九年级上册数学周周测第二十一章 一元二次方程周周测5（21-2-4） 人教版 8页

第二十一章 一元二次方程周周测5‎ 一元二次方程的根与系数的关系 ‎　一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）‎ ‎1．已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（　　）‎ A．﹣3 B．‎3 ‎C．﹣6 D．6‎ ‎2．已知α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则（α﹣2）（β﹣2）的值是（　　）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎3．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+‎2a+b的值为（　　）‎ A．2014 B．‎2013 ‎C．2012 D．2011‎ ‎4．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（　　）‎ A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=‎0 ‎C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0‎ ‎5．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述何者正确（　　）‎ A．无解 B．有两正根 C．有两负根 D．有一正根及一负根 ‎　‎ 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎6．设x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根，则x1+x2=______，x1x2=______．‎ ‎7．若关于x的方程2x2﹣mx+n=0的两根为﹣3和4，则m=______，n=______．‎ ‎8．已知x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，那么的值为______．‎ ‎9．设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=______．‎ ‎10．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，则α2+4α+β=______．‎ ‎11．若关于x的方程x2﹣5x+k=0的一个根是0，则另一个根是______，k=______．‎ ‎12．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程______．‎ ‎13．若方程x2﹣kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5，则k的值是______．‎ ‎　‎ 三．解答题：‎ ‎14．不解方程，写出方程的两根之和与两根之积：‎ ‎（1）3x2+2x﹣3=0‎ ‎（2）x2+x=6x+7．‎ ‎15．已知实数a，b分别满足a2﹣‎6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，求+的值．‎ ‎16．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．‎ ‎17．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．‎ ‎（1）若方程有两个实数根，求m的范围；‎ ‎（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．‎ ‎18．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．‎ ‎（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．‎ ‎　‎ 参考答案与试题解析 ‎　一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）‎ ‎1．已知一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，则x12x2+x1x22的值为（　　）‎ A．﹣3 B．‎3 ‎C．﹣6 D．6‎ ‎【解答】解：∵一元二次方程：x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2，‎ ‎∴x1+x2=3，x1•x2=﹣1，‎ ‎∴x12x2+x1x22=x1x2•（x1+x2）=﹣1×3=﹣3．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．已知α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则（α﹣2）（β﹣2）的值是（　　）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎【解答】解：因为α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，‎ 所以α+β=，αβ=﹣，‎ 又因为（α﹣2）（β﹣2）‎ ‎=αβ﹣2（α+β）+4‎ ‎=﹣﹣2×+4‎ ‎=．‎ 故选A ‎　‎ ‎3．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+‎2a+b的值为（　　）‎ A．2014 B．‎2013 ‎C．2012 D．2011‎ ‎【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2014=0的实数根，‎ ‎∴a2+a﹣2014=0，‎ ‎∴a2+a=2014，‎ ‎∴原式=2014+a+b，‎ ‎∵a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，‎ ‎∴a+b=﹣1，‎ ‎∴原式=2014﹣1=2013．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（　　）‎ A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=‎0 ‎C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0‎ ‎【解答】解：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，‎ 故设这个一元二次方程的两根是α、β，可得：α•β=﹣6，α+β=﹣3，‎ 那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．关于方程式49x2﹣98x﹣1=0的解，下列叙述何者正确（　　）‎ A．无解 B．有两正根 C．有两负根 D．有一正根及一负根 ‎【解答】解：由判别式△＞0，知方程有两个不相等的实数根，‎ 又由根与系数的关系，知x1+x2=﹣=2＞0，x1•x2==﹣＜0，‎ 所以有一正根及一负根．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎6．