中考数学专题复习练习：二次根式的混合运算 19页

典型例题一 例01．如果，，那么（ ）‎ A． B． C． D．‎ 分析 ‎ 解答 B 说明 与互为有理化因式，把两个这样的代数式相乘，在根式运算中极为常见，必须能熟练进行.对于本题，读题之后就应判断出C、D不可能是正确答案.‎ 典型例题二 例02．计算的结果是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 分析 原式=‎ 解答 B 说明 二次根式的和相乘与多项式的乘法类似，要注意符号和漏乘.‎ 典型例题三 例03．计算正确的结果是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 分析 原式 解答 C 说明 在二次根式的乘除法运算中，遇到适用多项式乘法公式的时候，也可以运用乘法公式.‎ 典型例题四 例04．计算 ‎（1）‎ ‎（2）‎ 分析 题（1）是三个根式的和差与三个根式的和差相乘，类似于多项式乘法，运用结合律，把相同符号的二次根式作为“”，把相反符号的“项”作为“”就有，再运用乘法公式；而对于题（2），我们发现其结果是有理数，因此我们又称这样的两个数是互为有理化因数，为解决较复杂的分母有理化问题作准备.‎ 解答 （1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ 典型例题五 例05．化简 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ 解答 （1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ ‎ =‎ ‎（3）原式=‎ ‎ =‎ ‎ ‎ 说明 解这类化简问题的关键要注意有关的运算技巧.‎ 典型例题六 例06．计算：‎ 分析 运用乘法对加法的分配律，并注意对二次根式进行化简.‎ 解答 ‎ ‎ ‎ 说明 与本题同源的题目极多，只要对前面内容掌握较好，这类题目可无师自通.‎ 典型例题七 例07．已知，求的值.‎ 分析 先化简结论后代入 解答 原式=‎ ‎ ‎ ‎ =‎ ‎∴当时，原式=‎ 典型例题八 例08．化简：‎ 分析 要对上式化简，首先应把分母上的根号化去，通常我们可以利用分数的性质，分子分母同乘以一个分母的有理化因式，本题就是，然后再化简.同时此题也有一个与分式运算相比较的问题，即使用因式分解、 等技巧，可以大大简化计算过程，例如借助因式分解的方法分母可以写成，分子上恰有约分后，再化简.‎ 解答1：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解答2： ‎ ‎ ‎ 说明 该题实质上也是二次根式的除法，即.我们可以写成分式的形式，然后通过分母有理化来进行.‎ 典型例题九 例09．已知，求的值.‎ 解答 由已知得：‎ 即 ‎ ‎∴ ‎ 由，得（不合题意，舍去）‎ 由，得 ∴‎ ‎∴=‎ 解答 从所求的代数式不易简化，应变形已知条件用含一个未知数的代数式表示另一个代数式，然后再代入所求的代数式.‎ 典型例题十 例10．设，求的值.‎ 分析 应用已知条件找到x，y的联系，或注意到所求代数式通分后的形式，可利用已知条件求得及xy.‎ 解答1：‎ ‎①－②得 即 ‎∵ ∴‎ ‎∴‎ ‎①＋②得 将③代入④得 ‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 说明 本题的条件与所求代数式相差甚远，此解法瞄准所求代数式的通分形式，充分利用已知条件进行变形，恰到好处.‎ 典型例题十一 例11．广告设计者在一个正方形中画出了一个等边三角形，如图所示.并且把等边三角形涂成红色，其余部分涂成黄色，求红色部分与黄色部分面积的比(不取近似值).‎ 分析1：设等边三角形的边长为x，‎ 则由，即，‎ 得 ‎.‎ 又有，可利用列方程求出x，然后表示出两部分面积的值，并求出所要求的比值.‎ 解答1 设正方形的边长是1，设等边三角形的边长为x，由题意得 ‎∴，将此式两边平方并整理，得 ‎∴，.‎ ‎∴‎ ‎∴或，不合题意，舍去.‎ ‎∴等边三角形的边长为.‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 与的面积之和为.‎ 的面积为 的面积为 ‎.这就是红色部分与黄色部分面积的比.‎ 分析2：连结，则 ，被分为两个直角等腰三角形.可以利用的长与的边长的关系列方程，得出的边长后可直接求其面积.‎ 解答2：连结，交于，则，，，设 ，则，，由题意，有，所以 ‎，‎ ‎∴‎ ‎∴的边长为，其面积为 剩余黄色部分的面积为：.‎ 求两部分面积之比同解法1.‎ 填空题 ‎1．填空题 ‎（1）已知最简二次根式与是同类二次根式，则______，_______.‎ ‎（2）化简_______.‎ ‎（3）计算_______.‎ ‎（4）计算_________.‎ ‎（5）分母有理化__________.‎ ‎（6）计算________.‎ ‎（7）的有理化因式是_______.‎ ‎（8）当时，_______.‎ ‎（9）已知，则________.‎ ‎2．填空题 ‎（1）若最简根式与是同类二次根式，则的值_________.‎ ‎（2）________.‎ ‎（3）已知，则________.‎ ‎（4）的有理化因式为_______.‎ ‎（5）直角三角形直角边，，则斜边______.‎ ‎（6）分母有理化______.‎ ‎（7）化简：______.‎ ‎（8）的近似值为_______.（精确到）‎ ‎3．填空题 ‎（1）分母有理化_________.‎ ‎（2）当时，________.‎ ‎（3）计算________.‎ ‎（4）若，则______.‎ ‎（5）已知长方体体积长与宽之比为，高为，则长为_______，宽为________.‎ ‎（6）若，则________.‎ ‎（7）解方程得_______.‎ ‎（8）方程组的解为_______.‎ 参考答案：‎ ‎1．