江西专版2020中考数学复习方案第四单元图形的初步认识与三角形课时训练18直角三角形 8页

课时训练(十八)　直角三角形 ‎(限时:45分钟)‎ ‎|夯实基础|‎ ‎1.[2018·滨州]在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为 (　　)‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎2.[2019·成都]将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图K18-1方式叠放在一起,若∠1=30°,则∠2的度数为 (　　)‎ 图K18-1‎ A.10° B.15° C.20° D.30°‎ ‎3.[2019·益阳]已知M,N是线段AB上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心,AN长为半径画弧;再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则△ABC一定是 (　　)‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 ‎4.[2019·杭州]在△ABC中,若一个内角等于另外两个内角的差,则 (　　)‎ A.必有一个内角等于30°‎ B.必有一个内角等于45°‎ C.必有一个内角等于60°‎ D.必有一个内角等于90°‎ ‎5.[2019·河南]如图K18-2,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,AD=4,BC=3,分别以点A,C为圆心,大于‎1‎‎2‎AC长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O,若点O是AC的中点,则CD的长为 (　　)‎ 图K18-2‎ A.2‎2‎ B.4 C.3 D.‎‎10‎ ‎6.[2019·滨州]满足下列条件时,△ABC不是直角三角形的为 (　　)‎ A.AB=‎41‎,BC=4,AC=5‎ B.AB∶BC∶AC=3∶4∶5‎ C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5‎ D.cosA-‎1‎‎2‎+tanB-‎3‎‎3‎2=0‎ 8‎ ‎7.数学文化[2019·宁波]勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图K18-3①,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图K18-3②的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出 (　　)‎ 图K18-3‎ A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积 C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和 ‎8.[2019·株洲]如图K18-4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E,F分别为MB,BC的中点,若EF=1,则AB=　　　　. ‎ 图K18-4‎ ‎9.数学文化[2019·邵阳]公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”.如图K18-5,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是　　　　. ‎ 图K18-5‎ ‎10.[2019·南京]无盖圆柱形杯子的展开图如图K18-6.将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内,木筷露在杯子外面的部分至少有　　　　 cm. ‎ 图K18-6‎ ‎11.[2019·枣庄]把两个同样大小含45°角的三角尺按如图K18-7所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=2,则CD=　　　　. ‎ 8‎ 图K18-7‎ ‎12.[2019·巴中]如图K18-8,等腰直角三角板如图K18-8放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.‎ ‎(1)求证:EC=BD;‎ ‎(2)若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.‎ 图K18-8‎ ‎13.