设x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根，则x1+x2=　　，x1x2=　﹣　．‎ ‎【解答】解：x1，x2是方程4x2+3x﹣2=0的两根，则x1+x2=，x1x2=﹣．‎ 故答案为：，﹣．‎ ‎　‎ ‎7．若关于x的方程2x2﹣mx+n=0的两根为﹣3和4，则m=　2　，n=　﹣24　．‎ ‎【解答】解：由根与系数的关系得，﹣3+4=，（﹣3）×4=‎ 解得：m=2，n=﹣24，‎ 故答案为：2，﹣24．‎ ‎　‎ ‎8．已知x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，那么的值为　﹣　．‎ ‎【解答】解：∵x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，‎ ‎∴根据韦达定理知，x1+x2=﹣7，x1•x2=﹣8，‎ ‎∴==﹣．‎ 故答案是：﹣．‎ ‎　‎ ‎9．设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=　10　．‎ ‎【解答】解：∵x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的根，‎ ‎∴x22+5x2﹣3=0，‎ ‎∴x22+5x2=3，‎ ‎∵2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，‎ ‎∴2x1•x2+a=4，‎ ‎∵x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，‎ ‎∴x1x2=﹣3，‎ ‎∴2×（﹣3）+a=4，‎ ‎∴a=10．‎ ‎　‎ ‎10．设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，则α2+4α+β=　4　．‎ ‎【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，‎ ‎∴α+β=﹣3，α2+3α﹣7=0，‎ ‎∴α2+3α=7，‎ ‎∴α2+4α+β=α2+3α+α+β=7﹣3=4，‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎11．若关于x的方程x2﹣5x+k=0的一个根是0，则另一个根是　5　，k=　0　．‎ ‎【解答】解：设方程的另一个根为t，‎ 根据题意得0+t=5，0•t=k，‎ 所以t=5，k=0．‎ 故答案为5，0．‎ ‎　‎ ‎12．若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程　x2﹣5x+6=0（答案不唯一）　．‎ ‎【解答】解：∵一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，‎ ‎∴一元二次方程的两个根的乘积为：3×2=6，‎ ‎∴此方程可以为：x2﹣5x+6=0，‎ 故答案为：x2﹣5x+6=0（答案不唯一）．‎ ‎　‎ ‎13．若方程x2﹣kx+6=0的两根分别比方程x2+kx+6=0的两根大5，则k的值是　5　．‎ ‎【解答】解：设方程x2+kx+6=0的两根分别为a、b，则方程x2﹣kx+6=0的两根分别为a+5，b+5，‎ 根据题意得a+b=﹣k，a+5+b+5=k，‎ 所以10﹣k=k，‎ 解得k=5．‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ 三．解答题：‎ ‎14．不解方程，写出方程的两根之和与两根之积：‎ ‎（1）3x2+2x﹣3=0‎ ‎（2）x2+x=6x+7．‎ ‎【解答】解：（1）设x1，x2是一元二次方程的两根，‎ 所以x1+x2=﹣，x1x2=﹣1；‎ ‎（2）方程化为一般式为x2﹣5x﹣7=0，‎ 设x1，x2是一元二次方程的两根，‎ 所以x1+x2=5，x1x2=﹣7．‎ ‎　‎ ‎15．已知实数a，b分别满足a2﹣‎6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，求+的值．‎ ‎【解答】解：∵a2﹣‎6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，‎ ‎∴a，b可看作方程x2﹣6x+4=0的两根，‎ ‎∴a+b=6，ab=4，‎ ‎∴原式====7．‎ ‎　‎ ‎16．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．‎ ‎【解答】解：（1）将原方程整理为x2+2（m﹣1）x+m2=0；‎ ‎∵原方程有两个实数根，‎ ‎∴△=[2（m﹣1）]2﹣‎4m2‎=﹣‎8m+4≥0，得m≤；‎ ‎（2）∵x1，x2为一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2，即x2+2（m﹣1）x+m2=0的两根，‎ ‎∴y=x1+x2=﹣‎2m+2，且m≤；‎ 因而y随m的增大而减小，故当m=时，取得最小值1．‎ ‎　17．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．‎ ‎（1）若方程有两个实数根，求m的范围；‎ ‎（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，‎ ‎∴△=（﹣2）2﹣‎4m≥0，‎ 解得m≤1；‎ ‎（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，‎ 解方程组，‎ 解得，‎ ‎∴m=x1•x2=．‎ ‎18．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．‎ ‎（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．‎ ‎【解答】解：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，‎ ‎∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，‎ ‎∴△=b2﹣‎4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=‎5m2‎﹣‎6m+9=5（m﹣）2+，‎ ‎∴△＞0，‎ 则方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）∵x1•x2==﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，‎ ‎∴x1，x2异号，‎ 又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，‎ 若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，‎ ‎∴m﹣3=﹣2，即m=1，‎ 方程化为x2+2x﹣1=0，‎ 解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，‎ 若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，‎ ‎∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，‎ 方程化为x2﹣2x﹣25=0，‎ 解得：x1=1﹣，x2=1+．‎