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  • 2021-11-12 发布

2020年甘肃省中考数学模拟试卷(3月份)(解析版)

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‎2020年甘肃省武威九中、爱华育新学校、武威十三中中考数学模拟试卷(3月份)‎ 一.选择题(共10小题)‎ ‎1.下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎2.一种新病毒的直径约为0.00000043毫米,用科学记数法表示为(  )‎ A.0.43×10﹣6 B.0.43×106 C.4.3×107 D.4.3×10﹣7‎ ‎3.已知不等式组,其解集在数轴上表示正确的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎4.下列运算正确的是(  )‎ A.x2•x3=x6 B.x6÷x5=x C.(﹣x2)4=x6 D.x2+x3=x5‎ ‎5.如图所示,该几何体的俯视图是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎6.下列二次根式中,与是同类二次根式的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.若分式方程2+=有增根,则k的值为(  )‎ A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2‎ ‎8.从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1),然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2),上述操作所能验证的等式是(  )‎ A.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 B.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b) ‎ C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.a2+ab=a(a+b)‎ ‎9.如图,在▱ABCD中,E为CD上一点,连接AE、BD,且AE、BD交于点F,若EF:AF=2:5,则S△DEF:S四边形EFBC为(  )‎ A.2:5 B.4:25 C.4:31 D.4:35‎ ‎10.已知如图,等腰三角形ABC的直角边长为a,正方形MNPQ的边为b (a<b),C、M、A、N在同一条直线上,开始时点A与点M重合,让△ABC向右移动,最后点C与点N重合.设三角形与正方形的重合面积为y,点A移动的距离为x,则y关于x的大致图象是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ 二.填空题(共8小题)‎ ‎11.多项式2x3﹣8x2y+8xy2分解因式的结果是   .‎ ‎12.计算:﹣=   .‎ ‎13.若等腰三角形的顶角为120°,腰长为2cm,则它的底边长为   cm.‎ ‎14.关于x的一元二次方程mx2+(m﹣2)x+m﹣2=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是   .‎ ‎15.如图,△ABC中,点D、E在BC边上,∠BAD=∠CAE请你添加一对相等的线段或一对相等的角的条件,使△ABD≌△ACE.你所添加的条件是   .‎ ‎16.在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,∠DAC=30°,BD=2,,则AC的长是   .‎ ‎17.在开展“全民阅读”活动中,某校为了解全校1500名学生课外阅读的情况,随机调查了50名学生一周的课外阅读时间,并绘制成如图所示的条形统计图.根据图中数据,估计该校1500名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是   .‎ ‎18.正整数按如图所示的规律排列,则第29行第30列的数字为   .‎ 三.解答题(共10小题)‎ ‎19.计算:﹣22﹣+|1﹣4sin60°|+(π﹣)0.‎ ‎20.先化简,再求值:,其中x=.‎ ‎21.体育文化用品商店购进篮球和排球共20个,进价和售价如表,全部销售完后共获利润260元.求商店购进篮球,排球各多少个?‎ 篮球 排球 进价(元/个)‎ ‎80‎ ‎50‎ 售价(元/个)‎ ‎95‎ ‎60‎ ‎22.如图,某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度,他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°,再沿着BA的方向后退20m至C处,测得古塔顶端点D的仰角为30°.