‎ ‎ 四、应用拓展 例2.如图,已知△ABC内接于⊙O,∠A、∠B、∠C的对边分别设为a,b,c,⊙O半径为R,求证:===2R.‎ ‎ 分析:要证明===2R,只要证明=2R,=2R,=2R,即sinA=,sinB=,sinC=,因此,十分明显要在直角三角形中进行.‎ ‎ 证明:连接CO并延长交⊙O于D,连接DB ‎ ∵CD是直径 ‎ ∴∠DBC=90°‎ ‎ 又∵∠A=∠D ‎ 在Rt△DBC中,sinD=,即2R=‎ ‎ 同理可证:=2R,=2R 6‎ ‎ ∴===2R ‎ 五、归纳小结(学生归纳,老师点评)‎ ‎ 本节课应掌握:‎ ‎ 1.圆周角的概念;‎ ‎ 2.圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都相等这条弧所对的圆心角的一半;‎ ‎ 3.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.‎ ‎ 4.应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题.‎ ‎ 六、布置作业 ‎ 1.教材 综合运用9、10、11 拓广探索12、13.‎ ‎2.选用课时作业设计.‎ 第三课时作业设计 ‎ 一、选择题 ‎ 1.如图1,A、B、C三点在⊙O上,∠AOC=100°,则∠ABC等于( ).‎ A.140° B.110° C.120° D.130°‎ ‎ ‎ ‎ (1) (2) (3)‎ ‎ 2.如图2,∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是( )‎ ‎ A.∠4<∠1<∠2<∠3 B.∠4<∠1=∠3<∠2‎ C.∠4<∠1<∠3∠2 D.∠4<∠1<∠3=∠2‎ ‎ 3.如图3,AD是⊙O的直径,AC是弦,OB⊥AD,若OB=5,且∠CAD=30°,则BC等于( ).‎ A.3 B.3+ C.5- D.5‎ 6‎ ‎ 二、填空题 ‎ 1.半径为‎2a的⊙O中,弦AB的长为‎2‎a,则弦AB所对的圆周角的度数是________.‎ ‎2.如图4,A、B是⊙O的直径,C、D、E都是圆上的点,则∠1+∠2=_______.‎ ‎ ‎ ‎ (4) (5)‎ ‎3.如图5,已知△ABC为⊙O内接三角形,BC=1,∠A=60°,则⊙O半径为_______.‎ ‎ ‎ ‎ 三、综合提高题 ‎1.如图,弦AB把圆周分成1:2的两部分,已知⊙O半径为1,求弦长AB.‎ ‎ ‎ ‎2.如图,已知AB=AC,∠APC=60°‎ ‎ (1)求证:△ABC是等边三角形.‎ ‎(2)若BC=‎4cm,求⊙O的面积.‎ ‎ 3.如图,⊙C经过坐标原点,且与两坐标轴分别交于点A与点B,点A的坐标为(0,4),M是圆上一点,∠BMO=120°.‎ ‎ (1)求证:AB为⊙C直径.‎ ‎ (2)求⊙C的半径及圆心C的坐标.‎ 6‎ 答案:‎ ‎ 一、1.D 2.B 3.D ‎ 二、1.120°或60° 2.90° 3.‎ 三、1. 2.(1)证明:∵∠ABC=∠APC=60°,‎ 又,∴∠ACB=∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形.‎ ‎(2)解:连结OC,过点O作OD⊥BC,垂足为D,‎ 在Rt△ODC中,DC=2,∠OCD=30°,‎ 设OD=x,则OC=2x,∴4x2-x2=4,∴OC=‎ ‎ 3.(1)略 (2)4,(-2,2)‎ 6‎