[2018·广安]如图K18-9,下面有4张形状,大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长都是1,请在方格纸中分别画出符合要求的图形,所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合,具体要求如下:‎ ‎(1)画一个直角边为4,面积为6的直角三角形;‎ ‎(2)画一个底边为4,面积为8的等腰三角形;‎ ‎(3)画一个面积为5的等腰直角三角形;‎ ‎(4)画一个边长为2‎2‎,面积为6的等腰三角形.‎ 图K18-9‎ ‎|拓展提升|‎ ‎14.[2019·广元]如图K18-10,△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC=2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC,连接BD,则BD2的值是　　　　. ‎ 8‎ 图K18-10‎ ‎15.[2019·枣庄]在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D.‎ ‎(1)如图K18-11①,点M,N分别在AD,AB上,且∠BMN=90°,当∠AMN=30°,AB=2时,求线段AM的长;‎ ‎(2)如图K18-11②,点E,F分别在AB,AC上,且∠EDF=90°,求证:BE=AF;‎ ‎(3)如图K18-11③,点M在AD的延长线上,点N在AC上,且∠BMN=90°,求证:AB+AN=‎2‎AM.‎ 图K18-11‎ 8‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.A　[解析]∵三角形为直角三角形,∴三边满足勾股定理,∴弦为‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=5.‎ ‎2.B ‎3.B　[解析]如图所示,AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+1=5,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.故选B.‎ ‎4.D　[解析]∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=∠C-∠B,∴2∠C=180°,∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形.故选D.‎ ‎5.A　[解析]过点B作BM⊥AD于点M,如图.‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠BCD+∠D=180°.‎ 又∵∠D=90°,∴∠BCD=90°,‎ ‎∴∠BCD=∠D=∠BMD=90°,‎ ‎∴四边形BCDM为矩形,∴BM=CD,DM=BC.‎ 连接AE,CE,‎ 由作图可知AE=CE.‎ 又∵O是AC的中点,‎ ‎∴BF所在的直线垂直平分线段AC,‎ ‎∴AB=BC=3.‎ 在Rt△ABM中,∠AMB=90°,AM=AD-MD=1,‎ ‎∴BM=AB‎2‎-AM‎2‎=‎3‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎=2‎2‎,‎ ‎∴CD=2‎2‎.‎ 故选A.‎ ‎6.C　[解析]A选项中,∵4<5<‎41‎,AC2+BC2=52+42=41,AB2=(‎41‎)2=41,∴AC2+BC2=AB2,‎ ‎∴△ABC是直角三角形;B选项中,∵AB∶BC∶AC=3∶4∶5,设AB=3k,BC=4k,AC=5k.∵AB2+BC2=(3k)2+(4k)2=25k2,AC2=(5k)2=25k2,∴AB2+BC2=AC2,‎ ‎∴△ABC是直角三角形;C选项中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,‎ ‎∴∠A=180°×‎3‎‎12‎=45°,∠B=180°×‎4‎‎12‎=60°,∠C=180°×‎5‎‎12‎=75°,∴△ABC不是直角三角形;D选项中,‎ ‎∵cosA-‎1‎‎2‎+tanB-‎3‎‎3‎2=0,又∵cosA-‎1‎‎2‎≥0,tanB-‎3‎‎3‎2≥0,∴cosA=‎1‎‎2‎,tanB=‎3‎‎3‎,∴∠A=60°,∠B=30°,‎ ‎∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形.故选C.‎ 8‎ ‎7.C　[解析]设直角三角形的斜边长为c,较长直角边长为b,较短直角边长为a.