求该古塔BD的高度(结果保留根号).‎ ‎23.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点,与x轴交于C点,点B的坐标为(6,n).线段OA=5,E为x轴上一点,且sin∠AOE=.‎ ‎(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;‎ ‎(2)求△AOC的面积.‎ ‎24.如图,转盘被平均分成三块扇形,转动转盘,转动过程中,指针保持不动,转盘停止后,如果指针恰好指在分割线上,则重转一次,直到指针指向一个数字所在的区域为止.‎ ‎(1)转动转盘两次,用画树状图或列表的方法求两次指针所指区域数字不同的概率;‎ ‎(2)在第(1)题中,两次转到的区域的数字作为两条线段的长度,如果第三条线段的长度为5,求这三条线段能构成三角形的概率.‎ ‎25.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.‎ ‎(1)求证:△ADF∽△DEC;‎ ‎(2)若AB=8,AD=6,AF=4,求AE的长.‎ ‎26.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.‎ ‎(1)求证:四边形AMDN是平行四边形.‎ ‎(2)当AM的值为何值时,四边形AMDN是矩形?请说明理由.‎ ‎27.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,点E是边BC的中点.‎ ‎(1)求证:BC2=BD•BA;‎ ‎(2)判断DE与⊙O位置关系,并说明理由.‎ ‎28.如图,在平面直角坐标系中,顶点为(,)的抛物线交y轴于点C(0,﹣2),交x轴于点A,B(点A在点B的左侧).P点是y轴上一动点,Q点是抛物线上一动点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)P点运动到何位置时,△POA与△ABC相似?并求出此时P点的坐标;‎ ‎(3)当以A、B、P、Q四点为顶点的四边形为平行四边形时,求Q点的坐标.‎ ‎ ‎ 参考答案与试题解析 一.选择题(共10小题)‎ ‎1.下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.‎ ‎【解答】解:第一个图形是中心对称图形,第二个图形、第三个图形既是中心对称图形,又是轴对称图形,第四个图形是轴对称图形,共2个,‎ 故选:B.‎ ‎2.一种新病毒的直径约为0.00000043毫米,用科学记数法表示为(  )‎ A.0.43×10﹣6 B.0.43×106 C.4.3×107 D.4.3×10﹣7‎ ‎【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.‎ ‎【解答】解:0.00000043=4.3×10﹣7,‎ 故选:D.‎ ‎3.已知不等式组,其解集在数轴上表示正确的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【分析】求出每个不等式的解集,找出不等式组的解集,再在数轴上把不等式组的解集表示出来,即可得出选项.‎ ‎【解答】解:‎ ‎∵解不等式①得:x>3,‎ 解不等式②得:x≥﹣1,‎ ‎∴不等式组的解集为:x>3,‎ 在数轴上表示不等式组的解集为:‎ 故选:B.‎ ‎4.下列运算正确的是(  )‎ A.x2•x3=x6 B.x6÷x5=x C.(﹣x2)4=x6 D.x2+x3=x5‎ ‎【分析】根据同底数幂的乘法的性质,同底数幂的除法,积的乘方的性质,合并同类项的法则,对各选项分析判断后利用排除法求解 ‎【解答】解:A、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故A错误;‎ B、同底数幂的除法底数不变指数相减,故B正确;‎ C、积的乘方等于乘方的积,故C错误;‎ D、不是同类项不能合并,故D错误;‎ 故选:B.‎ ‎5.如图所示,该几何体的俯视图是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图,可得俯视图.‎ ‎【解答】解:从上面看是三个矩形,符合题意的是C,‎ 故选:C.‎ ‎6.下列二次根式中,与是同类二次根式的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据同类二次根式的意义,可得答案.‎ ‎【解答】解:=与是同类二次根式,故A符合题意;‎ B、=2,故B不符合题意;‎ C、=2,故C不符合题意;‎ D、=2故D不符合题意;‎ 故选:A.‎ ‎7.若分式方程2+=有增根,则k的值为(  )‎ A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程,将x=2代入计算即可求出k的值.