（1）4，4 （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）6 （9）25‎ ‎2．（1）不存在 （2） （3）2〔提示：〕 （4） （5）30 （6） （7） （8）‎ ‎3．（1） （2）2 （3） （4）18 （5） （6）3 （7） （8）‎ 选择题 ‎1．选择题 ‎（1）下列计算正确的是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2）计算的值是 ‎（A）2 （B）0 （C）－3 （D）3‎ ‎（3）已知，则等于 ‎（A）4 （B） （C）2 （D）‎ ‎（4）下列计算结果正确的是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（5）等于 ‎（A）7 （B）‎ ‎（C）1 （D）‎ ‎（6）下列各组代数式中，互为有理化因式的是 ‎（A）与 （B）与 ‎（C）与 （D）与 ‎（7）已知，，则和的关系是 ‎（A）互为相反数 （B）互为倒数 ‎（C）不是互为有理化因式 （D）不确定 ‎（8）的有理化因式是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎2．选择题 ‎（1）下列计算中，正确的是（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（2）的倒数是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）下列分母有理化正确的是（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（4）若，则的值是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（5）已知，，则、的关系为（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（6）计算得（ ）‎ ‎（A）5 （B） （C） （D）‎ ‎（7）若，则为（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C）1 （D）5‎ ‎3．选择题 ‎（1）已知，是的倒数则的值为（ ）‎ ‎（A）6 （B） （C） （D）‎ ‎（2）若，则的结果为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）下列计算中，过程正确的是（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ 参考答案：‎ ‎1．（1）D （2）B （3）C （4）B （5）B （6）A （7）B （8）C ‎2．（1）B （2）B （3）D （4）D （5）B （6）D （7）D ‎3．（1）D （2）A （3）D 解答题 ‎1．计算题：‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎（7） （8）‎ ‎（9） （10）‎ ‎2．计算题 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）（）‎ ‎（7）‎ ‎（8）‎ ‎（9）‎ ‎（10）‎ 参考答案：‎ ‎1．（1） （2） （3） （4） ‎ ‎（5） （6） （7） ‎ ‎（8） （9） （10）‎ ‎2．（1） （2） （3） （4） ‎ ‎（5）13 （6） （7） （8） （9）396 （10）‎ 解答题 ‎1．分母有理化 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎（7） （8）‎ ‎（9）（） （10）‎ ‎2．计算题 ‎（1） （2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）（）‎ ‎（5） （6）‎ ‎（7）‎ ‎（8）‎ ‎3．化简 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ 参考答案：‎ ‎1．（1） （2） （3） （4） ‎ ‎（5） （6） （7） （8） ‎ ‎（9） （10）‎ ‎2．（1） （2） （3） （4）1 （5） （6）0 （7） （8）1‎ ‎3．（1） （2） （3） （4）0 （5）1 （6）‎ 解答题 ‎1．求值 ‎（1）已知，求的值；‎ ‎（2）已知，求的值；‎ ‎（3）已知，求的值；‎ ‎（4）已知，求的值.‎ ‎2．计算题 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎3．计算题 ‎（1） （2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎（7）‎ ‎（8）‎ ‎（9）‎ ‎（10）‎ 参考答案：‎ ‎1．（1）2 （2） （3）4 （4）3‎ ‎2．（1） （2） （3） （4） （5） （6）‎ ‎3．（1）21 （2） （3）32 （4） （5） （6） （7） （8）1 （9） （10）‎ 解答题 ‎1．求值 ‎（1）已知，求的值；‎ ‎（2）已知，求的值；‎ ‎（3）若，求的值；‎ ‎（4）若，求的值.‎ ‎2．计算题 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎3．求值 ‎（1）已知，求的值；‎ ‎（2）已知，求的值；‎ ‎（3）已知，求的值；‎ ‎（4）已知，求的值；‎ ‎（5）已知，求的值；‎ ‎（6），其中；‎ ‎（7），，求的值.‎ 参考答案：‎ ‎1．（1） （2）2 （3）原式 （4）‎ ‎2．（1）1 （2） （3）‎ ‎3．（1） （2）10 （3） （4） （5） ‎ ‎（6） ‎ ‎（7）11〔提示：将所求代数式化为，且〕‎