由勾股定理得,c2=a2+b2,‎ 阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c),‎ 较小两个正方形重叠部分的一边长=a-(c-b),另一边长=a,则较小两个正方形重叠部分面积=a(a+b-c),‎ ‎∴知道图中阴影部分的面积,则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积.故选C.‎ ‎8.4　[解析]∵E,F分别为MB,BC的中点,∴CM=2EF=2.∵∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,‎ ‎∴AB=2CM=4.故答案为:4.‎ ‎9.4　[解析]∵勾a=6,弦c=10,∴股=‎1‎0‎‎2‎-‎‎6‎‎2‎=8,∴小正方形的边长=8-6=2,∴小正方形的面积=22=4.‎ ‎10.5　[解析]由题意可得,杯子内的筷子长度最长为‎1‎2‎‎2‎+‎‎9‎‎2‎=15(cm),则筷子露在杯子外面的长度至少为20-15=5(cm).故答案为:5.‎ ‎11.‎6‎‎-‎‎2‎　[解析]如图,过点A作AF⊥BC于F.‎ 在Rt△ABC中,∠B=45°,‎ ‎∴BC=‎2‎AB=2‎2‎,BF=AF=‎2‎‎2‎AB=‎2‎.‎ ‎∵两个同样大小的含45°角的三角尺,‎ ‎∴AD=BC=2‎2‎,在Rt△ADF中,根据勾股定理得,DF=AD‎2‎-AF‎2‎=‎6‎,‎ ‎∴CD=BF+DF-BC=‎2‎‎+‎‎6‎-2‎2‎=‎6‎‎-‎‎2‎.‎ 故答案为‎6‎‎-‎‎2‎.‎ ‎12.解:(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴AC=BC,∠ACE+∠BCD=90°.‎ ‎∵AE⊥EC,∴∠EAC+∠ACE=90°,‎ ‎∴∠BCD=∠CAE.‎ ‎∵BD⊥CD,∴∠AEC=∠CDB=90°,‎ ‎∴△AEC≌△CDB(AAS),∴EC=BD.‎ ‎(2)∵△AEC≌△CDB,‎ ‎∴BD=EC=a,CD=AE=b,BC=AC=c.‎ ‎∵S梯形AEDB=‎1‎‎2‎(AE+BD)·ED=‎1‎‎2‎(a+b)(a+b),‎ S梯形AEDB=‎1‎‎2‎ab+‎1‎‎2‎c2+‎1‎‎2‎ab,‎ ‎∴‎1‎‎2‎(a+b)(a+b)=‎1‎‎2‎ab+‎1‎‎2‎c2+‎1‎‎2‎ab,‎ 整理可得a2+b2=c2,勾股定理得证.‎ ‎13.解:(1)直角边为4,3的直角三角形如图①,其面积为6;‎ ‎(2)底边为4,底边上的高为4的等腰三角形如图②,其面积为8;‎ ‎(3)直角边为‎10‎的等腰直角三角形如图③,其面积为5;‎ ‎(4)底边为2‎2‎,底边上的高为3‎2‎的等腰三角形如图④,其面积为6.‎ 8‎ ‎14.8+4‎3‎　[解析]如图,连接AD,过点D作DM⊥BC于点M,DN⊥AB于点N,易得△ACD是等边三角形,四边形BNDM是正方形.‎ 设CM=x,则DM=MB=x+2.∵BC=2,∴CD=AC=2‎2‎.‎ ‎∴在Rt△MCD中,由勾股定理可求得,x=‎3‎-1(舍去负值),DM=MB=‎3‎+1,‎ ‎∴在Rt△BDM中,BD2=MD2+MB2=8+4‎3‎.‎ ‎15.解:(1)在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,‎ ‎∴BD=DC,∠BAD=‎1‎‎2‎∠BAC.‎ ‎∵∠BAC=90°,∴∠BAD=45°.‎ 在Rt△ABD中,∠BAD+∠ABD=90°,‎ ‎∴∠ABD=∠BAD=45°,∴AD=BD.‎ ‎∵AB=2,∴AD=BD=‎2‎.‎ ‎∵∠BMN=90°,∠AMN=30°,∴∠BMD=60°.‎ 在Rt△BMD中,MD=BDtan∠BMD=‎6‎‎3‎.‎ ‎∴AM=AD-MD=‎2‎‎-‎‎6‎‎3‎.‎ ‎(2)证明:∵AD⊥BC,∴∠BDE+∠EDA=90°.‎ ‎∵∠EDF=90°,∴∠EDA+∠ADF=90°,‎ ‎∴∠BDE=∠ADF.‎ 在△ABC中,∠BAC=90°,∴∠B+∠C=90°.‎ ‎∵AD⊥BC,∴∠DAC+∠C=90°,‎ ‎∴∠B=∠DAF.‎ 又∵AD=BD,∴△BED≌△AFD(ASA),‎ ‎∴BE=AF.‎ ‎(3)证明:如图,过点M作ME⊥AB于点E,MF⊥AC于点F,∴∠MEB=∠MFN=90°.‎ ‎∵AM平分∠BAC,∴ME=MF.‎ 8‎ 在四边形AEMF中,‎ ‎∵∠BAC=∠MEA=∠MFN=90°,‎ ‎∴四边形AEMF是矩形,∠EMF=90°,‎ ‎∴∠EMN+∠NMF=90°.‎ ‎∵∠BMN=90°,∴∠BME+∠EMN=90°,‎ ‎∴∠BME=∠NMF,‎ ‎∴△BME≌△NMF(ASA),‎ ‎∴BE=NF.在矩形AEMF中,ME=MF,‎ ‎∴矩形AEMF是正方形,‎ ‎∴AE=AF=‎2‎‎2‎AM,‎ ‎∴AB+AN=AE+BE+AN=AE+NF+AN=AE+AF=2×‎2‎‎2‎AM=‎2‎AM.‎ 8‎