‎ ‎【解答】解:分式方程去分母得:2(x﹣2)+1﹣kx=﹣1,‎ 由题意将x=2代入得:1﹣2k=﹣1,‎ 解得:k=1.‎ 故选:C.‎ ‎8.从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1),然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2),上述操作所能验证的等式是(  )‎ A.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 B.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b) ‎ C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.a2+ab=a(a+b)‎ ‎【分析】分别求出从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形后剩余部分的面积和拼成的矩形的面积,根据剩余部分的面积相等即可得出算式,即可选出选项.‎ ‎【解答】解:∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形,剩余部分的面积是:a2﹣b2,‎ 拼成的矩形的面积是:(a+b)(a﹣b),‎ ‎∴根据剩余部分的面积相等得:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),‎ 故选:B.‎ ‎9.如图,在▱ABCD中,E为CD上一点,连接AE、BD,且AE、BD交于点F,若EF:AF=2:5,则S△DEF:S四边形EFBC为(  )‎ A.2:5 B.4:25 C.4:31 D.4:35‎ ‎【分析】由平行四边形的性质可证明△DEF∽△BAF,可求得△DEF和△AFE、△ABF的面积之间的关系,从而可求得△DEF和△BCD的面积之间的关系,可求得答案.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,‎ ‎∴CD∥AB,‎ ‎∴△DEF∽△BAF,‎ ‎∴==,‎ ‎∴=()2=,==‎ 设S△DEF=S,则S△ABF=S,S△ADF=S,‎ ‎∴S△ABD=S△ADF+S△ABF=S+S=S,‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形,‎ ‎∴S△ABD=S△DBC=S,‎ ‎∴S四边形EFBC=S△BDC﹣S△DEF=S﹣S=S,‎ ‎∴S△DEF:S四边形EFBC=4:31.‎ 故选:C.‎ ‎10.已知如图,等腰三角形ABC的直角边长为a,正方形MNPQ的边为b (a<b),C、M、A、N在同一条直线上,开始时点A与点M重合,让△ABC向右移动,最后点C与点N重合.设三角形与正方形的重合面积为y,点A移动的距离为x,则y关于x的大致图象是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【分析】根据题目提供的条件可以求出函数的解析式,根据解析式判断函数的图象的形状.‎ ‎【解答】解:设三角形与正方形的重合面积为y,点A移动的距离为x,‎ ‎∴y关于x的函数关系式为:y=x2,‎ ‎①当x<a时,重合部分的面积的y随x的增大而增大,‎ ‎②当a<x<b时,重合部分的面积等于直角三角形的面积,且保持不变,‎ ‎③第三部分函数关系式为y=﹣+当x>b时,重合部分的面积随x的增大而减小.‎ 故选:B.‎ 二.填空题(共8小题)‎ ‎11.多项式2x3﹣8x2y+8xy2分解因式的结果是 2x(x﹣2y)2 .‎ ‎【分析】先提取公因式2x,再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案.完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2.‎ ‎【解答】解:2x3﹣8x2y+8xy2=2x(x2﹣4xy+4y2)=2x(x﹣2y)2.‎ 故答案为:2x(x﹣2y)2.‎ ‎12.计算:﹣= ﹣ .‎ ‎【分析】先通分,再把分子相加减即可.‎ ‎【解答】解:原式=﹣‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=﹣.‎ 故答案为:﹣.‎ ‎13.若等腰三角形的顶角为120°,腰长为2cm,则它的底边长为 2 cm.‎ ‎【分析】作AD⊥BC于点D,可得BC=2BD,RT△ABD中,根据BD=ABcos∠B求得BD,即可得答案.‎ ‎【解答】解:如图,作AD⊥BC于点D,‎ ‎∵∠BAC=120°,AB=AC,‎ ‎∴∠B=30°,‎ 又∵AD⊥BC,‎ ‎∴BC=2BD,‎ ‎∵AB=2cm,‎ ‎∴在RT△ABD中,BD=ABcos∠B=2×=(cm),‎ ‎∴BC=2cm,‎ 故答案为:2.‎ ‎14.关于x的一元二次方程mx2+(m﹣2)x+m﹣2=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 m>﹣1且m≠0 .‎ ‎【分析】由二次项系数不为0,且根的判别式大于0,求出m的范围即可.‎ ‎【解答】解:∵关于x的一元二次方程mx2+(m﹣2)x+m﹣2=0有两个不相等的实数根,‎ ‎∴m≠0且△=(m﹣2)2﹣4m(m﹣2)=4m+4>0,‎ 则m的范围为m>﹣1且m≠0.‎ 故答案为:m>﹣1且m≠0.‎ ‎15.如图,△ABC中,点D、E在BC边上,∠BAD=∠CAE请你添加一对相等的线段或一对相等的角的条件,使△ABD≌△ACE.你所添加的条件是 AB=AC .‎ ‎【分析】添加AB=AC,根据等边等角可得∠B=∠C,再利用ASA定理判定△ABD≌△ACE.‎ ‎【解答】解:添加AB=AC,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴∠B=∠C,‎ 在△ABD和△ACE中,‎ ‎∴△ABD≌△ACE(ASA),‎ 故答案为:AB=AC.‎ ‎16.在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,∠DAC=30°,BD=2,,则AC的长是  .‎ ‎【分析】设CD=x,在Rt△ACD中,根据∠DAC=30°的正切可求出AC.在Rt△ABC中,根据勾股定理得到关于x的方程,解得x,即可求出AC.‎ ‎【解答】解:设CD=x,则AC==x,‎ ‎∵AC2+BC2=AB2,AC2+(CD+BD)2=AB2,‎ ‎∴( x)2+(x+2)2=(2 )2,‎ 解得,x=1,∴AC=.‎ 故答案为.‎ ‎17.在开展“全民阅读”活动中,某校为了解全校1500名学生课外阅读的情况,随机调查了50名学生一周的课外阅读时间,并绘制成如图所示的条形统计图.根据图中数据,估计该校1500名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是 600 .‎ ‎【分析】用所有学生数乘以课外阅读时间不少于7小时的人数所占的百分比即可.‎ ‎【解答】解:该校1500名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是1500×=600人,‎ 故答案为:600.‎ ‎18.正整数按如图所示的规律排列,则第29行第30列的数字为 870 .‎ ‎【分析】根据行首第一个数字分析,每一行第一个数字都行数的平方,每一行列数依次递减,每行的数量个数与行数相同,因此第29行第30列应该为30行表示的数字减去30,由此可以得出答案.‎ ‎【解答】解:根据图表分析如下:第一行:首个数字1,横向箭头共有1个数字,第二行:首个数字4,横向箭头共有2个数字,第三行:首个数字9,横向箭头共有3个数字,‎ 第四行:首个数字16,横向箭头共有4个数字,‎ 可以发现每行首个数字是行数的平方,每行横向箭头数字个数等于行数,因此,第29行第30列的数字应该为第30行第4列上面的数字,302﹣30=870.‎ 故答案为:870.‎ 三.解答题(共10小题)‎ ‎19.计算:﹣22﹣+|1﹣4sin60°|+(π﹣)0.‎ ‎【分析】﹣22=﹣4;=2;sin60°=,|1﹣4sin60°|=|1﹣2|=2﹣1,不等于0的数的0次幂都等于1.‎ ‎【解答】解:原式===﹣4.‎ ‎20.先化简,再求值:,其中x=.‎ ‎【分析】先对括号里面的进行分式的加减,然后再算分式的除法,将原式化简后再将x的值代入化简后的式子就可以求出其值.‎ ‎【解答】解:原式=÷(+)‎ ‎=÷‎ ‎=.‎ 当x=时,原式=;‎ ‎21.体育文化用品商店购进篮球和排球共20个,进价和售价如表,全部销售完后共获利润260元.求商店购进篮球,排球各多少个?‎ 篮球 排球 进价(元/个)‎ ‎80‎ ‎50‎ 售价(元/个)‎ ‎95‎ ‎60‎ ‎【分析】设购进篮球x个,购进排球y个,根据等量关系:①篮球和排球共20个②全部销售完后共获利润260元可的方程组,解方程组即可.‎ ‎【解答】解:设购进篮球x个,购进排球y个,由题意得:‎ ‎,‎ 解得:,‎ 答:购进篮球12个,购进排球8个.‎ ‎22.如图,某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度,他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°,再沿着BA的方向后退20m至C处,测得古塔顶端点D的仰角为30°.求该古塔BD的高度(结果保留根号).‎ ‎【分析】在Rt△ABD和Rt△BCD中,分别解直角三角形,用BD表示AB和BC,然后根据BC﹣AB=20m,可求得塔BD的高度.‎ ‎【解答】解:根据题意可知:∠BAD=45°,∠BCD=30°,AC=20m.‎ 在Rt△ABD中,‎ ‎∵∠BAD=∠BDA=45°,‎ ‎∴AB=BD.‎ 在Rt△BDC中,‎ ‎∵tan∠BCD=,‎ ‎∴=,‎ 则BC=BD,‎ 又∵BC﹣AB=AC,‎ ‎∴BD﹣BD=20,‎ 解得:BD==10+10(m).‎ 答:古塔BD的高度为()m.‎ ‎23.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点,与x轴交于C点,点B的坐标为(6,n).线段OA=5,E为x轴上一点,且sin∠AOE=.‎ ‎(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;‎ ‎(2)求△AOC的面积.‎ ‎【分析】(1)过点A作AD⊥x轴于D点,由sin∠AOE=,OA=5,根据正弦的定义可求出AD,再根据勾股定理得到DO,即得到A点坐标(﹣3,4),把A(﹣3,4)代入y=,确定反比例函数的解析式为y=﹣;将B(6,n)代入,确定点B点坐标,然后把A点和B点坐标代入y=kx+b(k≠0),求出k和b.‎ ‎(2)先令y=0,求出C点坐标,得到OC的长,然后根据三角形的面积公式计算△AOC的面积即可.‎ ‎【解答】解:(1)过点A作AD⊥x轴于D点,如图,‎ ‎∵sin∠AOE=,OA=5,‎ ‎∴sin∠AOE===,‎ ‎∴AD=4,‎ ‎∴DO==3,‎ 而点A在第二象限,‎ ‎∴点A的坐标为(﹣3,4),‎ 将A(﹣3,4)代入y=,得m=﹣12,‎ ‎∴反比例函数的解析式为y=﹣;‎ 将B(6,n)代入y=﹣,得n=﹣2;‎ 将A(﹣3,4)和B(6,﹣2)分别代入y=kx+b(k≠0),得 ‎,‎ 解得,‎ ‎∴所求的一次函数的解析式为y=﹣x+2;‎ ‎(2)在y=﹣x+2中,令y=0,‎ 即﹣x+2=0,‎ 解得x=3,‎ ‎∴C点坐标为(3,0),即OC=3,‎ ‎∴S△AOC=•AD•OC=×4×3=6.‎ ‎24.如图,转盘被平均分成三块扇形,转动转盘,转动过程中,指针保持不动,转盘停止后,如果指针恰好指在分割线上,则重转一次,直到指针指向一个数字所在的区域为止.‎ ‎(1)转动转盘两次,用画树状图或列表的方法求两次指针所指区域数字不同的概率;‎ ‎(2)在第(1)题中,两次转到的区域的数字作为两条线段的长度,如果第三条线段的长度为5,求这三条线段能构成三角形的概率.‎ ‎【分析】(1)列表得出所有的可能情况个数,找出数字不同的情况个数,即可求出所求的概率;‎ ‎(2)根据(1)得到所有情况个数,利用三角形的三边关系判断能构成三角形的个数,即可求出所求的概率.‎ ‎【解答】解:(1)列表如下:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎(1,1)‎ ‎(2,1)‎ ‎(3,1)‎ ‎2‎ ‎(1,2)‎ ‎(2,2)‎ ‎(3,2)‎ ‎3‎ ‎(1,3)‎ ‎(2,3)‎ ‎(3,3)‎ 所有可能情况有9种,其中数字不同的情况有6种,‎ 则P数字不同=;‎ ‎(2)所有的情况有9种,分别为:1,1,5;2,1,5;3,1,5;1,2,5;2,2,5;3,2,5;1,3,5;2,3,5;3,3,5,其中构成三角形的有1种,为3,3,5,‎ 则P构成三角形=.‎ ‎25.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.‎ ‎(1)求证:△ADF∽△DEC;‎ ‎(2)若AB=8,AD=6,AF=4,求AE的长.‎ ‎【分析】(1)根据四边形ABCD为平行四边形,利用平行四边形的对边平行且相等,得到一对同旁内角互补,一对内错角相等,根据已知角相等,利用等角的补角相等得到两组对应角相等,从而推知:△ADF∽△DEC;‎ ‎(2)由△ADF∽△DEC,得比例,求出DE的长.利用勾股定理求出AE的长.‎ ‎【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,‎ ‎∴∠C+∠B=180°,∠ADF=∠DEC.‎ ‎∵∠AFD+∠AFE=180°,∠AFE=∠B,‎ ‎∴∠AFD=∠C.‎ ‎∴△ADF∽△DEC.‎ ‎(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=8.‎ 由(1)知△ADF∽△DEC,‎ ‎∴=,‎ ‎∴DE===12.‎ 在Rt△ADE中,由勾股定理得:AE==6.‎ ‎26.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.‎ ‎(1)求证:四边形AMDN是平行四边形.‎ ‎(2)当AM的值为何值时,四边形AMDN是矩形?请说明理由.‎ ‎【分析】(1)根据菱形的性质可得ND∥AM,再根据两直线平行,内错角相等可得∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME,根据中点的定义求出DE=AE,然后利用“角角边”证明△NDE和△MAE全等,根据全等三角形对应边相等得到ND=MA,然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明;‎ ‎(2)根据矩形的性质得到DM⊥AB,再求出∠ADM=30°,然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答.‎ ‎【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴ND∥AM,‎ ‎∴∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME,‎ ‎∵点E是AD中点,‎ ‎∴DE=AE,‎ 在△NDE和△MAE中,,‎ ‎∴△NDE≌△MAE(AAS),‎ ‎∴ND=MA,‎ ‎∴四边形AMDN是平行四边形;‎ ‎(2)解:当AM=1时,四边形AMDN是矩形.理由如下:‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AD=AB=2,‎ ‎∵平行四边形AMDN是矩形,‎ ‎∴DM⊥AB,‎ 即∠DMA=90°,‎ ‎∵∠DAB=60°,‎ ‎∴∠ADM=30°,‎ ‎∴AM=AD=1.‎ ‎27.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,点E是边BC的中点.‎ ‎(1)求证:BC2=BD•BA;‎ ‎(2)判断DE与⊙O位置关系,并说明理由.‎ ‎【分析】(1)通过证明△BCD∽△BAC,利用相似比得到结论;‎ ‎(2)连结DO,如图,根据直角三角形斜边上的中线性质,由∠BDC=90°,E为BC的中点得到DE=CE=BE,则利用等腰三角形的性质得∠EDC=∠ECD,∠ODC=∠OCD,由于∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°,所以∠EDC+∠ODC=90°,即∠EDO=90°,于是根据切线的判定定理即可得到DE与⊙O相切.‎ ‎【解答】(1)证明:∵AC为⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADC=90°,‎ ‎∴∠BDC=90°,‎ 又∵∠ACB=90°,‎ ‎∴∠ACB=∠BDC,‎ 又∵∠B=∠B,‎ ‎∴△BCD∽△BAC,‎ ‎∴,‎ 即BC2=BA•BD;‎ ‎(2)解:DE与⊙O相切.理由如下:‎ 连结DO,如图,‎ ‎∵∠BDC=90°,E为BC的中点,‎ ‎∴DE=CE=BE,‎ ‎∴∠EDC=∠ECD,‎ 又∵OD=OC,‎ ‎∴∠ODC=∠OCD,‎ 而∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°,‎ ‎∴∠EDC+∠ODC=90°,即∠EDO=90°,‎ ‎∴DE⊥OD,‎ ‎∴DE与⊙O相切.‎ ‎28.如图,在平面直角坐标系中,顶点为(,)的抛物线交y轴于点C(0,﹣2),交x轴于点A,B(点A在点B的左侧).P点是y轴上一动点,Q点是抛物线上一动点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)P点运动到何位置时,△POA与△ABC相似?并求出此时P点的坐标;‎ ‎(3)当以A、B、P、Q四点为顶点的四边形为平行四边形时,求Q点的坐标.‎ ‎【分析】(1)可设抛物线的顶点式为y=a(x﹣)2﹣,将点C(0,﹣2)代入求得a的值,从而得到抛物线的解析式;‎ ‎(2)先求出抛物线与x轴的交点坐标,根据两点距离公式计算出AC、AB、BC的长,根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°‎ ‎,再根据相似三角形的判定和性质得到比例式,求出P点的坐标;‎ ‎(3)分三种情况:①Q点的横坐标为﹣5;②Q点的横坐标为5;③Q点的横坐标为﹣1+4=3;代入抛物线的解析式求出它们的纵坐标,从而求得Q点的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)设抛物线为y=a(x﹣)2﹣,‎ ‎∵抛物线经过点C(0,﹣2),‎ ‎∴﹣2=a(0﹣)2﹣,‎ a=.‎ ‎∴抛物线为;‎ ‎(2)在原解析式中,令y=0,则x2﹣x﹣2=0,‎ 解得x1=﹣1,x2=4,‎ 则点A为(﹣1,0),点B为(4,0),‎ 则AB=5,AC=,BC=2,‎ ‎∵()2+(2)2=52,‎ ‎∴△ACB是直角三角形,‎ ‎①设OP的长为x,则有 ‎=,‎ 解得x=2;‎ ‎②设OP的长为y,则有 ‎=,‎ 解得y=;‎ 则P点的坐标为(0,±2),(0,±);‎ ‎(3)因为以A、B、P、Q四点为顶点的四边形为平行四边形,‎ 所以分三种情况:‎ ‎①Q点的横坐标为﹣5,y=×(﹣5)2﹣×(﹣5)﹣2=18;‎ ‎②Q点的横坐标为5,y=×52﹣×5﹣2=3;‎ ‎③Q点的横坐标为﹣1+4=3,y=×32﹣×3﹣2=﹣2.‎ 所以Q点的坐标为(﹣5,18),(5,3),(3,﹣2).‎